2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数讲义（含解析）.docx

33.2函数的极值与导数预习课本P9396，思考并完成以下问题 1函数极值点、极值的定义是什么？2函数取得极值的必要条件是什么？3求可导函数极值的步骤有哪些？1函数极值的概念(1)函数的极大值一般地，设函数yf(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数yf(x)的一个极大值，记作y极大值f(x0)，x0是极大值点(2)函数的极小值一般地，设函数yf(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数yf(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0)，x0是极小值点极大值与极小值统称为极值点睛如何理解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点(5)单调函数一定没有极值2求函数yf(x)极值的方法一般地，求函数yf(x)的极值的方法是：解方程f(x)0. 当f(x0)0时：(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值点睛一般来说，“f(x0)0”是“函数yf(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件若可导函数yf(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f(x0)0；反之，若f(x0)0，则点x0不一定是函数yf(x)的极值点1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x3ax2x1必有2个极值()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()(3)函数f(x)有极值()答案：(1)(2)(3)2下列四个函数：yx3；yx21；y|x|；y2x，其中在x0处取得极小值的是()ABCD答案：B3函数yx36x的极大值为()A4 B3 C3 D4答案：A4. 函数f(x)x2cos x在上的极大值点为()A0 B. C. D.答案：B已知函数求极值典例求函数f(x)x2ex的极值解函数的定义域为R，f(x)2xexx2ex(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x(2x)ex0，解得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值0极大值4e2因此当x0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)0；当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)4e2.求函数极值和极值点的四步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 活学活用求下列函数的极值点和极值(1)f(x)x3x23x3；(2)f(x)3ln x.解：(1)f(x)x22x3.令f(x)0，得x3或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值所以x1是函数f(x)的极大值点，且f(x)极大值，x3是函数f(x)的极小值点，且f(x)极小值6.(2)函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以x1是函数f(x)的极小值点，且f(x)极小值3，无极大值点及无极大值已知函数的极值求参数典例已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由解(1)f(x)3ax22bxc(a0)，x1是函数的极值点x1是方程3ax22bxc0的两根由根与系数的关系，得又f(1)1，abc1.由解得a，b0，c.(2)由(1)得f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)令f(x)0，得x1或x1；令f(x)0，得1x1.函数f(x)在区间(，1)和(1，)上是增函数，在区间(1,1)上是减函数因此，x1是函数的极大值点；x1是函数的极小值点由函数极值求参数值的注意点(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 活学活用已知函数f(x)x3x2ax1.(1)若函数的极大值点是1，求a的值；(2)若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取值范围解：(1)f(x)x22xa，由题意f(1)12a0，解得a3，则f(x)x22x3，经验证可知，f(x)在x1处取得极大值，故a3.(2)由题意，方程x22xa0有一正一负两个根，设为x1，x2，则x1x2a0，故a的取值范围是(，0)函数极值的综合应用典例已知函数f(x)x33ax1(a0)若函数f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解因为f(x)在x1处取得极值且f(x)3x23a，所以f(1)3(1)23a0，所以a1.所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.作出f(x)的大致图象如图所示：因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(3,1)一题多变1变条件若本例中条件改为“已知函数f(x)x3ax24”在x处取得极值，其他条件不变，求m的取值范围解：由题意可得f(x)3x22ax，由f0，可得a2，所以f(x)x32x24，则f(x)3x24x.令f(x)0，得x0或x，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)4作出函数f(x)的大致图象如图所示：因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是.2变条件若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解：由例题解析可知：当m3或m1时，直线ym与yf(x)的图象有两个不同的交点；当m1时，直线ym与yf(x)的图象只有一个交点(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便 层级一学业水平达标1“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若函数f(x)在xx0处有极值，则一定有f(x0)0；反之，若f(x0)0，则函数f(x)在xx0处不一定有极值所以“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件，选B.2函数f(x)x2ln x的极值点为()A0,1，1 B.C D.，解析：选B由已知，得f(x)的定义域为(0，)，f(x)3x，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0；当0x时，f(x)0.所以当x时，f(x)取得极小值从而f(x)的极小值点为，无极大值点，选B.3已知函数yf(x)，其导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)()A在(，0)上为减函数 B在x0处取极小值C在(4，)上为减函数 D在x2处取极大值解析：选C由导函数的图象可知：x(，0)(2,4)时，f(x)0，x(0,2)(4，)时，f(x)0，a6.4设aR，若函数yexax(xR)有大于零的极值点，则()Aa1 Ba1Ca Da解析：选Ayexax，yexa.令yexa0，则exa，xln(a)又x0，a1，即a1.5若函数yx36x2m的极大值为13，则实数m等于_解析：y3x212x3x(x4)由y0，得x0或4.且x(，0)(4，)时，y0；x(0,4)时，y0，x4时取到极大值故6496m13，解得m19.答案：196若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_解析：由题意，f(x)3x22xa，则f(1)f(1)0，即(1a)(5a)0，解得1a0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)8已知函数f(x)(aR，a0)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)f(x)1没有零点，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)，f(x).由f(x)0，得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2, )f(x)0f(x)极小值所以函数f(x