中考数学易错题专题复习三角形20.docx

三角形易错点8：直角三角形的性质与判定，特别注意的两条性质：直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.易错题9：如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC1，CE3，H是AF的中点，则CH的长为（ ）A.2.5 B. C. D.2错解：D正解：B赏析：本题由于不能准确找到直角三角形并利用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的性质而造成错解.正确的解法是：如图，连接AC、CF，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC1，CE3，由勾股定理或三角函数可得AC，CF3，又ACDFCG45，ACF90，在RtACF中，由勾股定理，得AF2，又H是AF的中点，CHAF2.不善于添加辅助线来求解问题也是造成错解的主要原因之一.易错点9：勾股定理及其逆定理的综合应用，在运用勾股定理及其逆定理计算或证明有关问题时面积法的运用.易错题10：如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点B处，当CEB为直角三角形时，BE的长为_.错解：3正解：3或 赏析：本题只考虑了BEC90的一种情况而造成错解.本题应分三种情况讨论求解：当BEC90时，如图1，BEB90，又由折叠可得BEABEA,BEABEA45，ABE、ABE均为等腰直角三角形，四边形ABEB为正方形，点B落在AD上，BE3；当EBC90时，如图2，由折叠可得BABE90，点B恰好落在AC上，ABAB3，在RtABC中，由勾股定理得AC5，CBACAB532，由折叠得BEBE,设BEBEx，则ECBCBE4x，在RtEBC中，由勾股定理得x222(4x)2，解得xBE；当ECB90时，则点B落在CD上，则BCABCA45，这与已知四边形ABCD为矩形相矛盾，此种情况不存在.故BE的长为3或. 易错点11：锐角三角函数的定义以及运用特殊角的三角函数值的计算易出错.易错题12：如图是以ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CDAB于点D.已知cosACD，BC4，则AC的长为（ ）A.1 B. C.3 D.错解：B正解：D赏析：本题主要对锐角的三种三角函数正弦、余弦及正切的概念理解不清造成错解.如图，在RtABC中，C90，ABc，ACb，BCa，则sinA，cosA，tanA.本题正确的解法是：AB是半圆O的直径，ACB90，又CDAB，AACD90，AB90，ACDB，cosACDcosB,在RtABC中，cosB，解得AB，在RtABC中，由勾股定理得AC.（也可用B的正弦或正切求解）易错点12：解直角三角形的应用，特别要注意通过作辅助线将图形转化为直角三角形的方法.易错题13：为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米，宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45角，那么这个路段最多可以划出_个这样的停车位.（1.4）错解：18正解：17赏析：本题可能对题意没有理解清楚，不知怎样求每个车位所占路段长而导致错解，也可能是计算出错导致错解.正确的解法是：首先计算右侧第一个车位所占路段长：如图1，由题意，得ACB、EDB均为等腰直角三角形，在EDB中，cosEBD,BDBE cosEBD2.21.11.41.54，同理，CBAB cosABC52.51.43.5，CDCBBD1.543.55.04（米），即第一个车位所占路段长；再计算每增加一个车位所需路段长：如图2，由题意，得ABC为等腰直角三角形，cosCAB,AB2.22.21.43.08（米），即每增加一个车位所需路段长；接下来，可设可以划出x个车位，由题意，得5.043.08(x1)56，解得x17.5，x取最大整数，x17.注意：本题结果取近似值时应采用去尾法，只舍不入，这也是造成本题错解的可能原因之一.易错点13：相似三角形的性质，三角形相似的判定.易错题14：如图，在直角三角形ABC中，C90，其内部放置边长分别为3,4，x的三个正方形，则x的值为（ ）A.5 B.6 C.7 D.8错解：A正解：C赏析：本题图形中，相似三角形比较多，由于不能准确找出哪两个相似三角形来求解，从而造成错解.本题应找出能够用3,4，x或含x的式子表示出三边的两个相似三角形，然后利用相似三角形的性质来求解，如图，C90，CFGCGF90，又EFG90，DFECFG90，DFECGF，又FGHM，CGFGMH，DFEGMH，又DEGGHM90，DFEGMH，,DE3，GHx4，FEx3，MH4，化简得x27x0，x10，x27，x0，x7.