2020版高考数学一轮复习第5章数列第1讲数列的概念与简单表示法讲义理（含解析）.docx

第五章数列第1讲数列的概念与简单表示法考纲解读1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数2.掌握数列求通项的几种常用方法：利用Sn与an的关系求通项；利用递推关系求通项(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题预测2020年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n项和综合考查，涉及题型有：由Sn求an；由递推关系求an；根据anf(n)求最值题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型.1数列的有关概念2数列的分类3数列an的an与Sn的关系(1)数列an的前n项和：Sna1a2an.特别提醒：若当n2时求出的an也适合n1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示1概念辨析(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点()(4)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN*，都有an1Sn1Sn.()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)已知数列an的通项公式为an912n，则在下列各数中，不是an的项的是()A21 B33 C152 D153答案C解析代n值进行验证，n1时，A满足；n2时，B满足；n12时，D满足故选C.(2)设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15 B16 C49 D64答案A解析a8S8S7827215.(3)在数列an中，a11，an1(n2)，则a5等于()A. B. C. D.答案D解析a21112，a311，a41123，a511.(4)数列，的一个通项公式an_.答案(nN*)解析观察数列可知，分母为以项数与项数加1的乘积形式的数列，分子是常数1的数列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式an(nN*)题型 知数列前几项求通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)1,0，0，0，0，；(4)，1，.解(1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(2)将数列变形为(10.1)，(10.01)，(10.001)，an.(3)把数列改写成，分母依次为1,2,3，而分子1,0,1,0，周期性出现，因此数列的通项可表示为an或an.(4)将数列统一为，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，所以可得它的一个通项公式为an.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；各项的符号特征和绝对值特征；对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系，如举例说明(4)对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN*处理如举例说明(1) 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)，；(2)，；(3)，2，8，；(4)5,55,555,5555，.解(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，相邻的偶数故所求数列的一个通项公式为an.(2)数列可以改为，则分母为2n，分子为2n3，所以数列的一个通项公式为an(1)n.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an.(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9,99,999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1)题型 由an与Sn的关系求通项公式1已知Sn3n2n1，则an_.答案解析因为当n1时，a1S16；当n2时，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)123n12，由于a1不适合此式，所以an2设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.答案解析由已知得an1Sn1SnSnSn1，两边同时除以SnSn1得1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列，1(n1)(1)n，即Sn.条件探究1把举例说明2中的条件“a11，an1SnSn1”改为“Sn2an1”，求an.解依题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an12an.又S12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11为首项，2为公比的等比数列，an2n1.条件探究2把举例说明2中的条件“a11，an1SnSn1”改为“S24，an12Sn1”求an.解因为an12Sn1，所以a22S11，即a22a11.又因为a1a2S24，所以a11，a23.当n2时，an2Sn11，得an13an(n2)，又a23a1，故数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，因此an3n1(nN*)1已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写如举例说明1.2Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式如举例说明2.(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解如举例说明2的条件探究1,2. 1(2017全国卷改编)设数列an满足a13a2(2n1)an2n，则an_.答案(nN*)解析因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)两式相减得(2n1)an2，所以an(n2)又由题设可得a12，满足上式，从而an的通项公式为an(nN*)2若数列an的前n项和为Sn首项a10且2Snaan(nN*)求数列an的通项公式解当n1时，2S1aa1，则a11.当n2时，anSnSn1，即(anan1)(anan11)0anan1或anan11，an(1)n1或ann.题型 由递推关系求通项公式角度1形如an1anf(n)，求an1已知数列an中，a12，an1anln ，求通项公式an.解an1anln ，anan1ln ln (n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1ln ln ln ln 222ln 2ln n(n2)又a12适合上式，故an2ln n(nN*)角度2形如an1anf(n)，求an2已知数列an中，a11，anan1(n2)，求通项公式an.解anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.当n1时也满足此等式，an.角度3形如an1panq，求an3已知数列an中，a11，an12an3，求通项公式an.解递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12antt3.故递推公式为an132(an3)，令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以b14为首项，2为公比的等比数列，则bn42n12n1，所以an2n13.1叠加法求通项公式的四步骤2叠乘法求通项公式的四步骤3构造法求通项公式的三步骤 1数列an中，a11，an1an2n，则通项公式an_.答案(nN*)解析an1an2n，an2an12n2，故an2an2.即数列an是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列当n为偶数时，a21，故ana22n1.当n为奇数时，an1an2n，an1n(n1为偶数)，故ann.综上所述，an(nN*)2在数列an中，a13，(3n2)an1(3n1)an(n1)，则an_.答案解析(3n2)an1(3n1)an，an1an，ana13.3设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式an_.答案解析因为(n1)anaan1an0，所以(an1an)(n1)an1nan0.又因为an0，所以an1an0，所以(n1)an1nan0，即，nN*.所以，以上各式相乘得.又a11，所以an.题型 数列的性质及应用1已知an，那么数列an是()A递减数列 B递增数列C常数列 D摆动数列答案A解析an1，因为函数y1在(0.99，)上是减函数，所以数列an是递减数列2(2018大庆模拟)已知数列an的通项公式an(n2)n，则数列an的项取最大值时，n_.答案4或5解析因为an1an(n3)n1(n2)nnn.当n0，即an1an；当n4时，an1an0，即an1an；当n4时，an1an0，即an10数列an是单调递增数列；an1an0时，1数列an是单调递增数列；1数列an是单调递减数列；1数列an是常数列当an1数列an是单调递减数列；1数列an是单调递增数列；1数列an是常数列2求数列最大项或最小项的方法(1)可以利用不等式组(n2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组(n2)找到数列的最小项 1若数列an满足a12，a23，an(n3且nN*)，则a2019()A. B2 C