新概念几何与共边定理的问与答.doc

新概念几何与共边定理的问与答广州杜厚生(与现行教材上面积相等的表达式不同，本文用DAPBDAQB表示两个三角形面积相等，三角形符号前省略“S”或“面积”这是为了表达上的简洁)问：那些人适合阅读和应用本文？答：主要是初中数学教师和初三备考的学生，初二学生也可以尝试应用当然，高中数学教师也应当有所了解，高中生也可以读一读，但最适合的读者，是准备参加初中数学竞赛的同学问：张景中是谁？答：张景中者，自欧几里德已降，2300多年来独力改写欧几里德几何体系的第一人新体系者，新概念几何也张景中，1936年生于河南汝阳，18岁入北大数学系，22岁打成右派，从此沦为另类21年，至1979年43岁时才平反，恢复普通公民身份此后便文思泉涌，17年间，成就辉煌，跻身顶级数学家之列，数项成果均堪称里程碑，成为大学教授、博士生导师、中科院院士，杰出科普作家问：什么是“新概念几何”？答：平面几何问题一直是数学教育与学习中的疑难问题，两千年来，学生的课本还是和欧几里德时代无甚大异，教师只有在增加学习时间，减少所学内容上做文章然而张景中院士大胆指出，我们其实不必非要虔诚地跟在欧几里得身后学习平面几何！他经过多年潜心研究，独辟蹊径，建立起一套以度量为基础，以面积为中心的平面几何新方法、新体系，这就是“新概念几何”（下文简称新几何）从1989年以来，经过20年来张院士和很多中学老师的教学实践证明，“面积法”可节省课时，提高学生解决问题的能力，特别是在解决数学奥林匹克竞赛问题时的优势相当明显“新概念几何”相对于欧几里德的几何是一个全新的平面几何新体系，从公理体系到定理体系、解题方法，都有极大的区别，也是欧几里德的几何诞生2300多年来，第一个全新的体系在张景中的新几何中，甚至没有平行公理，即平行线的存在性和唯一性是可以由面积方法推导出来的一个定理也不需要全等三角形和相似三角形等一批定理由于新几何定理大大减少、解题方法统一为面积方法，给平面几何减少课时和降低难度创造了条件新几何中使用的解题通法消点法，甚至成为了攻克世界性的科研难题机器证明几何定理的关键方法，取得了机器证明几何定理的里程碑式的胜利新几何正是由于方法之新、对传统几何改造之彻底，反而造成了推广之难对广大中学教师来说，几乎是一门新学科，老师和学生在知识上同样的一无所知！但老师应当先学一步，比学生更早掌握新几何，为教材、课程改革作出应有的贡献一旦国家决定采用新几何代替旧教材，老师就可以充满信心地走上讲台退一步来看，掌握新几何的面积方法和部分新定理却并不难，但对于现行教材是一个补充和改进，对个人教学能力的提高也极有补益问：新几何的核心是什么？BPQA基本定理：ABPABQPAAQ答：新几何以度量为基础，以面积为中心，它的核心定理就是现行教材中一条极为平凡的定理：“等高三角形面积的比等于底边的比”由这个核心定理推导出一条现行教材中没有的定理共边比例定理，这是整套新几何教材的基础，由该定理导出全部定理与解题方法，构成了几何新体系从一条极为平凡的定理着手，改写几何原本的整个体系，构造出一个几何新体系，这件事本身就透出神奇历史上堪与之相比的，只有180年前对平行公设的研究了当年也是从一条公设出发，构造出一个非欧几何但毕竟同时有高斯、小鲍耶、罗巴切夫斯基各自独立发现了非欧几何此外，对平行公设的质疑，之前已经有过千年探讨，远不是如“等高三角形面积的比等于底边的比”那样平凡而不引人注意在论推广(见数学通报2005年第4期)一文中，张景中教授说：“几何原本共13卷，包含了465条命题有趣的是，有一条非常基本的重要命题，它没有受到欧几里得时代数学家的注意和重视(之后的两千多年中也没有得到应有的重视)如果当初欧几里得或别的数学家重视了，几何学的历史有可能被改写，几何难学、几何解题无定法的局面就早已改观了这是几何原本第6卷的命题一：“等高三角形或平行四边形，它们彼此相比如同它们的底的比”共边定理和基本命题的共同点，都是把两个三角形的面积比化成共线线段之比共边定理中若A在直线PQ上，就回到了基本命题所以，它是基本命题的推广基本命题图中的线段PQ，AB 的位置变得更一般些，使A不在直线PQ上，再添上交点M,就成了共边定理的图形了这一点改变很重要欧几里得时代的几何学家，就是没有注意到这一点改变，才失去了这条无比重要的共边定理，也错过了发现平面几何机械化解题方法的机会为什么强调面积？