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导数单元专项练习一选择题（共12小题）1定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x2b）满足，则称函数f（x）是a，b上的“双中值函数”已知函数f（x）=x3x2+a是0，a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A B（） C（，1） D（，1）2曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）A，+） B（，+） C（，+） D，+）3已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A1 B2 C3 D44已知f（x）=alnx+x2（a0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则a的取值范围是（）A（0，1 B（1，+） C（0，1） D1，+）5若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x）上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线线f（x，y）=0（或y=f（x）的自公切线，下列方程的曲线：x2y2=1；y=3sinx+4cosx；y=x2|x|；|x|+1=，存在自公切线的是（）A B C D6已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f（x）3，则不等式f（lnx）3lnx+1的解集为（）A（1，+） B（e，+） C（0，1） D（0，e）7设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）4f（2）0的解集为（）A（，2012）B（2012，0） C（，2016） D（2016，0）8已知函数满足f（x）f（x），则f（1）与ef（0）的大小关系为（）Af（1）=ef（0） Bf（1）ef（0） Cf（1）ef（0） D不能确定9已知函数f（x）=sinx+lnx，则f（1）的值为（）A1cos1 B1+cos1 Ccos11 D1cos110f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0且f（1）=0则不等式f（x）g（x）0的解集为（）A（1，0）（1，+） B（1，0）（0，1）C（，1）（1，+） D（，1）（0，1）11要得到函数的导函数f（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的2倍（横坐标不变）C向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）D向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）12函数y=sin（2x2+x）导数是（）Ay=cos（2x2+x） By=2xsin（2x2+x）Cy=（4x+1）cos（2x2+x） Dy=4cos（2x2+x）二解答题（共10小题）13已知函数f（x）=mx33（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m0（1）若f（x）的单调增区间是（0，1），求m的值；（2）当x1，1时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围14已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间m，m+1上单调递增，求m的取值范围15已知函数f（x）=x2+lnxax在（0，1）上是增函数（1）求a的取值范围；（2）设g（x）=e2xaex1，x0，ln3，求g（x）的最小值16已知函数f（x）=xax2lnx（a0）（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为2，求a的值以及切线方程；（2）若f（x）是单调函数，求a的取值范围17设函数f（x）=xeax+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y=（e1）x+4，（）求a，b的值；（）求f（x）的单调区间18已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax3（）求函数f（x）的最小值；（）对一切x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（）证明：对一切x（0，+），都有成立19已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值（）求a，b的值；（）求函数y=f（x）的单调性20已知函数，g（x）=x+lnx，其中a0（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x21，e（e为自然对数的底数）都有f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围21已知函数f（x）=x2+lnx（1）求函数f（x）在1，e上的最大值，最小值；（2）求证：在区间1，+）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x3图象的下方22已知函数f（x）=lnxmx+m，mR（）求函数f（x）的单调区间（）若f（x）0在x（0，+）上恒成立，求实数m的取值范围（）在（）的条件下，任意的0ab，参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（2016宜春二模）定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x2b）满足，则称函数f（x）是a，b上的“双中值函数”已知函数f（x）=x3x2+a是0，a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）AB（）C（，1）D（，1）【分析】根据题目给出的定义可得f（x1）=f（x2）=a2a，即方程3x22x=a2a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围【解答】解：由题意可知，f（x）=x3x2+a，f（x）=3x22x在区间0，a存在x1，x2（ax1x2b），满足f（x1）=f（x2）=a2a，f（x）=x3x2+a，f（x）=3x22x，方程3x22x=a2a在区间（0，a）有两个不相等的解令g（x）=3x22xa2+a，（0xa）则，解得；实数a的取值范围是（，1）故选：C【点评】本