初等几何定理延伸导论.doc

初等几何变换.度量与计算数学是研究空间形式和数量关系的学科，在初等几何课程里，着两方面的内容特别明显。1 关于数学证明直观和推理 实物是最好的教具，其次是模型，在其次是图形，但实物很难要有就有，因此，图形在教学上起重要作用。几何图形的直观能化抽象为具体，往往是启发抽象思维的有力工具，但图形无论画的如何准确，也无法替代逻辑思维。所以，尽管直观和实验对我们获得感性认识起重要作用，证明命题还主要靠逻辑推理。2关于命题证明 定义，公理，定理，都是命题。命题由两部分组成，第一部分称前提或假设，第二部分称结论。 前提不能互相矛盾，否则命题毫无意义。 命题不一定是真的，即不一定成立。真命题称为定理。 所谓数学证明，实际上是由假设经过推理以得出结论。为了解决证明源头正确与否的困境，古希腊的哲学家把原始的依据称为公设或公理，约定承认其正确，称之为自明之理，欧几里得的第五公设就不是自明的。 证命题时，一定要确切理解题意，给了我们什么条件，要我们得出什么结论，并在初学时就要求学会简洁，明白的写出。命题的四种变化 （1） 原命题：若P则Q,（2） 逆命题：若Q则P,（3） 否命题：若则， （4） 逆否命题：若则，其中，为P,Q的反面。例 （1）原命题：平行四边形的两条对角线互相平分。 （2）逆命题：若四边形的两条对角线互相平分，那么它是平行四边形。 （3）否命题：若四边形不是平行四边形，那么它的两条对角线不互相平分。 （4）逆否命题：若四边形的两条对角线不互相平分，那么它不是平行四边形。四种命题的关系，图示如下原命题互逆逆命题 互否 互否否命题互逆逆否命题四种命题的真假关系：互为逆否的两命题，真则同真，假则同假。3 充分条件，必要条件，充要条件一般而言，在定理 中，条件P称为性质Q的充分条件，有了P便保证有Q；Q称为P的 必要条件，没有Q,P就不成立。如果原命题和逆命题同时成立： P是Q的充分和必要条件，简称充要条件。关于必要和充分的意义，可以概括如下：必要：无它必不行，有它未必行。充分：有它必行，无它未必不行。充要：有它必行，无它必不行。例 “对角线互相垂直”是菱形的必要而不充分的条件； “对角线互相垂直平分”是菱形的充要条件。4 逆命题证法证明逆命题，常用下列方法之一。（一） 直接证明逆命题，即将原命题的证明过程，反其道而行之，举例说明。 定理：线段的中垂线上人任一点，距线段两端等远。逆定理 凡距两点A,B等远的点必在线段AB的中垂线上。证明：设M为满足MA=MB的任一点，作MOAB,则由于斜线MA与MB等长，斜线足应距垂足O等远，即OA=OB，所以M在 AB的中垂线上。（二） 证明与逆命题等效的否命题否定理 不在中垂线上的任一点，距线段两段不等远。证：设不在线段AB中垂线上的点（上图），比方说，它和B在中垂线的同侧。于是从向直线AB所引的垂线足也和B在中垂线的同侧（否则两垂线将相交，而过此交点将有两直线垂直与AB了）。所以,于是按斜线比较长短定理，。（三） 利用原命题本身证明逆命题大家可以自己举个例试一下。5 直接证法与间接证法直接证法：由命题的假设出发，根据定义，公里，定理进行一系列正面的逻辑推理，最后得出命题的结论。间接证法：有的问题，往往不易甚至不能直接证明，这时，不妨证明它的等效命题成立，因而也能间接的达到目的。间接证法也可以分成以下几类：直接证法间接证法同一法反证法归谬法穷举法证题方法 间接证法举例例一（归谬法）圆内不是直径的两弦，不能互相平分。假设：AB,CD是圆内非直径的两弦。求证：AB,CD不能互相平分。证：假设结论的反面成立，即设弦AB与CD的中点P既是AB的 又是CD的中点。我们知道，弦的中点跟圆心O的连线是垂直于弦的。那么通过P点就有两条直线AB和CD与OP垂直的，这是不 可能的，所以定理得到反证。ABCDE12F34567在ABC中，B与C的平分线分别为BD与CE，且BD=CE 求证：AB=AC 证明假设ABAC，不妨设ABAC则CB， 因此21，由此又可得BECD，平移BE到DF，则EF=BD=CE，所以ECF=EFC，但是，DF=BECD，所以4 3, 于是56=7，从而得C=25B矛盾 该定理称作斯坦纳-莱莫斯定理， 有60余种证法 同一法用证明逆命题成立来证明原命题为真的方法前提是该命题的条件和结论中的对象都满足惟一性，则原命题与某逆命题等价将任意三角形各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成正三角形（同一法） 证明设ABC的A=3，B=3，C=3，三等分线交点构成PQR 作正EFG，作1=60o+，2=60o+，3=60o+ +=60o，EAG=180o12= 同理EBF=，FCG= 过E作直线HI，使AEH=， 则HEG=60o，IEF=60o， 从而BEI=EFG1A C B 6 综合法与分析法由于思维过程的顺逆，证明法可以分为“综合法“与”分析法“。