张景中这样看面积方法的重要性：利用面积，我们可以建立面积坐标，自然地进入解析几何而面积坐标，本质上已经包含了笛卡尔坐标、仿射坐标、射影坐标，这就为学习更高深的几何埋下了伏笔学会了计算多边形和圆的面积，自然会想到去计算曲线包围的面积，这就会引出极限概念，引出定积分概念，自然而然地就把学生带进了高等数学的大门此外，微积分里用得最多的三角函数与对数函数(指数函数)，都可以用面积给出易于理解又便于推导的定义在高等数学中，面积以各种形式出现面积是积分，是测度，是外微分形式，是向量的外积，也是行列式抓住面积，从小学到大学的数学内容就可以一线相串抓住面积，结合代数与三角来展开初等几何，就极有希望提供一种足以和欧几里德体系争夺课堂的几何教材（张景中：从数学教育到教育数学P81）为什么共边定理是基石？从下面的新概念几何体系的课程结构图可以看出，共边定理是新概念几何整个体系的基石（张景中：从数学教育到教育数学P101）余弦定义共边定理与共角定理正弦定义平行公理面积公式ABCabsinC圆的定义公理系统基本命题圆周角定理内角和定理余弦定理正弦加法定理正弦定理张角公式各种三角公式全等三角形与相似三角形判定圆内外的角弦长公式圆幂定理问：什么是共边比例定理？答：共边比例定理简称共边定理：有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q，AB与PQ的连线交于点M，则有以下比例式成立：DAPB面积DAQB面积PMQMAAAABBBBPPPPQMMMM共边定理图：四种位置关系QQQ问：什么是共角比例定理？答：共角比例定理简称共角定理：有公共角的两个三角形的面积比等于夹这个角的两边的乘积之比ABC和ABC中，A与A相等或互补，则有：ABC面积ABC面积ABACABAC问：怎么导出两个定理？:答：共边三角形有四种位置图形，证明时，都只需要在直线AB上作线段MNAB，则有： P Q A M B N 共边定理证明DABPDABQDPMNDQMNPMMQ共角定理更简单，ABC面积ABC面积ABACsinAABACsinA A与A相等或互补sinAsinAABC面积ABC面积ABACABAC问：共边定理与共角定理怎么用？答：共边三角形与共角三角形广泛存在张景中说：欧几里德把注意力集中在特殊三角形上：当考虑一个三角形时，着重研究了直角三角形和等腰三角形；当考虑一对三角形时，着重研究了全等三角形和相似三角形一个重要的事实是：随便画一个几何图形，这里面往往没有全等三角形和相似三角形，为了使“全等”、“相似”有用武之地，就要作辅助线但如何作辅助线，则“法无定法”几何做题难，原因与此有关我们着眼于那些任何几何图形都会出现的三角形对，这就是“共边三角形”与“共角三角形”这两种三角形是名不见经传的，欧几里德以来的几何学家们从来没有给它们足够的重视但是，从数学教育学的角度来看，他们是顶顶重要的(张景中：从数学教育到教育数学P60)共边定理涉及平面几何构图中最常见的一个步骤：两直线AB、PQ， 交于一点M要确定交点M的位置，本是一件不容易的事，它相当于解二元一次方程组而共边定理却用两个三角形的面积比简单地表示出M在线段PQ上的位置等式右边的M，在左边不出现了，也就是被消去了这个事实，在几何问题的机器求解中起了关键的作用（张景中：论推广）张景中说，使用共边定理和共角定理有两个好处：其一是通用性从统计学观点看，任给几个点连成直线，出现一对全等三角形或一对相似三角形的机会太少了，概率为零所以想利用“全等”、“相似”来解题，就常常要挖空心思作辅助线，凑出全等三角形或相似三角形来而作辅助线的规律不好掌握，学生会觉得无章可循，非常困难但共边三角形和共角三角形却比比皆是，因此它们的性质到处都用得上其二是条件和结论的对等性要证明两条线段相等，常用的办法之一是构造一对全等三角形，使这两条线段成为它们的对应边但要证明这两个三角形全等，却要满足三个条件这就是说，为了得到一个等式，先要建立3个等式这就有点不合算了而在共边定理和共角定理中，却是从一个条件到一个结论这种对等性往往能够简化证明的过程其三是基础的单纯性和表述的简明性共边定理和共角定理，直接建立在小学生已经熟悉的三角形面积公式的一个简单推论上，学起来简单，也容易记得牢而全等三角形或相似三角形的理论，推导过程较长，判定条件又多，在可接受性方面较差 （张景中：从数学教育到教育数学P81）事实上，在新概念几何中，可以不安排全等三角形的教学单元应用共边定理证题时，首先要判断公共边AB及两个不同顶点PQ，从而找到底边AB与PQ的连线交点M第一及第二两个图形交点在公共边内，其它两种位置，交点在公共边外部，通常要作辅助线来找出该点在许多题目中，并没有给出面积关系，必须根据要证明的等式找出相应的三角形要注意共边定理中，两条线段的比值PM与QM中，P、Q就是两个三角形的顶点，所要找的三角形就是有公共边且分别以P、Q为顶点的三角形但共边三角形实在太容易得到了，以P、Q为顶点的共边三角形通常在图形中都可以找到三对或更多对，何况还可以转化成以P、M或Q、M为顶点的三角形，选择就更多了，但并不是每一对都能推出所需结论的，选对了，结论很容易就出来了只找对的，不找废的，这就是初学的最大难点必须经过一定时间的反复练习才能做到得心应手例如下图中的任意四边形ABCD，分别以四条边和两条对角线为公共边，可以得到6对共边三角形，若再加上对角线交点P，四边形ABCD中可以有18对共边三角形！