全国版高考数学第七章立体几何7.7.1利用空间向量证明空间中的位置关系课时提升作业理.docx

利用空间向量证明空间中的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016泉州模拟)设平面的一个法向量为n1=(1,2,-2),平面的一个法向量为n2=(-2,-4,k),若,则k=()A.2B.4C.-2D.-4【解析】选B.由知n1n2,则n2=n1.即(-2,-4,k)=(1,2,-2),即解得k=4.【加固训练】若平面,垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是()A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)【解析】选A.因为,所以n1n2,即n1n2=0,经验证可知,选项A正确.2.(2016西安模拟)若平面,的法向量分别是n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则()A.B.C.,相交但不垂直D.以上答案均不正确【解析】选C.因为n1n2=2(-3)+(-3)1+5(-4)0.所以n1与n2不垂直,且不共线.所以与相交但不垂直.3.若=+,则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内【解析】选D.由=+知,向量,共面,则直线AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.4.(2016珠海模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解.【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,=0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.故选B.5.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE,则M点的坐标为()A.(1,1,1)B.C.D.【解析】选C.由已知得A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),设M(x,x,1).则=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1).设平面BDE的一个法向量为n=(a,b,c).则即解得令b=1,则n=(1,1,).又AM平面BDE,所以n=0.即2(x-)+=0,得x=,所以M.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设点C(2a+1,a+1,2)在点P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)确定的平面上,则a=.【解析】由共面向量定理知=x+y,即(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4),即解得a=16.答案:167.(2016襄阳模拟)已知平面内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面的一个法向量n=(-1,-1,-1).则不重合的两个平面与的位置关系是.【解析】由已知得,=(0,1,-1),=(1,0,-1),设平面的一个法向量为m=(x,y,z),则得得令z=1,得m=(1,1,1).又n=(-1,-1,-1),所以m=-n,即mn,所以.答案:平行【方法技巧】平面的法向量的求法(1)设出平面的一个法向量n=(x,y,z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.(2)注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E平面ABF,则CE与DF的和为.【解析】以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),所以=(x-1,0,1),又F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以=(1,1,y),由于ABB1E,故若B1E平面ABF,只需=(1,1,y)(x-1,0,1)=0x+y=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016石家庄模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.(1)求证:DE平面ABC.(2)求证:B1F平面AEF.【证明】以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B1(4,0,4),D(2,0,2),A1(0,0,4).(1)=(-2,4,0),平面ABC的法向量为=(0,0,4),因为=0,DE平面ABC,所以DE平面ABC.(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0,所以,B1FEF,=(-2)2+22+(-4)0=0,所以,所以B1FAF.因为AFEF=F,所以B1F平面AEF.【加固训练】如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求证:(1)A1B1平面AA1C.(2)AB1平面A1C1C.【证明】因为二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,所以AA1平面BAC.又因为AB=AC,BC=AB,所以CAB=90,即CAAB,所以AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),设平面AA1C的一个法向量n=(x,y,z),则即即取y=1,则n=(0,1,0).所以=2n,即n.所以A1B1平面AA1C.(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),设平面A1C1C的一个法向量m=(x1,y1,z1),则即令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).所以m=01+2(-1)+21=0,所以m.又AB1平面A1C1C,所以AB1平面A1C1C.10.(2016福州模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1平面ABC.(2)证明在线段BC1上存在点D,使得ADA1B,并求的值.【解析】(1)因为AA1C1C为正方形,所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC.所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AB,AA1AC.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以ABAC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).设D(x,y,z)是线段BC1上的一点,且=,0,1.所以(x,y-3,z)=(4,-3,4).解得x=4,y=3-3,z=4,所以=(4,3-3,4).由=0,即9-25=0,解得=.因为0,1,所以在线段BC1上存在点D,使得ADA1B,此时,=.(20分钟40分)1.(5分)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若,=(x-1,y,-3),且BP平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.,-,4B.,-,4C.,-2,4D.4,-15【解题提示】利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出.【解析】选B.因为,所以=3+5-2z=0,解得z=4.所以=(3,1,4).因为BP平面ABC,所以,.所以化为解得所以x=,y=-,z=4.2.(5分)(2016太原模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.斜交B.平行C.垂直D.不能确定【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=a,所以M,N,所以=.又C1(0,0,0),D1(0, a,0),所以=(0, a,0),所以=0,所以.因为是平面BB1C1C的一个法向量,且MN平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.3.(5分)空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF,设M,N分别是BD,AE的中点,给出如下命题:ADMN;MN平面CDE;MNCE;MN,CE异面.则所有的正确命题为.【解题提示】选,为基向量,利用向量法,对四个命题逐一判断从中选择出正确命题.【解析】如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|且ab=cb=0.=-=(b+c)-(a+b)=(c-a),=(c-a)b=(cb-ab)=0,故ADMN,故正确;=c-a=2,故MNCE,故MN平面CDE,故正确;正确时一定不正确.答案:4.(12分)(2016汕头模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30的角.求证:(1)CM平面PAD.(2)平面PAB平面PAD.【证明】以C为坐标原点,CB为x轴,CD为y轴,CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.因为PC平面ABCD,所以PBC为PB与平面ABCD所成的角,所以PBC=30,因为PC=2,所以BC=2,PB=4,所以D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M,所以=(0,-1,2),=(2,3,0),=.(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,所以即令y=2,得n=(-,2,1).因为n=-+20+1=0,所以n.又CM平面PAD,所以CM平面PAD.(2)如图,取AP的中点E,连接BE,则E(,2,1),=(-,2,1).因为PB=AB,所以BEPA.又因为=(-,2,1)(2,3,0)=0,所以.所以BEDA.又PADA=A,所以BE平面PAD.又因为BE平面PAB,所以平面PAB平面PAD.5.(13分)(2016郑州模拟)如图(1)所示,在RtABC中,C=90,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DEBC,DE=2,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如图(2)所示.(1)求证:A1C平面BCDE.(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小.(3)线段BC上是否存在一点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.【解析】(1)因为ACBC,DEBC,所以DEAC,所以DEA1D,DECD,A1DDC=D,所以DE平面A1DC,所以DEA1C.又因为A1CCD,DECD=D,所以A1C平面BCDE.(2)如图所示,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系Cxyz,则A1(0,0,2),D(0,2,0),M(0,1,),B(3,0,0),E(2,2,0).设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z),则n=0,n=0.又因为=(3,0,-2),=(-1,2,0),所以令y=1,则x=2,z=,所以n=(2,1,).设CM与平面A1BE所成的角为.因为=(0,1,),所