常微分方程试题及参考答案.doc

常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是_.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是_.3.微分方程 =g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换_，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y)=0中令P=y,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=(t),t为参数，则方程参数形式的通解为_.5.方程 =(x+1)3的通解为_.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程 =f(x,y)的定义于区间x0xx0+h上， 满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程_定义于x0xx0+h上的 连续解.7.方程 =x2+xy， 满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是_.8.方程 +a1(t) +an-1(t) +an(t)x=0 中ai(t) i=1,2,，n是a,b上的连续函数，又x1(t),x2(t),，xn(t)为方程n个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：_.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x(t)+x(t)=0的通解为_.10.设A(t)是区间atb上的连续nn矩阵，x1(t),x2(t),，xn(t)是方程组x=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=_的形式.11.初值问题 (t)+2x(t)-tx(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x(1)=2,x(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组_.12.如果A是33的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x=Ax的基解矩阵expAt=_.13.方程组 的奇点类型是_.二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = .2.(6分)解方程 x(t)+ =0.3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程： S(t)-S(t)=t+1 满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组 的基解矩阵(t).7.(7分)验证方程： 有奇点 x1=1, x2=0,并讨论 相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及 连续， 试证方程 dy-f(x,y)dx=0 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-x+，且满足条件|f(x1)-f(x2)|N|x1-x2|,其中0N1,证明方程 x=f(x) 存在唯一的一个解.常微分 方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1. 12. 2+c1t+c23.u= 4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+ 7. (x)= 8.对任意t 9.x(t)=c1et+c2tet+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +cnxn(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2tE+t(A+2E)+ 13.焦点二、计算题（共45分）1. 解：将方程分离变量为 改写为 等式两边积分得 y-ln|1+y|=ln|x|- 即 y=ln 或 ey= 2. 解：令 则得 =0 当 0时 - arc cosy=t+c1 y=cos(t+c1) 即 则x=sin(t+c1)+c2 当 =0时 y= 即 x 3. 解：这里M=y-1-xy, N=x 令 u=xye-x u关于x求 偏导数得 与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有 则 因此 u=xye-x+e-x 方程的解为 xye-x+e-x=c4. 解：方程改写为 这是伯努利方程，令 z=y1-2=y-1 代入方程 得 解方程 z= = 于是有 或 5. 特征方程为 特征根为 对应齐线性方程的通解为s(t)=c1et+c2e-t f(t)=t+1, 不是特征方程的根 从而方程有特解 =（At+B）,代入方程得 -(At+B)=t+1 两边比较同次幂系数得 A=B=-1 故通解为 S(t)=c1et+c2e-t-(t+1) 据初始条件得 c1= 因此所求解为： S(t)= 6. 解：系数矩阵A= 则 ， 而det 特征方程det( )=0, 有特征根 对 对 对 因此基解矩阵 7. 解：因 故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得 化简得 *这里 R(X)= , 显然 （当 时）方程组*中，线性部分矩阵 det(A- )= 由det(A- )=0 得 可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为 线性方程则f(x,y)= 因此仅有依赖于x的 积分因子反之，若仅有依赖于x的 积分因子。这里f(x,y),N=1由- 方程为 这是线性方程.2.证明：由条件|f(x1)-f(x2)| N|x1-x2|,易 知，f(x)为连续函数，任取x0 作逐步点列 xn+1=f(xn) n=0,1, 考虑级数x0+ 因 由归纳法知对任意k,|xk-xk-1