ABCDP图中有18对共边三角形问：共边定理怎么证平行？答：用面积方法推出平行线的判定，用到下面这个基本命题，这是新概念几何中最重要的定理之一基本命题：设M、N两点在直线AB同侧，则MNAB的充分必要条件是MABNAB有了这条定理，就可以不用平行线性质来证平行了实际上，这条定理在传统几何课程中也用来判断直线的平行，只不过不常使用而已ABCDE例1：(三角形中位线定理)如图，ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，用面积方法证明：DEBC且DEBC证明：D、E分别是AB、AC边上的中点，ADEBDEADECDE11BDECDE DEBCDBCADE由共角定理得：ADE/ABCADDE/ABBC1/4ADAB DEBC这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形ABCDEF例2：(1983年美国中学数学竞赛题)如图的三角形ABC的面积为10，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且BD2，DC3，若BCE与四边形DCEF的面积相等，则这个面积是（ ）ACDB不确定解：由BCE与四边形DCEF的面积相等，在四边形BCEF中分别减去这两个面积，得BFD与BFE同底且面积相等，所以BFDE，可以得到AB为边的两个三角形ABD与ABE面积相等，因为三角形ABC的面积为10，且BD2，DC3，所以ABD的面积等于4，即ABE面积等于4，所以BCE的面积等于1046，故选CABCDO这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目例3：对角线互相平分的四边形是平行四边形证明：OAOC，OBOD，由共角定理得：AOB/CODOAOBOCOD1即AOBCOD，共底的两个三角形ACBCBD，ADBC；同理可证ABCD问：共边定理怎么证线段相等？ABCDE答：常常是共边与共角两个定理都会用到。利用面积相等，并且面积比中有相等的线段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。例4：(等腰三角形两腰上的高相等)已知：如图，ABAC，CEAB于E，BDAC于D，求证：BDCE解：由三角形面积定理得：SABCABCEACBDABAC，BDCE ；本题是直接用等底三角形面积相等推出高相等，相比于全等三角形证法要简洁得多。例5：如图，已知AD平分BAC，BDAD，DEAC，DE交AB于F点AEBCDF求证：BEEC证明：连接C、F，由平行线性质，得DFCDFA；由AD平分BAC，DFAC，可得FADFDA，AFFD由BDAD，得FBDFDB，BFDF；AFBFDFBDFA；DFCDFB；BEECDFCDFB11，即BEECCABDEF本题是用共边三角形面积相等推出线段相等。例6：如图，ABC中，ABAC，BDCE，求证：DFEF.证明：连接CD、BE，ABAC DBC与BCE互补，由共角三角形定理：DBCBCEBDBCCEBCABAC，BDCE，得DBCBCE，再由共边定理得：DBCBCEDFFE11DFEF.本题先用共角三角形定理证得DBC与BCE面积相等，再由共边定理推出线段相等。相比于先作平行线构造全等三角形，再由全等三角形证线段相等的证法，面积法显然更巧妙。例7：在等腰直角三角形的斜边上取一点，使，作交于，求证：ABCDEFF123ABD321QNMHGEC证明：连结CF，由，得图中两个阴影三角形的面积之比为12，即：AFCAFB12，又由，等腰直角三角形的条件，得123290，13，由共角定理得：AFACABBFAFCAFB12AFBF12，由AFB与AEB相似，得AEAB12，ABAC AEEC本题先用CDDB12得到两个阴影三角形的面积之比为12，再由共角三角形定理证得AFBF12，过程相当简洁明了。问：共边定理怎么证比例线段？答：共边定理最适合用来求同一直线上的两条线段的比值，或反过来，已知同一直线上的两条线段的比值求共边三角形的面积比。由于共边定理有四种位置图形却对应同一个比值，所以怎样选取最合适的两个三角形就成为正确解题的关键。