高考数学第6章数列第4节数列求和数列的综合应用高考AB卷理.docx

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第6章 数列 第4节 数列求和、数列的综合应用高考AB卷 理 数列求和1.(2013全国，3)等比数列an的前n项和为Sn.已知S3a210a1，a59，则a1()A.B. C.D.解析设公比为q，则由S3a210a1，得a1a2a3a210a1，故a39a1，所以q29.由a59，得a1.答案C2.(2012大纲全国，5)已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A.B. C.D.解析由S55a3及S515得a33，d1，a11，ann，所以数列的前100项和T10011，故选A.答案A3.(2015全国，16)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.解析由题意，得S1a11，又由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，因为Sn0，所以1，即1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，得1(n1)n，所以Sn.答案4.(2012新课标，16)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_.解析当n2k时，a2k1a2k4k1，当n2k1时，a2ka2k14k3，a2k1a2k12，a2k3a2k12，a2k1a2k3，a1a5a61.a1a2a3a60(a2a3)(a4a5)(a60a61)3711(2601)30611 830.答案1 830数列求和1.(2013辽宁，14)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和.若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_.解析因为x25x40的两根为1和4，又数列an是递增数列，所以a11，a34，所以q2.所以S663.答案632.(2016山东，18)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S111，所以an6n5.设数列bn的公差为d.由即可解得b14，d3，所以bn3n1.(2)由(1)知，cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2.两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.3.(2015山东，18)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.解(1)因为2Sn3n3，所以2a133，故a13，当n1时，2Sn13n13，此时2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因为anbnlog3an，所以b1，当n1时，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；当n1时，Tnb1b2b3bn131232(n1)31n，所以3Tn1130231(n1)32n，两式相减，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn，经检验，n1时也适合.综上可得Tn.4.(2015天津，18)已知数列an满足an2qan(q为实数，且q1)，nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差数列.(1)求q的值和an的通项公式；(2)设bn，nN*，求数列bn的前n项和.解(1)由已知，有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)，即a4a2a5a3，所以a2(q1)a3(q1)，又因为q1，故a3a22，由a3a1q，得q2.当n2k1(kN*)时，ana2k12k12；当n2k(kN*)时，ana2k2k2.所以，an的通项公式为an(2)由(1)得bn，nN*.设bn的前n项和为Sn，则Sn123(n1)n，Sn123(n1)n.上述两式相减得：Sn12，整理得，Sn4，nN*.所以，数列bn的前n项和为4，nN*.5.(2014山东，19)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为S1a1，S22a122a12，S44a124a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1.当n为偶数时，Tn1.当n为奇数时，Tn1.所以Tn数列的综合问题6.(2015福建，8)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于()A.6B.7 C.8D.9解析由题意知：abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有：a，2，b；b，2，a.或解之得：或p5，q4，pq9，故选D.答案D7.(2015浙江，3)已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()A.a1d0，dS40B.a1d0，dS40C.a1d0，dS40D.a1d0，dS40解析a3，a4，a8成等比数列，(a13d)2(a12d)(a17d)，整理得a1d，a1dd20，又S44a1d，dS40，故选B.答案B8.(2016四川，19)已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，Sn1qSn1，其中q0，nN*.(1)若2a2，a3，a22成等差数列，求an的通项公式；(2)设双曲线x21的离心率为en，且e2，证明：e1e2en.(1)解由已知，Sn1qSn1，Sn2qSn11，两式相减得到an2qan1，n1.又由S2qS11得到a2qa1，故an1qan对所有n1都成立.所以，数列an是首项为1，公比为q的等比数列.从而anqn1.由2a2，a3，a22成等差数列，可得2a33a22，即2q23q2，则(2q1)(q2)0，由已知，q0，故q2.所以an2n1(nN*).(2)证明由(1)可知，anqn1.所以双曲线x21的离心率en.由e2，解得q.因为1q2(k1)q2(k1)，所以qk1(kN*).于是e1e2en1qqn1.故e1e2en.9.(2016北京，20)设数列A：a1，a2，aN(N2).如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有akan，则称n是数列A的一个“G时刻”.记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合.(1)对数列A：2，2，1，1，3，写出G(A)的所有元素；(2)证明：若数列A中存在an使得ana1，则G(A)；(3)证明：若数列A满足anan11(n2，3，N)，则G(A)的元素个数不小于aNa1.(1)解G(A)的元素为2和5.(2)证明因为存在an使得ana1，所以iN*|2iN，aia1.记mminiN*|2iN，aia1，则m2，且对任意正整数k，m，aka1am.因此mG(A).从而G(A).(3)证明当aNa1时，结论成立.以下设aNa1.由(2)知G(A).设G(A)n1，n2，np，n1n2np.记n01.则an0an1an2anp，对i0，1，p，记GikN*|nikN，akani.如果Gi，取mimin Gi，则对任何1kmi，akaniami.从而miG(A)且mini1.又因为np是G(A)中的最大元素，所以Gp.从而对任意npkN，akanp，特别地，aNanp.对i0，1，p1，ani11ani.因此ani1ani11(ani1ani11)ani1.所以aNa1anpa1(aniani1)p.因此G(A)的元素个数p不小于aNa1.10.(2015广东，21)数列an满足：a12a2nan4，nN*.(1)求a3的值；(2)求数列an前n项和Tn；(3)令b1a1，bnan(n2)，证明：数列bn的前n项和Sn满足Sn22ln n.(1)解a11，a12a22，a2，a12a23a34，a3.(2)解n2时，a12a2(n1)an14，与原式相减，得nan，an，n1也符合，Tn2.(3)证明n2时，bnanan故Snia1a2a3ana1a2a3anTn2，只需证明222ln n，nN*.对于任意自然数kN，令x(1，0)时，ln0，即ln(k1)ln k.k1时，ln 2ln 1，k2时，ln 3ln 2.kn1时，ln 2ln(n1).11(ln 2ln 1)(ln 3ln 2)ln nln(n1)，即11ln n，所以n2时，222ln n，综上nN时，Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.解(1)设数列an的公差为d，依题意，2，2d，24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2，从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n.显然2n60n800成立.当an4n2时，Sn2n2.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的n；当an4n2时，存在满足题意的n，其最小值为41.14.(2013北京，20)已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2，的最小值记为Bn，dnAnBn.(1)若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dnd(n1，2，3，)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；(3)证明：若a12，dn1(n1，2，3，)，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.(1)解d1d21，d3d43.(2)证明(充分性)因为an是公差为d的等差数列，且d0，所以a1a2an.因此Anan，Bnan1，dnanan1d(n1，2，3，).(必要性)因为dnd0(n1，2，3，)，所以AnBndnBn.又因为anAn，an1Bn，所以anan1.于是，Anan，Bnan1，因此an1anBnAndnd，即an是公差为d的等差数列.(3)证明因为a12，d