高中数学第3章导数应用3.1.2函数的极值学案北师大版.docx

1.2函数的极值1.理解极大值，极小值的概念.(难点)2.掌握求极值的步骤.(重点)3.会利用导数求函数的极值.(重点)基础初探教材整理极值点与极值阅读教材P59“练习”以下至P61“例3”以上部分，完成下列问题.1.极大值点与极大值如图316，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值.图3162.极小值点与极小值如图317，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值.图3173.极值的判断方法如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.4.求函数yf(x)极值的步骤(1)求出导数f(x).(2)解方程f(x)0.(3)对于方程f(x)0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x3ax2x1必有两个极值.()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合.()(3)函数f(x)有极值.()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型求函数的极值求下列函数的极值.(1)f(x)x22x1；(2)f(x)x36；(3)f(x)|x|.【自主解答】(1)f(x)2x2，令f(x)0，解得x1.因为当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以函数在x1处有极小值，且y极小值2.(2)f(x)x32x2xx(x22x1)x(x1)2.令f(x)0，解得x10，x21.所以当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，1)1(1，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增无极值单调递增所以当x0时，函数取得极小值，且y极小值6.(3)f(x)|x|显然函数f(x)|x|在x0处不可导，当x0时，f(x)x10，函数f(x)|x|在(0，)内单调递增；当x0时，f(x)(x)10，函数f(x)|x|在(，0)内单调递减.故当x0时，函数取得极小值，且y极小值0.1.讨论函数的性质要注意定义域优先的原则.2.极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点.点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：f(x0)0；点x0两侧f(x)的符号不同.(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x0点)，也可能不是极值点(如y，在x0处不可导，在x0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f(x)0的根，也可能是不可导点.再练一题1.已知函数f(x)x22ln x，则f(x)的极小值是_. 【导学号：94210059】【解析】f(x)2x，且函数定义域为(0，)，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，当x(0，1)时，f(x)0，当x1时，函数有极小值，极小值为f(1)1.【答案】1利用函数的极值求参数已知f(x)x3ax2bxc在x1与x时都取得极值.(1)求a，b的值；(2)若f(1)，求f(x)的单调区间和极值.【精彩点拨】(1)求导函数f(x)，则由x1和x是f(x)0的两根及根与系数的关系求出a，b.(2)由f(1)求出c，再列表求解.【自主解答】(1)f(x)3x22axb，令f(x)0，由题设知x1与x为f(x)0的解.a，b2.(2)由(1)知f(x)x3x22xc，由f(1)12c，得c1，f(x)x3x22x1，f(x)3x2x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增f(x)的递增区间为和(1，)，递减区间为.当x时，f(x)有极大值为f；当x1时，f(x)有极小值为f(1).已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.再练一题2.已知函数f(x)x3(m3)x2(m6)x(xR，m为常数)，在区间(1，)内有两个极值点，求实数m的取值范围.【解】f(x)x2(m3)xm6.因为函数f(x)在(1，)内有两个极值点，所以导数f(x)x2(m3)xm6在(1，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示.所以解得m3，故实数m的取值范围是(3，).探究共研型函数极值的综合应用探究1导数为0的点都是极值点吗？【提示】不一定，如f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点.所以，当f(x0)0时，要判断xx0是否为f(x)的极值点，还要看f(x)在x0两侧的符号是否相反.探究2函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图像如图318所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？图318【提示】一个.x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点，x1，x3是极大值点.探究3函数yf(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？【提示】不一定，若函数yf(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点.已知函数f(x)x33xa(a为实数)，若方程f(x)0有三个不同实根，求实数a的取值范围.【精彩点拨】求出函数的极值，要使f(x)0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围.【自主解答】令f(x)3x233(x1)(x1)0，解得x11，x21.当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以当x1时，f(x)有极大值f(1)2a；当x1时，f(x)有极小值f(1)2a.