也因为图形选择的差异，造成了不止一种解法。只有通过一定的练习量，才能做到迅速正确地选择适当的共边三角形。ABCDEF例1图例1：已知在ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的连线交AC于F求证：AFAC解答：构造以BF为公共边的两个三角形ABF和DBF，则由两个中点的条件，得三个三角形ABF和DBF、DCF面积都相等，由图易得，所以AFACABCDEF例2题图1142例2：ABC中，D是BC上的一点，E为AD上一点，求，解答：构造以BE为公共边的两个三角形ABE和CBE，则，由图易得ABCDEF例2题图26141构造以AD为公共边的两个三角形BAD和FAD，则由，设FAD1,则FDC6，ADC7；由，得BAD14, 例3：(三角形角平分线性质定理) 如图，AD平分BAC，ABCD求证：证明：AD平分BAC，由共角三角形定理：ADBADCABADACADABAC又ADBADCBDCDABACBDDC例4：如图，DABC中，AEAF，AD是底边的中线且与EF交于P点求证：ABPEACPF证明：AD是底边的中线，DABDDACD（AD为公共边，EF为顶点，注意1）PABCDEF（将适当换位，得到两个面积比，转换为两组边长的比）AEAFABPEACPF问：全等和相似方法在新概念几何中应当保留吗？在新概念几何中，可以由面积法先推导出正弦定理和余弦定理，再推出全等三角形判定定理和相似三角形判定定理，实际上，新教材中可以完全不用全等和相似方法但作为欧式几何的宝贵遗产，在许多问题中它们有明显的优势，为了让两种教材更好地兼容，各取所长，减少新几何推广的阻力，张景中也是主张保留全等和相似方法的ABCDEF例如下面这道题目，三种解法就各有利弊例1：已知：DABC中，ABACBD，E为AB中点，求证：2CEDC证法1(全等法)：设DC中点F，连接BF，可得BF是DADC中位线BFAC，FBCACBABC，BFBE，CBBCFBCEBC，ECCFFD，证法2(相似法)：由两边成比例且夹角相等，可证AECACD；在AEC和ACD中，AEACACAD12AECACD，CECDACAD12，2CEDC证法3(面积法勾股差定理)：设AE1，则ACAB2，AD4，由勾股差定理得：AECACD14（AE2AC2EC2）（AD2AC2CD2）（14EC2）（164CD2）（5EC2）（20CD2）即4（5EC2）20CD2 ,4EC2CD2，2CEDC三种证法的评价：全等法需要构造全等三角形，但反而是学生最易想到的解法；相似法最简洁，两步就完成证明，是最优解法；勾股差定理是新概念几何特有的定理，与余弦定理等价，但不出现角的余弦，比余弦定理好用勾股差定理是：ABCA1B1C1(abc)(abc) 问：共边定理怎么证正弦定理和余弦定理？答：都可以用三角形面积公式推出正弦定理：ABCbcSinAacSinB，bSinAaSinB，同理可得bSinccSinB，；余弦定理的证明较繁，要将原三角形绕C点旋转90，再用面积方程推导：证明：设ABC中各顶角所对边分别为a、b、c，将ABC绕C点旋转90，延长AB与AB交与点D，可得：ABCABDBABAABBCBACABCAACB，即BDcADa2b2abSin(90c)abSin(90c)c2a2b2abCosCabCosCc2a2b22abCosC同理可得其余两个表达式问：共边定理怎么证传统难题？答：许多传统的几何难题或数学竞赛题在有了共边定理和共角定理之后，立刻就变得容易起来了，在这个领域内，面积方法发挥了最大的效用，新方法的简洁、巧妙，有时令人叹为观止。这部分是所有介绍新概念几何的书籍都津津乐道的篇章。当然，对于初学者来说，还是有一个逐渐熟悉的过程。例2：在ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC分别交对边于X、Y、Z点求证：1 ABPZYXCYP证明：这是一道用共边定理证明的典型好题，在传统证法难以入手的题中，正好是共边定理一个极其简单的直接应用，只要用P点与各边分成的每一个小三角形与大三角形相比再相加，立即得到结论！1例(梅涅劳斯定理)：在ABC的两边取X、Y，直线XY与BC的延长线交于Z点BXYZCA求证：1证明：1也是一步！