江苏2018版高考数学复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用教师用书理苏教版.docx

第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用教师用书 理 苏教版1.基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.2.几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR).(2)2(a，b同号).(3)ab2 (a，bR).(4)2 (a，bR).以上不等式等号成立的条件均为ab.3.算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等.4.利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA(xD)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)B在区间D上恒成立f(x)maxA成立f(x)maxA(xD)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立f(x)minA恰在区间D上成立f(x)A的解集为D；不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)0且y0”是“2”的充要条件.()(4)若a0，则a3的最小值为2.()(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件.()(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.()1.(教材改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为_.答案81解析x0，y0，即xy()281，当且仅当xy9时，(xy)max81.2.(教材改编)若0x1，则的取值范围是_.答案(0，解析由0x0，故，当且仅当x时，上式等号成立.00，y0，且x4y1，则xy的最大值为_.答案解析1x4y24，xy()2，当且仅当x4y，即时，(xy)max.5.(教材改编)若x(0，)，则sin x2；若a，b(0，)，则lg alg b2；若xR，则4.其中正确结论的序号是_.答案解析因为x(0，)，所以sin x(0,1，所以成立；只有在lg a0，lg b0，即a1，b1时才成立；|x|24，当且仅当x2时“”成立.题型一利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等式例1(1)已知0x1，则x(43x)取得最大值时x的值为_.(2)已知x1)的最小值为_.答案(1)(2)1(3)22解析(1)x(43x)(3x)(43x)2，当且仅当3x43x，即x时，取等号.(2)因为x0，则f(x)4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时，等号成立.故f(x)4x2的最大值为1.(3)y(x1)222.当且仅当(x1)，即x1时，等号成立.命题点2通过常数代换法利用基本不等式例2已知a0，b0，ab1，则的最小值为_.答案4解析a0，b0，ab1，2224，即的最小值为4，当且仅当ab时等号成立.引申探究1.条件不变，求(1)(1)的最小值.解(1)(1)(1)(1)(2)(2)52()549.当且仅当ab时，取等号.2.已知a0，b0，4，求ab的最小值.解由4，得1.ab()(ab)21.当且仅当ab时取等号.3.将条件改为a2b3，求的最小值.解a2b3，ab1，()(ab)121.当且仅当ab时，取等号.思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.(1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_.(2)设ab2，b0，则取最小值时，a的值为_.答案(1)5(2)2解析(1)方法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)()5.(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最小值是5.方法二由x3y5xy，得x，x0，y0，y，3x4y4y4y4(y)25，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.(2)ab2，21，当且仅当时等号成立.又ab2，b0，当b2a，a2时，取得最小值.题型二基本不等式的实际应用例3(1)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则的最小值为_.(2)(2016江苏苏州暑假测试)设正四面体ABCD的棱长为，P是棱AB上的任意一点(不与点A，B重合)，且点P到平面ACD，平面BCD的距离分别为x，y，则的最小值是_.答案(1)(2)2解析(1)由题意得z2xy，lg x0，lg y0，2，当且仅当，即lg y2lg x，即yx2时取等号.(2)过点A作AO平面BCD于点O，则O为BCD的重心，所以OB，所以AO2.又VPBCDVPACDVABCD，所以SBCDySACDxSBCD2，即xy2.所以()(xy)(4)2，当且仅当x3，y1时取等号.思维升华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.(1)设x，y0，且xy4，若不等式m恒成立，则实数m的最大值为_.(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是_万元.答案(1)(2)8解析(1)()()(5)(522)，当且仅当y2x时等号成立.(2)年平均利润为x18(x)18，x210，18(x)18108，当且仅当x，即x5时，取等号.