向量组的线性相关性(4).ppt

向量组的线性相关性,. n维向量的基本概念,定义1: 把由n个数字构成的一个有序的数组称为一个n维向量。,行向量:,x = (x1, x2, x3, , xn),列向量:,实向量,复向量,n维实向量空间,n维复向量空间,二. 向量组及其线性组合,定义2.设1, 2, , m, 皆是n维向量,如果有一组数1, 2, , m,使得 = 11 + 22 + + mm,则称向量是向量1, 2, , m,的一个线性组合；或称向量可以被向量1, 2, , m,线性表出（示）。,存在一组数字,使得,有解,定理1.,则向量可以被向量1, 2, , m线性表出的充分必要条件是：,如下两个矩阵的秩相等,定义3. 设A: 1, 2, , m和B: 1, 2, , l皆是由n维向量构成的向量组. 倘若向量组B中的任何一个向量皆可以被A组的向量线性表示,则称向量组B可以被向量组A线性表示;,定理2. B向量组可以被A向量组线性表示的充分必要条件是R(A) = R(A, B),向量组A与B等价的充分必要条件是: R(A) = R(B) = R(A, B),若向量组B可以被向量组A线性表示，则R(B) R(A),倘若A向量组与B向量组可以相互线性表示,则称这两个向量组彼此等价.,例1. 证明向量组,与,彼此等价,证明：,显然：R(A) = R(B) = R(A, B) = 2,依据定理2，向量组A与向量组B等价。,初等行变换,定义4.设1, 2, , m是m个n维向量,若存在一组不全为零的数1, 2, , m使得11 + 22 + + mm = 0，则称向量组1, 2, , m线性相关;否则称向量组1, 2, , m线性无关.,注释：1) 1, 2, , m线性无关的充分必要条件是:若11 + 22 + + mm = 0，则必然有1 = 2 = = m = 0,2) 1, 2, , m线性相关的充分必要条件是:在1, 2, , m中至少有一个向量能被其余的向量线性表出。,3) 倘若1, 2, , m线性无关， = 11 + 22 + + mm, 则系数1, 2, , m被向量所唯一确定。,线性相关的充要条件是, 共线,线性相关的,充要条件是：,4), , 共面。,则：当R(A) m 时1, 2, , m线性相关；当R(A) = m 时1, 2, , m线性无关。,定理3.,证明：考察方程组,当R(A) m时有非零解x1 = 1, x2 = 2, , x = m, 即11 + 22 + + mm = 0,从而1, 2, , m线性相关.,当R(A) = m时方程只有唯一零解,即由x11 + x22 + + xmm = 0可以得到：x1 = x2 = = xm = 0, 此时1, 2, , m线性无关.,例2. 向量组,线性相关吗？若线性相关请把其中的一个向量表示为其余向量的线性组合,解：设,即,特别有：1 + 2 + 3 = 0,向量组,线性相关.,定理4. (1)若1, 2, , m线性相关，则1, 2, , m, 线性相关；若1, 2, , m, 线性无关,则1, 2, , m线性无关,(2)若向量组1, 2, , m线性无关，而1, 2, , m, 线性相关，则向量可以被1, 2, , m线性表出，且表达式唯一,设,(3)若1, 2, , m线性无关，则1, 2, , m也线性无关;若1, 2, , m线性相关，则1, 2, , m也线性相关。,例题3.已知向量a1, a2, a3线性无关，证明: b1=a1+a2, b2= a2+a3,