CABDMKLFG例3：著名数学大师华罗庚在1978 年全国中学生数学竞赛题解前言中，给出了这样的一道几何题：如图，凸四边形ABCD 的两边DA、CB 延长后交于K，另外两边AB、DC延长后交于L，对角线DB、AC 延长后分别与KL 交于F、G求证：证明：(以BD为公共边的两个三角形的面积比)(乘以同一个三角形KBL，化为两组面积的比)(化为两组线段的比)(化为有同一个三角形DAC的两组面积的比)(消去公共三角形，化为线段的比)这道题的的难点在于没有全等，没有相似，也没有给定的比值，按照传统方法步骤相当多，也不易理解，所以20多年没有人给出简单巧妙的解在熟悉了共边定理以后，这一类题真的变简单了例4：四边形ABCD中，M、N分是CD、AB边的中点，BC、AD的延长线交NM延长线于P、Q两点ABCDNMPQ求证AQQDPB PC分析MNAMNDAQDQ（以MN为底，A、D为顶点）MNBMNCPBPC（以MN为底，B、C为顶点）MNAMNB；MNDMNC(MN是中点)AQQDPB PC说明：本题中三角形的选择是关键，只有这样，才能同时用到两个中点DABCNMQP例5：四边形ABCD中，ADBC，AB、CD的中点分别为N、M，延长BC、AD交直线MN与P、Q求证：PCQDABCDNMPQFE分析：本题是上题的变式将上题中的比值：AQQDPB PC化为ADQDCB PC，当ADBC，就有PCQD再看看本题的传统证法：如左图，过D、C分别作AB的平行线DE，CF，证明两个三角形全等，然后再证两组三角形相似，将AQQD转化为ANDEPB PC转化为BNCF，再经等量代换得到结论用到一次全等，两次相似，思考的难度大，证明的过程繁，显然不能与共边定理相比问：怎样用面积法证面积题？答：已知比例求面积的题目，传统证法往往不易找到思路，所以成了难题，往往在中小学数学竞赛中出现其实，这类题使用共边定理是最好的方法例6：ABCDO第7题图236？如图，四边形ABCD中，AOD面积2，DOC面积3COB面积6，求AOB面积解法1：AOD面积DOC面积23AOOCAOB面积COB面积，COB面积6 AOB面积4解法2：AOD面积DOC面积AOOCAOB面积COB面积，AOB面积DOC面积COB面积AOD面积这里得到一个新的定理：四边形对角线分成的四个三角形中，相对的两个三角形面积的乘积与另一组相对的两个三角形面积的乘积相等用上这个定理，就可以跳过共边定理直接用最后一步解题了 AOB面积2634例7（17届希望杯全国赛初二第二试19题）：ABCEDP如图，等腰ABC中，ABAC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若10，则_；_；AEEC_解：APPD12 即122，10，2；4；AEEC14BCEDPA例8：ABC中，D点在BC边上，且，P点在BC边上的高AD上，且BP的延长线交AC于E，若18，则_，_AEEC_解：123则_3_，_6_AEEC_15_例9：如图：ABC中，E为中点，ADDC21，EBF面积是15，求ABC的面积ABCDEF156015解：连结CF，E为中点且EBF面积是15；ECF面积EBF面积15； ADDC21 AFB面积FCB面积21 AFB面积60 ，E为中点 ACF面积AFB面积60ABC的面积15+15+60+60150例10：ABCDEF如图所示，已知在平行四边形ABCD中，AEEB 12（1）求AEF与CDF的周长比；（2）如果SABCD 6平方厘米，求SADE解答：AEEB 12 AEAB AECD13，由AEFCDF，可得它们的周长比为13 ；SADESABDSABCD SABCD 6 平方厘米 SADE1平方厘米；例11：如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4cm2，CED的面积是6cm2问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？ABCDEF46解：连结BF，则BDF面积CDF面积10，BEF面积6；设面积为x，则有：4x66，x9；BDC面积15，长方形ABCD面积30 四边形ABEF的面积是15411平方厘米ABCDEF例12：如图，FB、AD、EC互相平行，ABC的面积为1，求FDE的面积。解：由ADEC，得ADCADE，同理ABDAFD，得ADEAFDABC1又由FBEC，得ECBECF，ABCACEAEFACE即ABCAEF1FDEAEFADEAFD2ACBDEF 例13：如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使CE2BC，延长CA至F，使AF3AC，求三角形DEF的面积。解：连结BD，EC，由已知条件可得，DAB1，DBE2，CBE2，FCE6，FCD6，DEF11226618这题也是面积法最基本的题型