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题2（2016春邯郸期中）曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）A，+）B（，+）C（，+）D，+）【分析】先求导函数，进而可确定导函数的范围，利用导数的几何意义，可求曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围【解答】解：由题意，f（x）=x3x+2，曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是，故选D【点评】本题以函数为载体，考查导数的几何意义，解题的关键是求导函数，并确定函数的值域3（2014西藏一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A1B2C3D4【分析】利用导数的几何意义，列出关于斜率的等式，进而得到切点横坐标【解答】解：已知曲线的一条切线的斜率为，=，x=1，则切点的横坐标为1，故选A【点评】函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率应熟练掌握斜率与导数的关系4（2014上海二模）已知f（x）=alnx+x2（a0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则a的取值范围是（）A（0，1B（1，+）C（0，1）D1，+）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立”转换成当x0时，f（x）2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立则当x0时，f（x）2恒成立f（x）=+x2在（0，+）上恒成立则a（2xx2）max=1故选D【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题5（2014南靖县校级模拟）若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x）上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线线f（x，y）=0（或y=f（x）的自公切线，下列方程的曲线：x2y2=1；y=3sinx+4cosx；y=x2|x|；|x|+1=，存在自公切线的是（）ABCD【分析】通过画出函数图象，观察其图象是否满足在其上图象上是否存在两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线，从而得到结论【解答】解：x2y2=1为等轴双曲线，不存在自公切线，故不存在；函数y=3sinx+4cosx的一条自公切线为y=5，故存在；函数 y=x2|x|的图象如下左图显然满足要求，故存在；对于方程|x|+1=，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求，故不存在 故选C【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及新定义自公切线，题目比较新颖，解题的关键是理解新的定义，同时考查了数形结合的思想，属于中档题6（2016延安校级二模）已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f（x）3，则不等式f（lnx）3lnx+1的解集为（）A（1，+）B（e，+）C（0，1）D（0，e）【分析】构造函数g（x）=f（x）2x1，求函数的导数，判断函数的单调性 即可得到结论【解答】解：设t=lnx，则不等式f（lnx）3lnx+1等价为f（t）3t+1，设g（x）=f（x）3x1，则g（x）=f（x）3，f（x）的导函数f（x）3，g（x）=f（x）30，此时函数单调递减，f（1）=4，g（1）=f（1）31=0，则当x1时，g（x）g（1）=0，即g（x）0，则此时g（x）=f（x）3x10，即不等式f（x）3x+1的解为x1，即f（t）3t+1的解为t1，由lnx1，解得0xe，即不等式f（lnx）3lnx+1的解集为（0，e），故选：D【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题7（2016荆州模拟）设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）4f（2）0的解集为（）A（，2012）B（2012，0）C（，2016）D（2016，0）【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：由2f（x）+xf（x）x2，（x0），得：2xf（x）+x2f（x）x3，即x2f（x）x30，令F（x）=x2f（x），则当x0时，得F（x）0，即F（x）在（，0）上是减函数，F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（2）=4f（2），即不等式等价为F（x+2014）F（2）0，F（x）在（，0）是减函数，由F（x+2014）F（2）得，x+20142，即x2016，故选：C【点评】本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键8（2016聊城校级模拟）已知函数满足f（x）f（x），则f（1）与ef（0）的大小关系为（）Af（1）=ef（0）Bf（1）ef（0）Cf（1）ef（0）D不能确定【分析】引入辅助函数g（x），在函数解析式中取x等于0和1求出g（1）和g（0），然后把函数g（x）求导判断其单调性，运用函数的单调性即可得到正确结论【解答】解：令，则f（1）=eg（1），ef（0）=eg（0），而=，因为f（x）f（x），所以g（x）0，所以函数g（x）为增函数，所以g（1）g（0），故f（1）ef（0）故选C【点评】本题考查了导数的运算，考查了不等关系和不等式，训练了利用导函数判断函数单调性的方法，是中档题9（2012春宿松县校级期末）已知函数f（x）=sinx+lnx，则f（1）的值为（）A1cos1B1+cos1Ccos11D1cos1【分析】求函数在某点处的导数值，先求导函数【解答】解：因为f（x）=cosx+，则f（1）=cos1+1故选B【点评】本题主要考查导数加、减法的运算法则10（2014春黄山期末）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0且f（1）=0则不等式f（x）g（x）0的解集为（）A（1，0）（1，+）B（1，0）（0，1）C（，1）（1，+）D（，1）（0，1）【分析】构造函数h（x）=f（x）g（x），由已知得到当x0时，h（x）0，所以函数y=h（x）在（，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