2013年广东高考文科数学试题及答案解析(图片版).doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678910答案ACDCCBABDB二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分（一）必做题（11 13题）11. 15 12. 13.5（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. （为参数） 15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）已知函数，（1）求的值；（2）若，求16. 解：（1）（2）因为，所以17.（本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率17. 解：（1）苹果的重量在的频率为；（2）重量在的有个；（3）设这4个苹果中分段的为1，分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种设“任取2个，重量在和中各有1个”为事件，则事件包含有（1，2），（1，3），（1，4）共3种，所以.18.（本小题满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）当时，求三棱锥的体积18. 解：（1）在等边三角形中， 所以，在折叠后的三棱锥中也成立所以 因为平面，平面平面（2）在等边三角形中，是的中点，所以，因为在三棱锥中，所以，即因为所以（3）由（1）可知，结合（2）可得.所以19. （本小题满分14分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有19. 解：（1）当时，即因为，所以（2） 当时， 得整理得因为，所以，即（）所以当时，是公差为2的等差数列.因为构成等比数列，所以，即，解得由（1）可知，所以因为所以是以1为首项，2为公差的等差数列所以数列的通项公式为，.（3）20.（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点（1）求抛物线的方程；（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（3）当点在直线上移动时，求的最小值20. 解（1）焦点到直线的距离，解得 所以抛物线的方程为（2）方法一：设，由（1）得抛物线的方程为，所以切线，的斜率分别为，所以: : 联立可得点的坐标为，即，又因为切线的斜率为，整理得直线的斜率所以直线的方程为整理得，即因为点为直线上的点，所以，即所以直线的方程为 方法二：设点,，由（1）得抛物线的方程为，所以抛物线在点处的切线的方程为，即. 因为， 所以 .因为点在切线上，所以 同理有 综合、得，点的坐标都满足方程因为经过两点的直线是唯一的所以直线的方程为，因为点为直线上的点，所以，即所以直线的方程为 （3）方法一：根据抛物线的定义，有，所以由（2）得，所以 所以当时，的最小值为方法二：根据抛物线的定义，有，所以联立，消去得所以，因为所以所以当时，的最小值为21.（本小题满分14分）设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在上的最小值和最大值21. 解：（1）当时，所以，的单调递增区间为.（2）当时，其导函数开口向上，对称轴 ，且过点 （i）当，即时，在上单调递增