初等模型之席位分配市场稳定.ppt

习题选讲,地图平分线问题：,问题重述：必存在一条纬线将中国地图面积平分。,建立坐标系（假设）：,以过地图最南端点的纬线为x轴，过地图最西端点的经线为y轴。如图。,y=y0=0，即x轴； y=y1，表示与地图最北端相切的纬线。 记地图面积为SD,考虑在y0与y1之间各个纬线与x轴所夹地图面积，此面积应与y有关，记为是S(y)，且注意到S(y0)=0，S(y1)=SD。,分析与证明：,一般地，S(y)是在区间y0,y1上的连续函数（这是需要讨论与证明的），并注意到S最大=S(y1)=SD，S最小=S(y0)=0，对于S中=1/2*S最大+S最小=1/2*SD，由介值定理，存在（y0,y1）上的y*使S(y*)=S中=1/2*SD，即存在一条纬线将地图面积平分。,思考一下，还有没有什么不妥的？,深入讨论：,若地图如右图，不能肯定S(y)是y0,y1上的连续函数，由于地图边界一定是连续的，那就只能是如图，,线。,有部分地图边界平行于纬线。,设平行于纬线的线为y=YY（有限个），若平行部分恰好是平分线，可证。若平行部分不是平分线，不妨设S(YY)1/2*S(y1)=1/2*SD，那么，对于S(y0)=0与S(y1)=SD之间的SD-S（YY），由介值定理，必存在YYY，使得S（YYY）=SD-S（YY）。,这时，考虑在YY，YYY之间的面积，恰等于原地图上下各去掉相同面积，再在YY,YYY上用介值定理，可证。,还有.？,初等模型,2.1 公平的席位分配 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.9 量纲分析与无量纲化,2.1 公平的席位分配,问题,三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。,现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。,若增加为21席，又如何分配。,比例加惯例,对丙系公平吗,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1= p2/n2 时，分配公平,p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,虽二者的绝对不公平度相同，但后者对A的不公平程度已大大降低!,若 p1/n1 p2/n2 ，对A不公平,p1/n1 p2/n2=5,p1/n1为每个席位代表人数,用什么做分母呢？p1? p2? (p1+p2)? (p1/n1)? (p2/n2)?,公平分配方案应使 rA , rB 尽量小！,设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B,不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平, 对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义 rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ，定义,这项科学吗？,1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,则这席应给 A,2）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,3）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,应计算rB(n1+1, n2),应计算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给,应讨论以下几种情况,初始 p1/n1 p2/n2,问：,p1/n1p2/(n2+1) 是否会出现？,A,否!,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给 B,当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给A,该席给A,否则, 该席给B,推广到m方分配席位,该席给Q值最大的一方,Q 值方法,现场推导一下。,三系用Q值方法重新分配 21个席位,按人数比例的整数部分已将19席分配完毕,甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,同上,Q3最大，第21席给丙系,甲系11席，乙系6席，丙系4席,Q值方法分配结果,公平吗？,Q1最大，第20席给甲系,进一步的讨论,Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？,席位分配的理想化准则,已知: m方人数分别为 p1, p2, , pm, 记总人数为 P= p1+p2+pm, 待分配的总席位为N。,设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2, , nm (自然应有n1+n2+nm=N)，,记qi=Npi /P, i=1,2, , m,ni 应是 N和 p1, , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, , pm ),若qi 均为整数，显然应 ni=qi,qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则：,记 qi =floor(qi) 向 qi方向取整； qi+ =ceil(qi) 向 qi方向取整.,1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m),即ni 必取qi , qi+ 之一,即当总席位增加时， ni不应减少,“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）,Q值方法满足 2）,但不满足 1）。令人遗憾！,在市场经济下，商品的价格经常会出现波动，当商品“供不应求”时，价格逐渐升高，经营者会觉得有利可图而加大生产量。然而，一旦生产量达到使市场“供过于求”，价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又一轮新的供不应求。在市场经济环境下，商品的产量与价格总要重复上面的过程。我们关心的问题是：如此循环，市场上的商品的数量与价格是否会趋于稳定？,市场稳定问题,所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于商品价格p，则称函数 q=f(p) 为需求函数。,一般来说，商品价格低，需求则大；商品价格高，需求则小。因此，需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。 因q=f(p)为单调减少函数，所以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见图。,“供给”是指在一定条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量，我们仍然只讨论价格与供给的关系，即供给函数q=(p)。,在上面的图中我们可以看出，需求曲线与供给曲线交于一点E(qm,pm)。当ppm时， (p) （），即“供过于求”，商品滞销，这种状况必然导致价格下跌，p减少。,一般来说，商品价格低，生产者便不愿生产，供给便少；商品价格高，供给则多。因此供给函数一般也为单调增加函数。又因为q=(p)单调增加，所以存在反函数p=-1(q)，往往我们也称此函数为供给函数。,从以上分析我们似乎可以看出：市场上的商品价格将围绕价格pm（称之为均衡价格）摆动。但实际情况并非如此简单。,将时间区间用等步长来划分，第n个节点处tn=n, 为时间步长。设pn为tn时刻的价格，则由市场上供求平衡的需要，有 (pn)(pn-1) 利用上面这两个式子，可得到 b(pn- )+ = a(pn-1- )+ 将上面的式子经过递推运算，可得到,由上式很容易看出，当a ，而当ab时，数列pn发散到无穷大，根本不会有市场价格绕均衡价格摆动的现象。