2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义讲义（含解析）新人教A版.docx

31.3导数的几何意义预习课本P7679，思考并完成以下问题 1导数的几何意义是什么？2导函数的概念是什么？怎样求导函数？3怎么求过一点的曲线的切线方程？1导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线(2)导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即kli f(x0)2导函数的概念(1)定义：当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)(2)记法：f(x)或y，即f(x)yli .点睛“函数yf(x)在xx0的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系“函数yf(x)在xx0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与x无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，x无关1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)导函数f(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点()(3)函数f(x)0没有导函数()答案：(1)(2)(3)2曲线yx2在点P(1,1)处的切线方程为()Ay2xBy2x1Cy2x1 Dy2x答案：B3已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为2xy20，则f(1)()A4B4C2D2答案：D4已知f(x)，则f(x)_.答案：求曲线的切线方程典例已知曲线C：yx3，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程解 将x2代入曲线C的方程得y4，切点P(2,4)y|x2li li li42x(x)24.ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.1过曲线上一点求切线方程的三个步骤2过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤(1)设切点为Q(x0，y0)；(2)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；(3)利用Q在曲线上和f(x0)kPQ，解出x0，y0及f(x0)；(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为yy0f(x0)(xx0) 活学活用1求过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线解：曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线斜率ky li (3x2)2，过点P(1,2)的直线的斜率为2，由直线的点斜式，得y22(x1)，即2xy40，所求直线的方程为2xy40.2求抛物线f(x)x2过点的切线方程解：由于点不在抛物线上，所以可设切点为(x0，x)，因为f(x0)li li li (2x0x)2x0，所以该切线的斜率为2x0，又因为此切线过点和点(x0，x)，所以2x0，即x5x060，解得x02或x03，因此切点为(2,4)或(3,9)，所以切线方程分别为y44(x2)，y96(x3)，即y4x4，y6x9.求切点坐标典例 已知抛物线y2x21分别满足下列条件，请求出切点的坐标(1)切线的倾斜角为45.(2)切线平行于直线4xy20.(3)切线垂直于直线x8y30.解设切点坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2，4x02x，当x0时，4x0，即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45，斜率为tan 451.即f(x0)4x01，得x0，切点的坐标为.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，k4，即f(x0)4x04，得x01，切点坐标为(1,3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直，则k1，即k8，故f(x0)4x08，得x02，切点坐标为(2,9)求切点坐标的四个步骤(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标 活学活用已知曲线yx33x在点P处的切线与直线y15x3平行，则点P为()A(2,14)B(2，14)C(2,14)或(2，14) D以上都不对解析：选C设P(x0，y0)，由题意可得yli 3x3，又由题意得3x315，所以x02.当x02时，y023614，当x02时，y0(2)3614.所以点P的坐标为(2,14)或(2，14)层级一学业水平达标1曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为2xy10，则()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在解析：选A因为曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数就是切线的斜率，又切线2xy10的斜率为2，所以f(x0)0.2曲线f(x)在点M(1，2)处的切线方程为()Ay2x4By2x4Cy2x4 Dy2x4解析：选C，所以当x0时，f(1)2，即k2.所以直线方程为y22(x1)即y2x4.故选C.3曲线yx32在点处切线的倾斜角为()A1B.C.D解析：选Byli li x2，切线的斜率ky|x11.切线的倾斜角为，故应选B.4曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()A1 B. C D1解析：选Ay|x1li li li (2aax)2a，2a2，a1.5过正弦曲线ysin x上的点的切线与ysin x的图象的交点个数为()A0个 B1个 C2个 D无数个解析：选D由题意，yf(x)sin x，则fli li .当x0时，cos x1，f0.曲线ysin x的切线方程为y1，且与ysin x的图象有无数个交点6已知f(x)x2ax，f(1)4，曲线f(x)在x1处的切线在y轴上的截距为1，则实数a的值为_解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为kf(1)4.又切线在y轴上的截距为1，所以曲线f(x)在x1处的切线方程为y4x1.从而切点坐标为(1,3)，所以f(1)1a3，即a2.答案：27曲线y在点(1，1)处的切线方程为_解析：因为y(1)1，所以，所以f(1)li li 2，故曲线y在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.答案：y2x18曲线yx23x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为_解析：设f(x)yx23x，切点坐标为(x0，y0)，f(x0)li li 2x031，故x02，y0x3x0462，故切点坐标为(2，2)答案：(2，2)9求过曲线f(x)上的点P的切线方程解：因为f(4)li li li li li ，所以切线的斜率为.所以所求的切线方程为5x16y80.10已知曲线y2x27，求曲线过点P(3,9)的切线方程解：由题意得f(x0)li li li (4x02x)4x0.由于2327119，故点P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)，将P(3,9)及y02x7代入上式得9(2x7)4x0(3x0)解得x02或x04.所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150或16xy390.层级二应试能力达标1.已知yf(x)的图象如图，则f(x