综合法：综合法是命题的假设入手，由因导果，通过一系列的正确推理，逐步靠近目标，最终证出结论。分析法：分析法是由命题的结论人手，承认它是正确的话，执果索因，寻求在什么情况下结论才是正确的。这样一部一部逆而推之，直到与假设会合，于是就发现由假设通往结论的思维过程。7 演绎法与归纳法演绎法：由一般规律推导特殊事项的称为演绎法。归纳法：由特殊事项加以抽象提高，以得出一般规律的，则称为归纳法。 命题总是由观察归纳得来的，观察的对象有遗漏，归纳的结果就可能错误或带有片面性。凡是用普通归纳法证的命题，一定要多加小心。例1 设为同一直线上n点，则就有向线段言，恒有 。证：当n=3时，上式即，这是两有向线段之和的定义。现在假设上式对于n成立，证其对于n+1也成立： 由数学归纳法可以得到定理成立。例2正ABC所在平面上任一点P到三边距离的代数和等于该三角形的高 证明点P可能在ABC内、边上或其外，分三种情况来证明（完全归纳）： 当P在ABC内或边上，由三角形面积公式易证； 当P在ABC之外时，由三角形面积关系易得：SPAB+ SPAC= SABC+ SPBC 由此得： h1+ h2h3=h（ h1、h2、h30 ） q 不完全归纳法所得结论不一定成立，但它对于研究数学、发现定理、提出猜想是十分有效的下面我们介绍一些所谓证题技巧或证题术，无非是将证题的通用方法处理分门别类的问题二、几何证明的通用方法 （一）化归法 由未知向已知、由不熟悉向熟悉转化，即 把一个证明题归结为已解决的问题的方法 例1延长B、C的平分线BD、CE，分别交ABC外接圆于B1，C1，若B1D=C1E，则AB=AC 由斯坦纳-莱莫斯定理可知：此题可化归为证明BD=CE的问题 ABCDB1 EC1 O12证明假设BDCE，不妨设BDCE， 则由相交弦定理知：ADDCAEEB 对等腰B1AC，由斯特瓦特定理（下页补证）得：B1C2 B1D2 = ADDC 同理C1B2C1E2=AEEB， 则B1C2B1D2 C1B2C1E2，即B1C1， 则1 2，从而ACB ABC 三角形中，小角的平分线比大角的平分线长(引理P154)，BDCE这与BDCE的假设矛盾，由此得证斯特瓦特定理ABC中，D是BC上任一点，则AB2DC+AC2BD AD2BC=BCBDDC 证明作AHBC，不妨设H在D、C之间 由余弦定理：AC2=AD2+DC2 2DCDH， AB2=AD2+BD2 +2BDDH， 两式分别乘以BD、DC并相加，得： AC2BD+ AB2DC =AD2(BD+DC)+DC2BD+BD2DC =AD2BC+ BCBDDC 事实上BC，BD，DC表成有向线段，D在直线BC上任意处都成立（二）类比法 运用类比推理将证明题与类似问题进行对比， 由此获得启发使问题获得解决的方法 例1试证周长为2L的封闭曲线一定可以用一个半径是(1/2)L的圆覆盖 分析找一点O，证明曲线上任一点到O的距离 (1/2)L，先考虑特殊情形平行四边形： P是 ABCD边上任意一点，则OP(1/2)(AP+PC)注(1/2)(AP+PD+DC)(1/2)L对一般曲线，可与平行四边形类比： A、C两点恰好平分曲线，O是AC中点，则 OP(1/2)(AP+PC) 注：上述不等式由命题“三角形一边上的中线小于另两边之和的一半”来保证，其证法见右图即可获知（三）构造法 为使证题过程简化，把条件中的关系构造出来，或使关系在某个模型中实现，或把条件适当组合而构成一个新的形式，从而解决问题的方法称为构造法三式相乘即得证证明考虑AYZ与BZX的面积（正弦定理）： SAYZ=(1/2)AZZysin，SBZX=(1/2)ZBXzsin (梅内劳斯定理p193) CXY例8已知直线截ABC三边或其延长线依次于点X、Y、Z，则有：即同理有：， ZA B (四）数形结合法 即用数与式的知识研究几何问题，如代数法、 解析法、三角法、面积法、向量法、复数法等，其特点都是将几何证明转化为代数计算，后面有一节专门讨论几何的计算证明法 (五）变换法 在解决数学问题时利用数学变换往往能达到迂回的目的常用的几何变换有合同变换、位似变换、仿射变换、射影变换、反演变换等 后面有一节专门讨论几何变换法，故不在此举例三 几何变换证明法把一种几何图形按照某种法则或规律变成另一种图形的过程，称作几何变换 在几何变换中，图形的某些数量关系和几何性质未发生变化，则称其为几何不变量和不变性 一、合同变换 定义把图形F的点一一对应到图形F，称为从F到F的变换若该变换还具有保距性，则称为从F到F的合同变换合同变换的不变量：两点间距离、两射线所夹角度、平面图形面积等 合同变换的不变性：结合性、同素性、两直线的平行性等 