因为方程f(x)0有三个不同实根，所以yf(x)的图像与x轴有三个交点，如图.由已知应有解得2a0，x取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个交点.由(1)知f(x)极大值fa，f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0，即a0，a1，当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点.构建体系1.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图像如图319，则函数f(x)()图319A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点【解析】有极值点的定义可知答案应选C.【答案】C2.函数yx33x29x(2x2)有()A.极大值5，极小值27B.极大值5，极小值11C.极大值5，无极小值D.极小值27，无极大值【解析】由y3x26x90，得x1或x3.当x1或x3时，y0；由1x3时，y0，当x1时，函数有极大值5；3(2，2)，故无极小值.【答案】C3.(2016四川高考)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A.4B.2C.4D.2【解析】由题意得f(x)3x212，令f(x)0得x2，当x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)0，右侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值D.如果在x0点附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极大值【解析】根据极值的概念，左侧f(x)0，单调递增；右侧f(x)0，单调递减，f(x0)为极大值.【答案】B2.设函数f(x)ln x，则()A.x为f(x)的极大值点B.x为f(x)的极小值点C.x2为f(x)的极大值点D.x2为f(x)的极小值点【解析】f(x)，令f(x)0，即0，得x2，当x(0，2)时，f(x)0.因此x2为f(x)的极小值点，故选D.【答案】D3.(2016烟台高二检测)已知函数f(x)x22(1)k ln x(kN)存在极值，则k的取值集合是()A.2，4，6，8，B.0，2，4，6，8，C.1，3，5，7，D.N【解析】f(x)2x且x(0，)，令f(x)0，得x2(1)k，(*)要使f(x)存在极值，则方程(*)在(0，)上有解，(1)k0，又kN，k2，4，6，8，所以k的取值集合是2，4，6，8，.【答案】A4.设函数f(x)xln x(x0)，则yf(x)()A.在区间，(1，e)内均有零点B.在区间，(1，e)内均无零点C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D.在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点【解析】f(x)，令f(x)0，得x3，当0x3时，f(x)0，f(e)10，所以yf(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点.【答案】D5.函数f(x)x33bx3b在(0，1)内有且只有一个极小值，则()A.0b1B.b0D.b【解析】f(x)3x23b，要使f(x)在(0，1)内有极小值，则即解得0b1.【答案】A二、填空题6.函数f(x)x33x21在x_处取得极小值. 【导学号：94210061】【解析】由f(x)x33x21，得f(x)3x26x3x(x2).当x(0，2)时，f(x)0，f(x)为增函数.故当x2时，函数f(x)取得极小值.【答案】27.(2016佛山高二检测)设方程x33xk有三个不等的实根，则实数k的取值范围是_.【解析】设f(x)x33xk，则f(x)3x23.令f(x)0，得x1，且f(1)2k，f(1)2k，又f(x)的图像与x轴有三个交点，故2k2.【答案】(2，2)8.(2016石家庄高二检测)若函数f(x)x3x2ax4在区间(1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_.【解析】f(x)3x22xa，函数f(x)在区间(1，1)上恰有一个极值点，即f(x)0在(1，1)内恰有一个根.又函数f(x)3x22xa的对称轴为x，应满足1a5.【答案】1，5)三、解答题9.已知函数yax3bx2，当x1时，有极大值3.(1)求实数a，b的值；(2)求函数y的极小值.【解】(1)y3ax22bx.由题意，知即解得(2)由(1)知y6x39x2.所以y18x218x18x(x1).令y0，解得x11，x20.所以当x0时，y0；当0x0；当x1时，y0)上存在极值，求实数a的取值范围.【解】因为f(x)，x0，则f(x)，当0x0，当x1时，f(x)0)上存在极值，所以解得a0，当x时，f(x)0，当x时，函数有极大值，f2，当x1时，函数有极小值，f(1)1210，故选A.【答案】A2.如图3110是函数f(x)x3bx2cxd的大致图像，则xx等于()图3110A. B.C.D.【解析】由函数f(x)x3bx2cxd的图像过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，得d0，bc10，4b2c80，则b3，c2，f(x)3x22bxc3x26x2，且x1，x2是函数f(x)x3bx2cxd的两个极值点，即x1，x2是方程3x26x20的实根，xx(x1x2)22x1x24.【答案】C3.函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_. 【导学号：94210062】【解析】由题意，知f(x)3x23a，令f(x)0，得x.因为函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，所以f()2，f()6，即()33ab2，()33ab6，解得a1，b4.所以f(x)3x23，令f(x)0，解得1x1，所以f(x)的单调递减区间是(1，1).【答案】(1，1)4.已知f(x)x3bx2cx2.(1)若f(x)在x1时有极值1，求b，c的值；(2)在(1)的条件下