全国通用2017年高考数学专题复习应试技能专训二中档题专练理.DOC

二、中档题专练(一)1.2016长春监测已知函数f(x)2sinxcosx2cos2x.(1)求函数yf(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a7，若锐角A满足f，且sinBsinC，求ABC的面积解(1)f(x)2sinxcosx2cos2xsin2xcos2x2sin，因此f(x)的最小正周期为T.f(x)的单调递减区间为2k2x2k(kZ)，即x(kZ)(2)由f2sin2sinA，又A为锐角，所以A.由正弦定理可得2R，sinBsinC，则bc13，由余弦定理可知，cosA，可求得bc40，故SABCbcsinA10.22016重庆测试 如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABCD，BAD，AB2，CD3，M为PC上一点，PM2MC.(1)证明：BM平面PAD；(2)若AD2，PD3，求二面角DMBC的正弦值解(1)证明：如图，过点M作MECD交PD于E，连接AE.又PM2MC，故，因为CD3，所以EM2.因为ABCD，故ABEM.而AB2，所以AB綊EM，故四边形ABME为平行四边形，从而BMAE，又AE平面PAD，BM平面PAD，所以BM平面PAD.(2)以D为坐标原点，DC，DP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由已知ADAB2，BAD，故ABD为等边三角形，所以DB2，ABD.因为ABCD，故BDC.记B点的坐标为(xB，yB,0)，则xBDBsinBDC，yBDBcosBDC1，即B(，1,0)由已知PDDC3，故D(0,0,0，)，P(0,0,3)，C(0,3,0)，(0,0,3)，(0,3，3)由PM2MC，故(0,2，2)，(0,2,1)，即M(0,2,1)所以(，1,0)，(0,1，1)，(，2,0)，设平面BDM的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面BCM的法向量为n2(x2，y2，z2)由n10，n10，得故可取n1(1，2)，由n20，n20，得故可取n2(2，)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2，故所求二面角DMBC的正弦值为.32016贵阳监测在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图(1)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(2)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量，求的分布列和数学期望解(1)学生甲的平均成绩甲82，学生乙的平均成绩乙82，又s(6882)2(7682)2(7982)2(8682)2(8882)2(9582)277，s(7182)2(7582)2(8282)2(8482)2(8682)2(9482)2，则甲乙，ss，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛(2)随机变量的所有可能取值为0,1,2，且P(0)，P(1)，P(2)，则的分布列为：012P所以数学期望E( )012.(二)1.2016云南统检设数列an的前n项和为Sn，对任意正整数n,3an2Sn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：Sn2SnS.解(1)对任意正整数n,3an2Sn2，3an12Sn12，3an13an2Sn12Sn0，即3an13an2(Sn1Sn)0，3an13an2an10，解得an13an.当n1时，3a12S12，即a12，an23n1.数列an的通项公式为an23n1.(2)证明：由(1)可得Sn3n1，Sn13n11，Sn23n21，Sn2SnS43n0，Sn2Sn300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272015(1)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染根据提供的统计数据，完成下面的22列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非严重污染严重污染总计供暖季非供暖季总计100(2)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望附：K2P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解(1)根据题设中的数据得到如下22列联表：非严重污染严重污染总计供暖季22830非供暖季63770总计8515100将22列联表中的数据代入公式计算，得K24.575.因为4.5753.841，所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”(2)任选一天，设该天的经济损失为X元，则P(X0)P(0x100)，P(X400)P(100300)，所以E(X)04002000560.