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文档简介

第五章 相似矩阵及二次型,1 向量的内积、长度及正交性,一. 内积, 长度和夹角.,在解析几何中有两向量的数量积的概念, 即设x, y为两向量, 则它们的数量积为: x y = | x | | y | cos . (为向量x, y的夹角.),设向量x, y 的坐标表示式为 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), 则 x y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .,由此引出了向量的长度(即模)和两向量夹角的概念:,定义.,性质:,施瓦茨不等式:,定义.,性质:,(对于平面上的向量来说, 这个性质的几何意义就是两边之和大 于等于第三边.),二. 规范正交基.,定义. 正交向量组是指一组两两正交的非零向量.,定理.,定义.,例.,注意:,1.零向量与任何向量正交.,取定向量空间的一组基相当于是取定了向量空间的一个坐标系, 在向量空间中取定一组规范正交基, 相当于是取定了向量空间的一个直角坐标系.,性质.,所以如果在向量空间中取定了一个规范正交基, 那么向量空间 中的向量在这组规范正交基下的坐标可以通过内积来计算.,证:,定理.,上面从线性无关的向量组导出正交向量组的过程称为施密特正交化过程.,例.,解: 正交化:,单位化:,例.,解:,三. 正交矩阵和正交变换.,定义.,性质:,证:,证:,证:,证:,第一个结论由2即可.,定义.,性质:,证:,小结:,2. 将一组基规范正交化的方法: 先用施密特正交化方法将基正交化, 然后再将其单位化. (重点),3. 正交矩阵和正交变换的概念. A为正交矩阵当且仅当A的列
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