题型三基本不等式的综合应用命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4若不等式x2a(xy)对任意的实数x，y(0，)恒成立，则实数a的最小值为_.答案解析由题意得a恒成立.令t (t0)，则a，再令12tu(u1)，则t，故a.因为u2(当且仅当u时等号成立)，故u222，从而00，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为_.(2)已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_.答案(1)12(2)，)解析(1)由，得m(a3b)()6.又62612(当且仅当时等号成立)，m12，m的最大值为12.(2)对任意xN*，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a(x)3.设g(x)x，xN*，则g(2)6，g(3).g(2)g(3)，g(x)min，(x)3，a，故a的取值范围是，).思维升华(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.(2016江苏三校联考)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.解(1)设每件定价为t元，依题意得(80.2)t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.所以要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为40元.(2)依题意知，x25，且ax25850(x2600)x，等价于ax(x25).由于x210，当且仅当，即x30时等号成立，所以a10.2.当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.8.利用基本不等式求最值典例(1)已知x0，y0，且1，则xy的最小值是_.(2)函数y12x(x0，y0，12，2，xy24，xy的最小值为4.(2)2x2，y12x12.函数y12x(x0，y0，xy(xy)()332(当且仅当yx时取等号)，当x1，y2时，(xy)min32.(2)x0，y12x1(2x)()12 12，当且仅当x时取等号，故函数y12x(x0，则下列不等式中，恒成立的序号是_.a2b22ab；ab2；2.答案解析因为a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立，所以错误；对于，因为ab0，所以22.对于，当a0，b0时，明显错误.2.(教材改编)用长为16 cm的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的最大面积是_ cm2.答案16解析设矩形长为x cm(0x0,8x0，可得S()216，当且仅当x8x，即x4时，Smax16.所以矩形的最大面积是16 cm2.3.当x0时，函数f(x)有最_值，为_.答案大1解析f(x)1，当且仅当x1时取等号.4.(2016盐城模拟)函数y的最小值为_.答案2解析y2，当且仅当，即x0时，y取到最小值2.5.设正数a，使a2a20成立，若t0，则logat_loga(填“”“”“”或“0，所以a1，又a0，所以a1，因为t0，所以，所以logalogalogat.6.设f(x)x2x1，g(x)x21，则的取值范围是_.答案，解析1，当x0时，1；当x0时，11；当x0，解得a1.同理可得b1，9(a1)26，当且仅当9(a1)，即a时等号成立，最小值为6.8.(2016南京一模)已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_.答案4,12解析2xy6(x24y2)，而2xy，6(x24y2)，x24y24(当且仅当x2y时取等号).又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号).综上可知4x24y212.9.已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为_.答案4解析由题意，知所以2224，当且仅当xy时，等号成立.10.某民营企业的一种电子产品，2015年的年产量在2014年基础上增长率为a；2016年计划在2015年的基础上增长率为b(a，b0)，若这两年的平均增长率为q，则q与的大小关系是_.答案q解析设2014年的年产量为1，则2016年的年产量为(1a)(1b)，(1q)2(1a)(1b)，1q1，q，当且仅当ab时，取“”.11.(2016泰州模拟)已知ab1且2logab3logba7，则a的最小值为_.答案3解析因为2logab3logba7，所以2(logab)27logab30，解得logab或logab3，因为ab1，所以logab(0,1)，故logab，从而b，因此aa(a1)13，当且仅当a2时等号成立.12.(2016南通模拟)设实数x，y满足y21，则3x22xy的最小值是_.答案64解析方法一因为y21，所以3x22xy，令k(，)，则3x22xy，再令t32k(2,4)，则k，故3x22xy64，当且仅当t2时等号成立.方法二令t3x22xy，则y，代入方程y21并化简得8x4(46t)x2t20，令ux24，则8u2(46t)ut20在4，)上有解，从而由得t212t40，解得t64，当取得最小值时，u2满足题意.方法三因为y21(y)(y)，所以令yt，则y，从而则3x22xy62t264，当且仅当t2时等号成立.13.(2016江苏)在锐角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是_.答案8解析在ABC中，ABC，sin Asin(BC)sin(BC)，由已知，sin A2sin Bsin C，sin(BC)2sin Bsin C.sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，A，B，C全为锐角，两边同时除以cos Bcos C得：tan Btan C2tan Btan C.又tan Atan(BC).tan A(tan Btan C1)