合同变换包括平移、旋转、轴对称变换以及它们的乘积旋转变换 例费马点问题在ABC所在平面上求一点P，使P到三角形的三个顶点距离之和最小 解如图所示，将PAC绕点C转60o至PAC，则PA=PA，PC=PC，PCP= 60o 由此得PC=PP，即当B，P，P，A共线时，有PA+PB+PC最小 此时BPC=CPA=120o=APB，设ABC的最大角是A，则当A120o 时，P点位置由上式确定；当A120o 时，ABC内部没有满足上式的点，适当研究后容易得知，P A相似变换定义把图形F的点一一对应到图形F，使F中任意两点A、B与其对应点A、B满足AB=kAB，则称该变换为从F到F的相似变换其中常数k称作相似系数或相似比 v 相似变换的不变量：对应线段之比、两直线所夹角度、平面图形面积之比等 v 相似变换的不变性：结合性、同素性、两直线的平行性等例4设ABC中A的平分线是PA，则PA2 =ABACBPPC(斯库顿定理) ABCPD1234证明(用分析法证明）作PD使ABPAPD，则即PA2 =ABAD，则欲证原式为：ABAD =ABACBPPC，即只需证：ABACABAD=BPPC，或ABCD=BPPC，则只需证：由角平分线定理知：1=2PCDAPC2=3，B=4，B+3=1+4后面三式分别是已知、 已证的和外角定理四、反演变换定义在平面上给定半径为r的O，对于点P，在OP上取一点P使OPOP= r2，则称P是P的反演点，O称为反演中心，r2 称为反演幂图形F中每个点的反演点组成的图形F称为F的反演图形；从F到F的一一对应称作反演变换 v 反演变换的不变量：对应线段之交比、两条直线、两个圆或一条直线与一个圆所夹角度等 v 反演变换的不变性：结合性、同素性（把点、直线和圆统一看作广义圆）等 v 关于反演变换，有以下几条结论： (1)反演圆上的点是反演变换下的不动点； (2)过反演中心的直线，其反演图形是该直线本身(3)不过反演中心的直线，其反形是过反演中心的圆，反之亦然 证明设直线m不过反演中心O,作OAm，垂足是A，其反演点是A，m上任一点P的反演点是P，显然P在以OA为直径的圆上；反之，除O外，该圆上任一点的反演点在直线m上(4)不过反演中心的圆，其反演图形也是不过反演中心的圆其中包括自对应圆，其圆心在反演圆上且两者正交（由割线定理、切割线定理易证）(5)两个相切的圆，其反演图形也相切，且切点对应切点(若切点是反演中心，则反形是两条平行直线)例9(托勒密定理)圆内接四边形的对角线乘积等于它的两组对边乘积之和 证明以A为反演中心，任取 r2 (r外接圆直径)为反演幂，作反演变换，则外接圆变成直线l ABAB=ACAC=ADAD= r2ABCDB C D lABCACB， 即且故同理可得BC+CD=BD，4.4有关度量的证法几何证明题主要有两大类： 一是有关度量性质的，如线段、角、面积等大小关系问题； 二是有关位置性质的，如平行、垂直、点共线、 线共点、点共圆、圆共点等 在某些条件下两者也可以互相转化，因此有关度量的问题也是基本的几何问题一、线段或角的相等这一类问题的常见证法，教材上已经列出，故不在此重复(以下同自行阅读教材上的常用定理或常见证明思路) 以下主要举例说明例1已知P为正方形ABCD内一点，若PAB=PBA=15o，则PCD是等边三角形A证明(同一法)在正方形内取一点P与CD构成正三角形 连接AP、BP，则ACP与BDP为等腰三角形 1=2=30o，3=4=75o 即ABP=BAP，即P点就是P点 得证ABCDFGO证法1(加倍法)将ABF沿AB对折，得对称ABG BFAC，ABG=135o即D、B、G三点共线 又 AG=AF=AC，AO:AG=AO:AC=1 : 2，即AGO=30o，从而得 FAB=BAG=60o45o=15o=(1/2) CAF 得证例5已知正方形ABCD，BFAC，AF=AC 求证：二、线段或角的和、差、倍、分B三、线段的积与比3ABCPE124例8设ABC中A的平分线是PA，则 PA2 =ABACBPPC(斯库顿定理)(本题在相似变换一节中介绍过)证法1延长AP，与外接圆交于E点PA2=PAAEPAPE，且PAPE=BPPC， 只证PAAE=ABAC，或证ABEAPC即可 这由1=2，3=4即可得证4.5有关位置的证法一、平行与垂直例1(一题多解)在ABC的中线AD上任取一点M，BM、CM与AC、AB分别交于E、F，则EFBC(1978，CMO)证法1(相似法)过M作HGBC，则HM=MG，MEG，且由分比定理得：则MEF塞瓦定理设X、Y、Z分别是ABC三边BC、CA、AB或延长线上的点，则AX、BY、CZ共点（包括平行）的充要条件是：ABCXYZABCDMEF因此EFBC 证完又BD=DC，由上式可得：即FEB=EBC，因此EFB