浅谈化归思想在解题中的应用.doc

浅谈化归思想在解题中的应用胡金龙（长武县枣元九年制学校，陕西咸阳 713600）摘 要：正当我们面对的数学问题不能用已知模型解决时，就会考虑是否能运用其他意义上的解题策略，其中首要的一个是化归转化策略。化繁为简，化新为旧，化生为熟，化未知为已知，化综合为基本，这是人们认识问题的基本规律。关键词：化归;转化;变换;应用 知识与科学的思想方法可以比喻成“鱼和渔”。古人云：“授之以鱼，不如授之以渔。”这句至理名言道出了科学思想方法的重要性。日本的数学教育家米山圆藏说：“我搞了多年的数学教育，发现：学生在初中接受的数学知识因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以通常是出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深地铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方法却随时随地发生作用，使他们受益终生。”所以，他认为：“无论对于科学工作者，技术人员，还是教育工作者，最重要的就是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的。”这一段话值得我们深思。所谓的“化归”。化就是变化原问题，转化原问题，变换原问题；归，说的是变化、转化、变换原问题是有目的、有方向的。就是在研究和解决数学问题时采取迂回的手段来达到目的的一种方法，也就是将要解决的问题先进行变换，使之转化为自己会解决的问题。具体地讲，就是将复杂的问题通过变换转化成简单的问题；将难的问题通过变换转化成容易的问题；将未解决的问题通过变换转化成已解决的问题。当然也可以是形式上的转化，如：命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，多元向一元的转化等等，都是转化思想的体现。所以，做为一名教育工作者，在教学过程中要把这种思想溶入进去，让学生体会其中的精髓。在解决问题的过程中，我们常常会遇到一些直接求解困难的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，或者根据已有的学习经验，选择恰当的方法进行变换，将原来问题转化为一个新问题，通过对新问题的求解，从而达到解决原问题的目的，这一思想方法，我们称之为“化归与转化思想的核心”，是以可变的观点对所要解决的问题进行变换，就是在解决问题的过程中，不是对问题进行直接进攻，而是采用迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已解决问题，它的基本形式有：化难为易，化新为旧，化未知为已知，化多元为一元，化立体为平面等等。对于化归思想的的运用，也不是随时用，或随便就能用，它需要遵循一定的原则：一、熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将新知识转化为旧知识，以便于我们运用熟悉的知识、经验或问题来解决。除了极少数公理外，整个初中阶段数学知识的学习都就将新问题转化为已解决的问题或旧知识而得到的。例如：在学习二元一次方程时，用化元法，将二元一次方程（组）转化为一元一次议程；在学习一元二次方程时，用降幂法将一元二次方程转化为一元一次方程；在学习函数时，将函数问题转化为方程问题，在解决有些方程问题时，又可以将方程问题转化为比较直观的函数图像等等。二、简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，从而达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示或依据。大部分学生都能把问题简单化，达到求解的过程。这个原则在初中数学知识中，无以记数。例如：在学习了蚂蚁怎样爬最近后，学生易得，对于这一类问题的解决，无疑就是把问题简单化，化立体几何问题为平面几何问题。三、直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决，这个在有关函数与图像、勾股定理的问题中应用比较广泛。都是将枯燥无味的代数问题转化为直观的具体图形，从而找到解决问题的方法。四、低层次化原则：即解决数学问题时，尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归为少元问题解决。化归转化策略涉及三个基本要素，即化归的对象、目标和方法，化归的对象就是待解问题中需要变更的成分，化归的目标是指所要达到的规范问题，化归的方法就是规范化的手段、措施、技术，其中化归方法是实现化归的关键。运用化归转化的方法在解决实际问题的过程中，模式不固定，而化归的目标和方法对我们来说都是待定的，而化归的对象即问题的本身也可以从多个角度去考虑，所以，要运用化归思想成功的解决一个问题，有时还是有一定的困难的。这里我介绍几种常见的方法：（一）直接转化法：就是将所要解决的问题直接转化为已解决了的模式，或者将新问题直接转化为旧知识。在讲解新课的时候，老师应让学生自己充分体会这个过程，让他们自己能解决新的问题，吸收新知识，运用新知识继续解决新的问题。（二）数与形的转化：这个主要用于函数图像问题、勾股定理的解答和某些图像中的某些量的问题，数形结合思想是数学学习中一种常见也是一种重要的思想。（三）换元法：这种方法主要适用于有关方程的问题中，把比较繁杂的，但又重要的题目简单化，直观化，达到解决问题的目的。（四）特殊与一般之间的转化：从特殊到一般，由一般到特殊，是人类认识客观世界的普遍规律。我们观察与处理问题时，从事物的特殊性出发，进而去分析考虑有没有把待解决的问题化归为某个特殊问题的思考方式，而由于“一般”概括了“特殊”，因此，当我们处理问题时，更应注意待解决问题于更为普遍的情形方中，进而通过对一般情形的研究而去处理特殊问题这种思考方式。下面我就化归与转化的思想在初中数学具体的应用。例1： 分析：从表面看，这是一个有关同类项的问题，而根据同类项定义，即可将原问题转化为一个关于m的一元一次方程，解方程从而求出m的值。 解： 由， 得 解得m=5例2：利用图像法解方程组分析：解决这个问题时，首先将组成这个方程组的两个二元一次方程转化为两个一次函数形式，然后又运用“数形结合的思想”，在平面直角坐标系中现画出两个一次函数的图像，两函数图像的交点的坐标就是该方程组的解。例3：解方程(x22x)2x2+2x2=0分析：首先脑子里出现的是一种意识，须将此方程降次“化归”为一元一次方程或一元二次方程，进而转化为X=A的形式，其次再考虑如何降次如用换元法，因式分解法等，从而使问题得以解决。解：先将通过变形，将方程转化为二元一次方程的形式得： 利用换元法设令 代入得 解得 =2，= 把的值分别代入中得 例4：如图311，反比例函数y=与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点 （1）求 A、B两点的坐标； （2）求AOB的面积分析：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标 解：解方程组 得 所以A、B两点的坐标分别为A（2，4）B(4，2（2）因为直线y=x+2与y轴交点D坐标是(0， 2）， 所以 所以化归思想是中学数学解题的重要思想方法，其精髓的贯穿，是一个长期性的任务。这就需要教师在教学过程中培养学生在解题过程中善用、巧用化归思想，强化学生的解题意识。当然，化归思想也并非万能的方法，并不是所有的问题都可以通过转化而得以解决。因此，对于问题的分析，我们不能仅仅停留在化归方法上，而必须有创新的精神，不断地进行新的研究，在研究