故该企业一个月的经济损失的数学期望为30E(X)16800(元)3在ABC中，ABC90，AB6，BC8，EFAB，CEEB53，将三角形EFC折起，使C在平面ABEF的射影落在B点上(1)若M是BC的中点，在线段AC上找一点H，使MH平面ABEF，试确定H点的位置(2)求点B到平面AEC的距离(3)若(00，故q2，从而an22n1，即数列an的通项公式为an22n1.(2)由(1)知a12，数列an是以22为公比的等比数列，故Sn(22n1)因此不等式Sk30(2k1)可化为(22k1)30(2k1)，即(2k1)(2k1)30(2k1)，因为2k10，所以2k46，即klog246.又5log2466，所以正整数k的最小值为6.22016广西质检某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70,76)76,82)82,88)88,94)94,100产品A81240328产品B71840296(1)试分别估计产品A，产品B为正品的概率；(2)生产1件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产1件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元，在(1)的前提下，记X为生产1件产品A和1件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望解(1)产品A为正品的概率约为.产品B为正品的概率约为.(2)随机变量X的所有取值为180,90,60，30.P(X180)；P(X90)；P(X60)；P(X30).所以随机变量X的分布列为：X180906030PE(X)1809060(30)132.3. 2015长春质监如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAABAD2，四边形ABCD满足ABAD，BCAD且BC4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点，且.(1)求证：平面ADM平面PBC；(2)是否存在实数，使得二面角PDEB的余弦值为？若存在，试求出实数的值；若不存在，说明理由解(1)证明：取PB的中点N，连接MN、AN，M是PC的中点，N是PB的中点，MNBC，MNBC2，又BCAD，MNAD，MNAD，四边形ADMN为平行四边形APAD，ABAD，AD平面PAB，ADAN，ANMN.APAB，ANPB，AN平面PBC.AN平面ADM，平面ADM平面PBC.(2)存在符合条件的.以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则P(0,0,2)，D(0,2,0)，B(2,0,0)，设E(2，t,0)，从而(0,2，2)，(2，t2,0)，则平面PDE的一个法向量为n1(2t,2,2)，又平面DEB即为平面xAy，其一个法向量为n2(0,0,1)，则cosn1n2，解得t3或t1，故3或.(四)1.2015贵州八校联考在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(ab，sinAsinC)，向量n(c，sinAsinB)，且mn.(1)求角B的大小；(2)设BC中点为D，且AD，求a2c的最大值及此时ABC的面积解(1)因为mn，故有(ab)(sinAsinB)c(sinAsinC)0由正弦定理可得(ab)(ab)c(ac)0，即a2c2b2ac，由余弦定理可知cosB，因为B(0，)，所以B.(2)设BAD，则在BAD中，由B可知，由正弦定理及AD有2；所以BD2sin，AB2sincossin，所以a2BD4sin，cABcossin，从而a2c2cos6sin4sin，由可知，所以当，即时，a2c的最大值为4；此时a2，c，所以SacsinB.22016湖北七市联考某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查这1000名购物者2015年网上购物金额(单位：万元)均在区间0.3,0.9内，样本分组为：0.3,0.4)，0.4,0.5)，0.5,0.6)，0.6,0.7)，0.7,0.8)，0.8,0.9购物金额的频率分布直方图如下：电商决定给抽取的购物者发放优惠券，购物金额在0.3,0.6)内的购物者发放100元的优惠券，购物金额在0.6,0.9内的购物者发放200元的优惠券现采用分层抽样的方式从获得100元和200元优惠券的两类购物者中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得优惠券总金额X(单位：元)的分布列和均值解利用分层抽样从1000人中抽取10人，发放100元优惠券的购物者有：10(1.52.53)0.17(人)，发放200元优惠券的购物者有：10(20.80.2)0.13(人)则此3人所获优惠券的总金额X的可能取值有：300,400,500,600，且P(X300)，P(X400)，P(X500)，P(X600).于是，X的分布列为：X300400500600P均值为E(X)300400500600390.32016武昌调研如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，E为PB的中点，ADAE，且PAAB，ADAE1.(1)证明：PA平面ABCD；(2)求二面角BECD的正弦值解(1)证明：PAAB，E为PB的中点，AEPB.在RtPEA中，PE 1，PB2PE2.又PAAB，PA2AB2PB2，PAAB.又ADAE，ADAB，AD平面P