易错点14：相似三角形面积之比等于相似比的平方. 易错题15：如图，平行于BC的直线DE把ABC分成的两部分面积相等，则_.错解： 正解：赏析：本题可能以为相似三角形的面积之比等于相似比而造成错解，相似三角形的面积之比等于相似比的平方.正确的解法应是：SADES四边形DBCE，设SADEx，则S四边形DBCEx，SABCxx2x，又DEBC，ADEABC，.易错点15：相似与全等的综合运用；相似与锐角三角函数的综合运用.易错题16：如图，矩形ABCD中，AB3，AD4，E为AB上一点，AE1，M为射线AD上一动点，AMa(a为大于0的常数)，直线EM与直线CD交于点F，过点M作MGEM，交直线BC于点G.（1）若M为边AD的中点，求证：EFG是等腰三角形；（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；（3）请用含a的代数式表示EFG的面积S，并指出S的最小整数值.错解：（1）证明：如图1，四边形ABCD是矩形，AMDF90，M为边AD的中点，MAMD，在MAE和MDF中，,MAEMDF（AAS），EMFM，又MGEM，EGFG，EFG是等腰三角形；（2）解：如图2，AB3，AD4，AE1，AMa，BEABAE312，BCAD4，在RtEAM中，EM2AE2AM2，EM21a2，在RtEBC中，EC2BE2BC2，EC2224241620. 在RtEMC中，EM2EC2EM2，CM220(1a2)201a221a2，CM.点G与点C重合，GM.（3）如图3，AB3，AD4，AE1，AMa，MDADAM4a，在RtEAM中，EM2AE2AM2，EM.AMDF90，AMEDMF，MAEMDF，,FM，EFEM+FM+.由（2）得，MG，EFG的面积SEFMG，当a2时，S最小，为S. 正解：（1）证明：如图1，四边形ABCD是矩形，AMDF90，M为边AD的中点，MAMD，在MAE和MDF中，,MAEMDF（ASA），EMFM，又MGEM，EGFG，EFG是等腰三角形；（2）解：如图2，AB3，AD4，AE1，AMa，BEABAE312，BCAD4，在RtEAM中，EM2AE2AM2，EM21a2，在RtEBC中，EC2BE2BC2，EC2224241620. 在RtEMC中，EM2EC2EM2，CM220(1a2)201a219a2，CM.点G与点C重合，GM.（3）如图4，过点M作MNBC于点N，AB3，AD4，AE1，AMa，MDADAM4a，在RtEAM中，EM2AE2AM2，EM.AMDF90，AMEDMF，MAEMDF，,FM，EFEM+FM+.ADBC，MGNDMG，AMEAEM90，AMEDMG90，AEMDMG，MGNAEM，MNGMAE90，MNGMAE，,MG，EFG的面积SEFMG，a2越大，S就越小，且S为最小整数值，当a26，即a时，S有最小整数值，为S167. 赏析：第一小题错在对全等的两种判定方法ASA和AAS没有分清楚，第二小题错在第三次运用勾股定理时出现了错误，第三小题错在把第二小题的结论拿到这里来用，因为条件变了，不能拿来用，应另求高MG的值.本题综合了全等三角形，等腰三角形，直角三角形和相似三角形的有关内容，且涉及函数的最值问题，是一道非常好的三角形综合题，需要同学们具有较高的分析问题、解决问题的能力.易错练1. 如图，四边形ABCD中，ADBC，DEBC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，ACD=2ACB，若DG=3，EC=1，则DE的长为（ ）A.2 B.2 C. D. 2.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为15米，斜面坡度为13，则斜坡AB的长为（ ）A.5米 B.5米 C.10米 D.30米3.如图，在ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若SDEF1，则S四边形ABFE_.4.小明坐于堤边垂钓，河堤AC的坡角为30，AC长米.钓竿AO的倾斜角是60，其长度为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60，求浮漂B与河堤下端C之间的距离.5.在ABC中，CAB90，ADBC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上.（1）如图1，ACAB12，EFCB于点F.求证：EFCD.（2）如图2，ACAB1，EFCE于点E.求EFEG的值. 参考答案2.C 解析：过点B作BEAD于点E，由题意得AE15，,解得BE5，在RtAEB中，由勾股定理得AB(米).SDEF1，SCBF4，又，SCDF2，SBCDSCBFSCDF246，SADBSBCD6，S四边形ABFESADBSDEF615.4.解：延长OA交BC于点D，AO的倾斜角是60，ODB60，ACD30，CAD180ODBACD90