2016_2017学年高中数学2.2.2反证法学案新人教B版选修.docx

2.2.2反证法1了解反证法的思考过程、特点(重点、易混点)2会用反证法证明简单的数学问题(重点、难点)基础初探教材整理反证法阅读教材P66P67“例3”以上部分，完成下列问题1反证法的定义由证明pq转向证明：綈qrt，t与_矛盾，或与某个_矛盾，从而判定_，推出_的方法，叫做反证法2常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与_、定理、公式、定义或_矛盾；(3)与_矛盾(例如，导出01,00之类的矛盾)【答案】1假设真命题綈q为假q为真2(2)数学公理已被证明了的结论(3)公认的简单事实1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾()【答案】(1)(2)(3)2已知平面平面直线a，直线b，直线c，baA，ca，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设_【解析】空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，应假设b与c平行或相交【答案】b与c平行或相交质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型利用反证法证明否定性命题(1)用反证法证明：“若方程ax2bxc0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为()A整数B奇数或偶数C自然数或负整数D正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：， ， 不成等差数列【自主解答】(1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.【答案】A(2)证明：假设， ， 成等差数列，则2，即ac24b.又a，b，c成等比数列，所以b2ac，即b，所以ac24，所以ac20，即()20，所以，从而abc，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾原假设错误，故， ， 不成等差数列1用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2反证法证明问题的一般步骤再练一题1(2016晋州高二检测)设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和求证：数列Sn不是等比数列【证明】假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾所以数列Sn不是等比数列利用“反证法”“证明”“至少”“至多”等存在性命题已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.【精彩点拨】“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”【自主解答】假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.a，b，c(0,1)，1a0,1b0,1c0.同理，.三式相加得，即，矛盾所以(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n1个p且q綈p或綈q再练一题2已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数【证明】假设a，b，c，d都是非负数，因为abcd1，所以(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，所以acbd1，这与已知acbd1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数探究共研型利用反证法证明唯一性命题探究反证法解题的实质是什么？【提示】否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且ab.求证：过a，b，m有且只有一个平面【精彩点拨】“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑【自主解答】因为ab，所以过a，b有一个平面.又因为maA，mbB，所以Aa，Bb，所以A，B.又因为Am，Bm，所以m，即过a，b，m有一个平面，如图假设过a，b，m还有一个平面异于平面，则a，b，a，b，这与ab，过a，b有且只有一个平面矛盾因此，过a，b，m有且只有一个平面用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性再练一题3若函数f(x)在区间a，b上的图象连续，且f(a)0，且f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点【证明】由于f(x)在a，b上的图象连续，且f(a)0，即f(a)f(b)m，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点构建体系1“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【答案】D2用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是() 【导学号：05410048】A三个内角中至少有一个钝角B三个内角中至少有两个钝角C三个内角都不是钝角D三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”【答案】B3“x0且y0”的否定形式为_【解析】“p且q”的否定形式为“綈p或綈q”【答案】x0或y04用反证法证明命题“若x2(ab)xab0，则xa且xb”时，应假设_【解析】“xa且xb”形式的否定为“xa或xb”【答案】xa或xb5若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根【证明】假设三个方程中都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加得a22abb2b22bcc2c22aca20，(ab)2(bc)2(ca)20，abc.这与a，b，c互不相等矛盾假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1实数a，b，c不全为0等价于()Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至多有一个为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c中至少有一个不为0【解析】“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”【答案】D2(2014山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故应选A.【答案】A3已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线【解析】假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.【答案】C4设a，b，c大于0，则3个数：a，b，c的值() 【导学号：05410049】A都大于2B至少有一个不大于2C都小于2D至少有一个不小于2【解析】假设a，b，c三个数都小于2，则必有abc2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)【解析】假设a，b均不大于1，即a1，b1.则均有可能成立，故不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选.【答案】8完成反证法证题的全过程题目：设a1，a2，a7是由数字1,2，7任意排成的一个数列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设p为奇数，则_均为奇数因7个奇数之和为奇数，故有(a11)(a22)(a77)为_而(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)_.与矛盾，故p为偶数【解析】由假设p为奇数可知(a11)，(a22)，(a77)均为奇数，故(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0为奇数，这与0为偶数矛盾【答案】a11，a22，a77奇数0三、解答题9已知f(x)ax(a1)，证明：方程f(x)0没有负数根【证明】假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01且ax0，由0ax0101，解得x02，这与x0b0，则.用反证法证明：假设不成立，则.若，则ab矛盾故假设不成立，结论成立B命题：已知二次方程ax2bxc0(a，b，cR，且a0)有实根，求证：b24ac0.用反证法证明：假设b24ac0，则ax2bxc0无实根，与已知方程有实根矛盾，0C命题：已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，证明：关于x的方程x22x5p20无实数根用反证法证明：假设方程x22x5p20有实数根，由已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，解得2p，而关于x的方程x22x5p20的根的判别式4(p24)，2p，p24，0，即关于x的方程x22x5p20无实数根D命题：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR.“若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0”用反证法证明：假设ab0，则ab，ba.f(x)是(，)上的增函数，则f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)”的否定应为“”B本题犯了“循环论证”的错误，实质上没有求出该题C在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法【答案】D2设a，b，c均为正实数，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是“P，Q，R同时大于0”的() 【导学号：05410050】A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR0成立其次，若PQR0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P0，Q0，即abc0，bca0，所以b0矛盾故P，Q，R都大于0.【答案】C3用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：ABC