得到函数y=h（x）为R上的奇函数，得到函数y=h（x）在（0，+）单调递减，画出函数h（x）的草图，结合图象得到不等式的解集【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），因为当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，所以当x0时，h（x）0，所以函数y=h（x）在（，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以函数y=h（x）为R上的奇函数，所以函数y=h（x）在（0，+）单调递减，因为f（1）=0，所以函数y=h（x）的大致图象如下：所以等式f（x）g（x）0的解集为（1，0）（1，+）故选A【点评】本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于基础题11（2014榆林模拟）要得到函数的导函数f（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的2倍（横坐标不变）C向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）D向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【分析】由题意可得f（x）=2cos（2x+）=2sin2（x+）+，而由y=sin（2x+）y=2sin2（x+）+=f（x），分析选项可判断【解答】解：的导函数f（x）=2cos（2x+）=2sin2（x+）+而由y=sin（2x+）y=2sin2（x+）+=f（x）故选D【点评】本题主要考查三角函数的平移复合函数的求导的应用，三角函数的平移原则为左加右减上加下减12（2010永州校级模拟）函数y=sin（2x2+x）导数是（）Ay=cos（2x2+x）By=2xsin（2x2+x）Cy=（4x+1）cos（2x2+x）Dy=4cos（2x2+x）【分析】设H（x）=f（u），u=g（x），则H（x）=f（u）g（x）【解答】解：设y=sinu，u=2x2+x，则y=cosu，u=4x+1，y=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），故选C【点评】牢记复合函数的导数求解方法，在实际学习过程中能够熟练运用二解答题（共10小题）13（2016春牡丹江校级期末）已知函数f（x）=mx33（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m0（1）若f（x）的单调增区间是（0，1），求m的值；（2）当x1，1时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围【分析】（1）已知函数f（x）=mx33（m+1）x2+（3m+6）x+1其中m0，对其进行求导，因为f（x）的单调增区间是（0，1），说明f（x）0，在（0，1）上恒成立，从而求出m的值；（2）设M（x0，y0）为y=f（x）（1x1）图象上任意一点，切线斜率K=f（x）=3m6（m+1）x0+（3m+6）3m，将问题转化为3m6（m+1）x0+60在x01，1，m0）则（g（x0）min0，再利用导数研究函数的最值问题，求m的取值范围【解答】解：（1）f（x）=mx33（m+1）x2+（3m+6）x+1，m0，f（x）=3mx26（m+1）x+（3m+6）（m0）因为f（x）的增区间是（0，1）则f（x）=3mx26（m+1）x+（3m+6）0的解集为（0，1）所以f（0）=3m+6=0，f（1）=3m6（m+1）+3m+6=0解得m=2 （4分）（2）设M（x0，y0）为y=f（x）（1x1）图象上任意一点切线斜率K=f（x）=3m6（m+1）x0+（3m+6）3m，即3m6（m+1）x0+60在x01，1，m0）设g（x0）=3m6（m+1）x0+6，则g（1）0且g（1）0，即3m+6（m+1）+60解得m，又3m6（m+1）+60解得m0，综上所述：m的取值范围：（，0）【点评】此题主要利用导数研究函数的单调性及其最值问题，第二问用到了转化的思想，这是一道综合性比较强的题，为一道中档题；14（2015沈阳模拟）已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间m，m+1上单调递增，求m的取值范围【分析】（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值（2）求出 f（x），令f（x）0，求出函数的单调递增区间，据题意知m，m+1（，20，+），列出端点的大小，求出m的范围【解答】解：（1）f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），a+b=4式 （1分）f（x）=3ax2+2bx，则f（1）=3a+2b（3分）由条件式（5分）由式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2，f（x）=3x2+6x，令f（x）=3x2+6x0得x0或x2，（8分）函数f（x）在区间m，m+1上单调递增m，m+1（，20，+）m0或m+12m0或m3【点评】注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为115（2015衡阳县校级一模）已知函数f（x）=x2+lnxax在（0，1）上是增函数（1）求a的取值范围；（2）设g（x）=e2xaex1，x0，ln3，求g（x）的最小值【分析】（1）求出导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系，令导函数大于等于0恒成立，分离出a，利用基本不等式求出函数的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范围（2）通过函数将函数转化为二次函数，通过对对称轴与定义域位置关系的讨论，分情况求出函数的最小值【解答】解：（1），f（x）在（0，1）上是增函数，在（0，1）上恒成立，即恒成立，只需即可（当且仅当时取等号），（2）设ex=t，x0，ln3，t1，3设，其对称轴为 ，由（1）得，则当，即时，h（t）的最小值为当，即a2时，h（t）的最小值为h（1）=a所以，当时，g（x）的最小值为，当a2时，g（x）的最小值为a【点评】解决函数的单调性已知求参数的范围问题，常求出导函数，令导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立问题常分离参数转化为求函数的最值；通过换元法解题时，一定注意新变量的范围16（2013铁岭模拟）已知函数f（x）=xax2lnx（a0）（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为2，求a的值以及切线方程；（2）若f（x）是单调函数，求a的取值范围【分析】（1）先求函数f（x）的导数，再根据导数的几何意义列式求出a值，最后再根据直线的方程写出切线的方程即可（2）对函数求导，要讨论函数的单调性，只要讨论a的范围再判断f（x）的符号即得【解答】解：（1）f（x）=12ax（2分）由题设，f（1）=2a=2，a=1，此时f（1）=0，切线方程为y=2（x1），即2x+y2=0（5分）（2）f（x）=，令=18a当a时，0，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递减（10分）当0a时，0，方程2ax2x+1=0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1x2，则当x（0，x1）（x2，+）时，f（x）0，当x（x1，x2）时，f（x）0，这时f（x）不是单调函数综上，a的取值范围是，+）（12分）【点评】本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性，导数的几何意义在切线的求解中的应用，属于中档试题17（2016北京）设函数f（x）=xeax+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y=（e1）x+4，（）求a，b的值；（）求f（x）的单调区间【分析】（）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程组关系即可求a，b的值；（）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间【解答】解：（）y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y=（e1）x+4，当x=2时，y=2（e1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，同时f（2）=e1，f（x）=xeax+bx，f（x）=eaxxeax+b，则，即a=2，b=e；（）a=2，b=e；f（x）=xe2x+ex，f（x）=e2xxe2x+e=（1x）e2x+e，f（x）=e2x（1x）e2x=（x2）e2x，由f（x）0得x2，由f（x）0得x2，即当x=2时，f（x）取得极小值f（2）=（12）e22+e=e10，f（x）0恒成立，即函数f（x）是增函数，即f（x）的单调区间是（，+）【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键综合性较强18（2016白银模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax3（）求函数f（x）的最小值；（）对一切x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（）证明：对一切x（0，+），都有成立【分析】（I）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值（II）若2f（x）g（x），则a2lnx+x+，构造函数h（x）=2lnx+x+，则ahmin（x），进而得到实数a的取值范围；（）对一切x（0，+），都有成立，即，结合（1）中结论可知lnxx，构造新函数m（x）=，分析其最大值，可得答案【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），f（x）的导数f（x）=1+lnx令f（x）0，解得x；令f（x）0，解得0x从而f（x）在（0，）单调递减，在（，+）单调递增所以，当x=时，f（x）取得最小值（II）若2f（x）g（x），则a2lnx+x+，设h（x）=2lnx+x+，则h（x）=+1=x（0，1）时，h（x）0，h（x）单调递减，x（1，+）时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）min=h（1）=4故a4即实数a的取值范围为（，4证明：（III）若则，由（I）得：lnxx，当且仅当x=时，取最小值；设m（x）=，则m（x）=，x（0，1）时，m（x）0，m（x）单调递增，x（1，+）时，m（x）0，m（x）单调递减，故当x=1时，m（x）取最大值故对一切x（0，+），都有成立【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，熟练掌握导数法求函数最值的方法步骤是解答的关键19（2016春乐山校级期中）已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值（）求a，b的值；（）求函数y=f（x）的单调性【分析】（）由函数f（x）=ax2+blnx，知，由f（x）在x=1处有极值，知，由此能求出a，b的值（）由f（x）=，其定义域为（0，+），f（x）=x=列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间【解答】解：（）函数f（x）=ax2+blnx，f（x）在x=1处有极值，解得a=，b=1（）由（）得f（x）=，其定义域为（0，+），且f（x）=x=当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+）【点评】本题考查函数解析式的求法，考查函数的单调区间的求法，考查推理能力，考查运算能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用20（2016永州模拟）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a0（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x21，e（e为自然对数的底数）都有f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围【分析】（1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a0，可得，再检验即可； （2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x21，e都有f（x）ming（x）max结合当x1，e时及可知g（x）max=g（e）=e+1利用，且x1，e，a0，分0a1、1ae、ae三种情况讨论即可【解答】解：（1），g（x）=x+lnx，其定义域为（0，+）， x=1是函数h（x）的极值点，h（1）=0，即3a2=0a0， 经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，；（2）对任意的x1，x21，e都有f（x1）g（x2）成立等价于对任意的x1，x21，e都有f（x）ming（x）max当x1，e时，函数g（x）=x+lnx在1，e上是增函数g（x）max=g（e）=e+1，且x1，