华南农大高数第8章相似矩阵与二次型.ppt

二次型及其标准形,二次型的概念,定义,叫做二次型。,含有n个自变量 的二次齐次函数,如果二次型的系数都为实数，则称二次型为实二次型。,例如,是二次型,不是二次型,二次型 f,对称矩阵 A,对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩,一一对应,二次型可表示为 矩阵形式,（A为对称矩阵）,二次型的矩阵及其秩,只含平方项的二次型,对应的矩阵为对角形矩阵,显然A是对称矩阵，,这表明对称矩阵A是二次型,的矩阵。,只含有平方项的二次型叫做标准形,解,（秩不变）,二次型的标准形,定义,就称此二次型为原来二次型的标准形。,定理1,经过可逆线性变换后，二次型的秩不变。,如果二次型 经过可逆线性变换x=Hy变成y的二次型,如,经线性变换,化得标准形,定理2,任何二次型的标准型都存在。,是任意二次型,其中A是n阶对称矩阵,存在正交矩阵P，使得,作正交变换,化二次型为标准型,作线性变换,则得二次型的标准形,配方法,即,用配方法把二次型化成标准型,作线性变换,即,解,可得二次型的标准形,定理 设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使,用正交变换化二次型为标准型,对相应的二次型,作正交变换,则有,即化得标准形,用正交变换化二次型为标准型的具体步骤,2.求矩阵A的特征值,3. 对每个特征值 ，求对应的特征向量,4. 将特征向量正交化、单位化，得到,1. 写出二次型的矩阵A,5. 构造正交矩阵，写出相应的正交变换及标准形,正交矩阵,正交变换,标准形,得特征值,可顺次求得单位特征向量,例 用正交变换，化下列二次型为标准形,解 二次型的矩阵为,由,令,则经正交变换 ，可得标准形,试用正交变换化二次型,为标准型,解,矩阵A的特征多项式为,特征值,正交化,单位化,作正交变换,代入f ，得到标准型,惯性定律,对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的（称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称为惯性指标）,f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r,f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数,f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数,二次型的正定性,定义：,判定二次型的正定性,定理1,推论,定理2,推论,定理,定理3 (hurwitz定理）,定义,都叫做矩阵的顺序主子式。,推论,A的三个顺序主子式为,所以A是正定矩阵，f 是正定二次型。,例 判断二次型的正定性,解法1 二次型的矩阵为,解出特征值,故A是正定矩阵，f 是正定二次型。,例 判断二次型的正定性,解法2 二次型的矩阵为,解 二次型的矩阵,A的三个顺序主子式为,所以 f 为负定二次型。,例 判断二次型的正定性,定义,如果方阵A的某一子式的主对角线完全位于A的主对角线上，就称该子式为的主子式。,定理,判别正定二次型（矩阵）的三种方法,1.标准形,2.特征值,3.顺序主子式与主子式,A的三个顺序主子式为,可见A不是负定的，不是正定的，也不是半正定的。,二次型的最大最小值,A是n阶对称矩阵，其特征值为,对应的标准正交特征向量顺次为,定理,若限定,则二次型,的最大值是A的最大特征值，而最小值是A的最小特征值。,例,限定,求二次型,的最大最小值，,并指明,解,特征方程为,特征值,即在条件,下，二次型f 的最大值是