时间序列信号模型.ppt

1.5 时间序列的信号模型 1.5.1 时间序列信号模型的概念,描述平稳随机序列的统计特性有以下三种方式： 自相关函数； 功率谱(密度函数)； 时间序列信号模型, 如图1.5.1所示。 该信号模型表示：平稳随机序列 , 可以看成是由白噪声序列源 激励一个线性系统 产生的.,这里信号模型的输入-输出关系满足下列 阶差分方程: 或者写成 （1.5.1） 式中, 系数 . 是均值为零,方差为 的白噪声序列, 是我们要研究的平稳随机序列. 系统函数可由式(1.5.1)的z变换得到: （1.5.2）,由于输出端含x(n-k),因此存在反馈支路.ak是反馈(或自回归,AR)支路的系数, 称为AR系数.bk是前馈(或滑动平均, MA)支路的系数, 称为MA系数.,其中 ； 另一方面, 由于输入-输出自相关函数的关系为 (1.5.3) 式中, 为系统的冲激响应函数. 上式的z变换为 令 , 同时考虑到 , 得到 的功率谱为 (1.5.3),由以上分析可知, 随机序列 的自相关函数和功率谱均与信号模型 参数(阶次和系数)有关, 因此可采用这些模型参数来估计 和 信号模型法是一种研究平稳随机序列的有效方法. 由于该模型是一 种线性模型, 它具有连续功率谱特性, 因此在功率谱估计方面, 显示出 很大的优越性. 1.5.2 三种时间序列信号模型 根据方程中系数取值的情况, 信号模型分为以下三种. 1.滑动平均模型(Moving Average, 简称MA模型) （1）差分方程与系统函数 若 ,其它 , 则模型差分方程为 (1.5.5) 系统函数 (1.5.6),2.特点 全零点模型(MA模型): 只存在零点,没有除原点以外的极点; 若全部零点都在单位园内, 该系统则为最小相位系统, 且模型是可逆 的. 2.自回归模型(Auto-Regressive, 简称AR模型) （3）差分方程与系统函数 若 , , 其它 , 则模型差分方程为 (1.5.7) 系统函数 (1.5.8),即为FIR滤波器.,“自回归”的含义是: 该模型当前的输出, 是当前的输入和过去p 个输出的加权和.,该式说明x(n)是一个AR(p)过程. 意指x(n)是由w(n)激励一个p阶的AR模型所产生的.,（4）特点 全极点模型(AR模型): 只存在极点,没有除原点以外的零点; 若全部极点都在单位园内, 模型才是稳定的. 3.自回归-滑动平均模型(简称ARMA模型) （1）差分方程与系统函数 若 , ,而其它所有 与 都不为零, 则模型的差分方程表 示为: (1.3.9) 系统函数 (1.3.10),即为IIR滤波器.,自回归滑动平均Auto Regressive Moving Average, 即ARMA,（2）特点 极点-零点模型(ARMA模型); 分子部分称为MA部分; 分子部分称为AR部分, 应分别满足稳定性和可 逆性条件.,关于滤波器长度和阶数的说明: MA模型或RIR滤波器滤波器长度就是单位冲激响应bk的长度(有限长), 即系数的个数.其阶数是差分方程或系统函数式中q的大小(等于长度减1). AR模型,ARMA模型或IIR滤波器滤波器的单位冲激响应的长度是无限的,因此一般只讲它的阶数. 阶数就是差分方程或系统函数式中p的大小.,典型IIR滤波器.,1.5.3 三种时间序列信号模型的适应性,1. MA及ARMA信号模型的普遍适用性 沃尔德(wold)分解定理: 任意一个实平稳随机序列 均可作如下分解： (1.3.11) 其中， 确定性信号部分(或不存在, 或可事先去掉); 具有连续谱分布函数的, 有限阶平稳随机MA序列. 由此可见MA信号模型具有普遍使用的性质. 由于ARMA信号模型包含了MA模型部分, 所以ARMA信号模型同样具有普 遍使用的性质. 2.AR信号模型的普遍适用性 任意一个MA序列, 可用无限阶AR信号模型表示, 或者用阶数足够大的AR 信号模型近似表示(证明见教材).,举例 【1】假定 模型为 求与其等价的AR模型. 解: 令 表示后移算子, 即 , , , 于是 模型可表示为 其中 , 设与 等价的AR模型为,则 即 可得 , 由上可见, AR模型参数 数目是无限的, 它们的绝对值按一幂 级数减少, 即,其中 等价的AR模型具有无限阶数, 但其参数 是按幂级数递减, 故应选择 合适的有限价 处截断, 即用 模型近似. 【2】设一 模型为 求与其等价 的模型. 解: 方法同上, 结果如下: 【3】假定 模型为 ， 求与其等价的AR模型.,解: 方法同上, 结果如下: 因此, 由于 , 故 模型参数 按幂级数 减少, 愈近于零, 减 少愈快; 而 愈近于1, 减少愈慢.,1.5.4自相关函数,功率谱与时间序列信号模型的关系,上面已经说明,已知信号模型参数,可求得输出功率谱(用z变换形式表 示) 本节讨论, 已知信号的功率谱(或自相关函数), 如何按上式唯一分解 出一个因果稳定的模型系统函数. 1.有理谱信号 有理谱信号是信号模型输出的随机信号,其功率谱 是 或者 的有理函数. 简要说明如下: 由上式可知, 若 是 的极点, 则 是 的极点, 因此, 式 中必包含下列因子: 上式进一步表明 是 的函数,设,则 令 ,得到 这就说明有理谱信号的功率谱是 或者 的有理函数. 2.谱分解定理 （1）定理 如果功率谱 是平稳随机序列 的有理谱, 则一定存在一个零极 点均在单位园内的有理函数 (1.3.12),满足 , 式中, , 都是实数, ,且 , . 解释: 根据谱分解定理, 若已知功率谱(或自相关函数), 就一定能唯一地求 出等价的信号模型; 谱分解的约束条件是, 分解出的模型系统函数的零、极点必须都在单 位园内部, 这就保证了谱分解的唯一性. 按谱分解定理分解得到的 一定是最小相位系统, 因而模型具有可逆 性(即必存在逆系统).,1.5.5例题,例1.5.1 (谱分解:已知功率谱求信号模型) 已知有理谱为 将上式的 化成 和z变换的形式: 上式可能分解的四种形式如下: a) 零点 ,极点,零极点均在单位园内.,b) 零点 ,极点 c) 零点 ,极点 d) 零点 ,极点 以上四种分解结果, 只有a) 满足约束条件(零极点均在单位园内). 例1.5.2 (已知信号模型, 求等价的自相关函数和功率谱) 已知一阶AR模型: , 式中, 是零均值, 方差 的白噪声, 设 ,试求与其等价 的自相关函数和功率谱. 解一 由信号模型直接求功率谱, 然后由功率谱再求自相关函数. 根据模型差分方程得到系统函数为,功率谱和自相关函数分别为 解二 由模型差分方程直接求自相关函数和功率谱. 由模型差分方程得,例1.5.3 (功率谱是 的函数时, 进行谱分解的方法) 已知 的功率谱 求其模型的系统函数. 解 (1)令 ,得有理函数 : (2)求 分子, 分母的根: 分子的根: , 分母的根: , (3)构造对每个 的方程: , , , 可见, 对每个 方程均有两个根: 和 , 其中 在单位园内. (