向量空间内积与正交矩阵.ppt_第1页
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文档简介

2.5 向量空间 内积与正交矩阵,定义2.15：设V是 非空子集，且对向量的加法与乘法封闭，即：,(1)对任意的,V,有+V; (2)对任意的V和k R,有kW .,一、向量空间,首先，我们记全体实n维列向量之集合为,则称V是一个向量空间。,例1：验证下列集合是否构成Rn的一个子空间:,(1)L=(0, a2, , an-1, an )|aiR,定义2.16：向量空间V中有向量1, 2, ,n. 若 (1) 1, 2, , n 线性无关; (2) V 中任意一向量 都可由1, 2, , n线性表示, 则称向量组1, 2, , n为V的一个基. 称 n为V的维数, 简记 n=dimV.,基-极大无关组 维数-向量组的秩,注1：向量空间的任两个基等价。,注2：与基等价的线性无关向量组都可作为基。,注3：r 维向量空间中的任何r 个线性无关的向量都可作为基。,定义:设1, 2, , n是n 维线性空间V的一个基,则 对V 中任意一向量，有且仅有一组数x1, x2, , xn,使得,称有序数(x1, x2, , x n)T为在基1, 2, , n下的坐标., 的坐标(x1, x2, , x n)T由基1, 2, , n惟一确定.,例2 已知向量组,证明 1, 2, 3为 R3的基,并求向量在该基下的坐标.,例2 已知向量组,证明 1, 2, 3为 R3的基,并求向量在该基下的坐标.,只需证明1, 2, 3线性无关, 则1, 2, 3就是 R3 的基.,再求向量在基1, 2, 3下的坐标,设,则有,思考： 在基 下的坐标是什么？,自然基,若r(A)=r , 则Ax = 0 的基础解系由n-r 个线性无关的解向量 1, 2, , n-r 组成,则 1, 2, , n-r 就是 Ax = 0 的解空间 S的基. dimS = n - r.,例3：考虑集合,易知S 为 向量空间,思考：若集合,S还为向量空间吗？,例4：
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