数值分析实验报告(一)(完整).doc

数值分析实验报告姓 名学 号系 别数学系班级09信息（2）班 主讲教师王丹指导教师王丹实验日期专业信息与计算科学课程名称数值分析同组实验者无一、实验名称： 实验一、插值多项式的收敛性实验二、 实验目的：1理解插值的基本原理；2掌握多项式插值的概念、存在唯一性；3编写MATLAB程序实现Lagrange插值和Newton插值，验证Runge现象、分析插值多项式的收敛性。三、实验内容及要求：1已知数据如下：0.20.40.60.81.00.980.920.810.640.38（1）用MATLAB语言编写按Langrage插值法和Newton插值法计算插值的程序，对以上数据进行插值；（2）利用MATLAB在第一个图中画出离散数据及插值函数曲线。2给定函数，利用上题编好的Langrage插值程序（或Newton插值程序），分别取3个，5个、9个、11个等距节点作多项式插值，分别画出插值函数及原函数的图形，以验证Runge现象、分析插值多项式的收敛性。三、 实验步骤（或记录）Lagrange插值法的基本思想：步骤1： 构造处的插值基函数，其中，插值节点处的插值基函数为；步骤2：以作为的系数，使得通过插值点；步骤3：把所有的线性叠加，得到通过所有插值点的插值函数。Lagrange插值伪代码：给定个插值点的情况下，求插值函数在点处的函数值。/*输入参数*x=(x0,x1,.,xn), 插值节点*y=(y0,y1,yn); 被插函数f(x)在插值节点处的函数值*t 求插值函数Ln (x)在t处的函数值*返回值 插值函数Ln (x)在t处的函数值 */procedure Lagrange result0; for i=1 to n li(t)1; for j=1 to n if ij li(t) li(t)*(t-xi)/(xi-xj); end if end for resultresult+yi*li(t); end for return result;end procedureLagrange插值子程序 lagr1:function y=lagr1(x0,y0,x)%x0为插值点的向量,y0为插值点处的函数值向量,x为未知的点向量n=length(x0); m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;E ndNewton插值算法公式:余项为其中 有关.Newton插值伪代码：/*输入参数*x=(x0,x1.,xn), 插值节点*y=(y0,y1,yn); 被插函数f(x)在插值节点处的函数值*t 求插值函数Pn (x)在t处的函数值*返回值 插值函数Pn(x)在t处的函数值 */ procedure Newton for j=0 to n d1jyj;end forfor j=1 to nfor i=j to n dij (di,j-1-di-1,j-1)/(xi-xi-j+1); end forend forresultd11;temp1;for i=1to n temptemp*(t-xi-1);resultresult+di,i*temp;end forreturn result;end procedureNewton插值子程序 Newton:function y=newton(x0,y0,x)%牛顿插值法n=length(x0); m=length(x);d=zeros(n,n);%d为差商表矩阵for j=1:n d(j,1)=y0(j);%差商表第一列endfor j=2:n %差商表为下三角矩阵for i=j:n d(i,j)=(d(i,j-1)-d(i-1,j-1)./(x0(i)-x0(i-j+1);%求差商表矩阵中各值 endendfor k=1:m z=x(k); result=d(1,1); temp=1;for i=2:n temp=temp*(z-x0(i-1); result=result+d(i,i)*temp;endy(k)=result;end1编写拉格朗日插值多项式函数内容为：function f=lagfun(x)a=0.2,0.4,0.6,0.8,1.0;b=0.98,0.92,0.81,0.64,0.38;for i=1:5L(i)=1;for j=1:5 if j=i L(i)=L(i)*(x-a(j)/(a(i)-a(j); endendendf=0;for i=1:5 f=f+L(i)*b(i);end画图程序内容为：x0=0.2,0.4,0.6,0.8,1.0; y0=0.98,0.92,0.81,0.64,0.38;plot(x0,y0,o)hold ongrid on fplot(lagfun,0,1);hold onx=0:0.1:1;plot(x,newton(x0,y0,x),r);legend(离散点,Lagrange插值,Newton插值)图形为：2Lagrange插值程序for n=3:2:11x= -1:0.1:1;y=1./(1+25.*x.2);z=0*x;x0=-1:2/(n-1):1;y0=1./(1+25.*x0.2);y1=lagr1(x0, y0, x);plot(x, z, r, x, y, k: ,x, y1, r)gtext(Lagr.,num2str(n)h