高等数学向量及其加减法向量与数的乘法.ppt

,一、向量概念,二、向量的加减法,三、向量与数的乘法,72 向量及其加减法 向量与数的乘法,向量、,向量的符号、,向径、,自由向量,向量的模、单位向量、零向量、,向量的平行,向量的加法、,三角形法则、,平行四边形法则,向量加法的运算规律、,向量的减法、,三角不等式,向量与数的乘法、,运算规律,向量平行的充分必要条、,向量的单位化,一、向量概念,向量： 既有大小，又有方向的量叫做向量,在数学上，用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向 量有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向 量的方向,例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量,以M1为起点、M 2为终点的有向线段所表示的向量，记作,向量的符号：,向量可用粗体字母表示，也可用上加箭头书写体字母表示，,例如，b，i，j，k，F，,向径：,以原点O为起点，向一个点M引向量，,r,这个向量叫做点M 对,于点O的向径，,由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上 我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称 向量,自由向量：,因此，如果向量 a 和 b的大小相等，且方向相同，则说向量 a 和 b 是相等的，记为 a b,相等的向量经过平移后可以完 全重合,向量的模：,单位向量：,模等于0的向量叫做零向量，记作0 零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的,模等于1的向量叫做单位向量,零向量：,向量的大小叫做向量的模,向量的平行：,零向量认为是与任何向量都平行,两个非零向量如果它们的方向相同或相反，就称这两个向量 平行向量a与b平行，记作a / b,二、向量的加减法,向量的加法：,再以B为,的和，,记作 a b ，即 c a b ,设有两个向量 a 与 b ，,任取一点A，作 a ，,起点，作 = b，,那么向量 c 称为向量 a 与 b,连接AC，,注意求和过程：,再以B为,的和，,记作 a b ，即 c a b ,设有两个向量 a 与 b ，,任取一点A，作 a ，,起点，作 = b，,那么向量 c 称为向量 a 与 b,连接AC，,二、向量的加减法,向量的加法：,这种作出两向量之和的方法叫三角形法则,平行四边形法则：,AD为边作一平行四边形ABCD，,以AB、,C,连接对角线AC，,当向量 a 与 b 不平行时，,作 a ， b，,那么向量,等于向量 a 与 b 的和 a b ,c,向量的加法符合下列运算规律：,(2)结合律(a b) c a (b c),(1)交换律a b b a；,a + b,负向量：,向量的减法：,设 a 为一向量，与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的曲面向量，记为a,我们规定两个向量 b 与 a 的差为 b a b (a) 即把向量 a 加到向量 b 上，便得 b 与 a 的差 b a,三角不等式：,由三角形两边之和大于第三边的原理，有 | a b | | a | | b | 及 | a b | | a | | b |， 其中等号在b与a同向或反向时成立,三、向量与数的乘法,( 0),( 0),向量 a与实数的乘积记作 a ，规定 a 是一个向量，它的 模|a| a |，它的方向当0时与 a 相同，,l a,当0时，|a|0，即a为零向量， 特别地，当1时，有 1a a，(1) a a,当0时与 a 相反,向量与数的乘积符合下列运算规律：,(1)结合律( a )( a )( )a； (2)分配律()aa a； ( a b )a b,向量平行的充分必要条件： 定理1 设向量 a 0，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条 件是：存在唯一的实数，使 b a（ 向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在不全为零的实数1 、 2 ，使 a1 +b 2=0 ）,向量的单位化：,设a 0，则向量