,请同学们推导此式！,例 设某产品的供给函数(p)与需求函数f(p)皆为线性函数： (p)a(p-)+, f(p)=-b(p- )+ 其中a0, b0, 两直线相交于点(,)。,用taylor展开说明问什么可以这样设！,现在让我们来看一下上图中的复杂情形，曲线表示需求函数，曲线表示供应曲线。在此图中，显然有|KD|qm)，则该时期的价格p1由曲线上的点决定。 而在价格p1下，下一时期上市的商品量q2由曲线上的点决定。q2又通过曲线决定价格p2 ，p2通过曲线决定下一个时期的商品量q3，如此继续下去。又从上图中可以看出，商品量q与价格将按照的方向趋向于点。而点是稳定的平衡点。,从上例我们可以得到启示：市场价格的稳定似乎与供求函数的斜率比有关系。,如果|KD|KS|，我们同样进行类似的分析，不难发现，市场经济将按照的方向远离点，即商品的数量q与价格p的波动越来越大，点是不稳定的平衡点。 回到实际的市场经济中来，我们分析一下不稳定的原因。切线斜率实际上表示商品价格随商品量的变化而变化的程度。|KD|KS|表明消费者对这种商品价格的敏感度比经营者要高，商品稍少一点，人们便蜂拥抢购，致使价格有大的变化。因此，|KD|较大，在这种情况下，非常容易引起价格的不稳定现象。 当市场经济趋向于不稳定时，如何使市场经济重新趋于稳定呢？从上面的分析中，可以看出，即如何使|KD|KS|？一种办法是控制物价，比如让价格不改变，此时有KD，这时|KD|KS|总成立，即市场经济总是稳定的。另一种办法是控制市场上的商品数量：当上市量若少于需求量时，由政府出面，收购市场中商品过剩的部分。这样，|KS| ，从而使得|KD|KS|也总成立，市场经济便趋向于稳定。,问题,双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失,假设,热量传播只有传导，没有对流,T1,T2不变，热传导过程处于稳态,材料均匀，热传导系数为常数,建模,热传导定律,Q 单位时间单位面积传导的热量,T温差, d材料厚度, k热传导系数,2.3 双层玻璃窗的功效,Ta,Tb,记双层玻璃窗传导的热量Q1,Ta内层玻璃的外侧温度,Tb外层玻璃的内侧温度,建模,记单层玻璃窗传导的热量Q2,双层与单层窗传导的热量之比,k1=410-3 8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 32,对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，,取k1/k2 =16,建模,模型应用,取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03,即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。,结果分析,Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。,房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。,双层窗的功效不会如此之大,2.4 汽车刹车距离,美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：,背景与问题,正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。,实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：,后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何,判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一样；,建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。,问题分析,常识：刹车距离与车速有关,10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺( 9米),车身的平均长度15英尺(=4.6米),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同,刹车距离,反应时间,司机状况,制动系统灵活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候 ,最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。,车速,假 设 与 建 模,1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和,2. 反应距离 d1与车速 v成正比,3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;,F d2= m v2/2,F m,t1为反应时间,且F与车的质量m成正比,反应时间 t1的经验估计值为0.75秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”,模 型,问题,甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。,用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图：,若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y),都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y),2.6 实物交换,甲的无差别曲线,分析与建模,如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1, p2对甲是无差别的，,线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，,比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。,无差别曲线族的性质：,单调减(x增加, y减小),下凸(凸向原点),互不相交,在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的 y换取较少的 x;,在p2点占有y少、x多，就要以较多的 x换取较少的 y。,甲的无差别曲线族记作,f(x,y)=c1,c1满意度,（f 等满意度曲线）,切线的斜率意味着等满意度情况下，允许的交换,乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）,双方的交换路径,乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系xOy, 且反向）,甲的无差别曲线族 f=c1,双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上,因为在AB外的任一点p, (双方)满意度低于AB上的点p,两族曲线切点连线记作AB,p,交换方案的进一步确定,交换方案 交换后甲的占有量 (x,y),0xx0, 0yy0矩形内任一点,交换路径AB,等价交换原则,X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为,(x0,0), (0,y0) 两点的连线CD,AB与CD的交点p,设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0),为什么呢？见下页,要是交换前价值不同呢？,在AB的哪一点交换呢？让谁的满意度更高些呢？最公平的无差别曲线是等价交换！,设a，b为X与Y的价值（价格），则交换前等价值意味着x0*a=y0*b，即a/b=y0/x0。而交换后，甲拥有(x，y)数量的X和Y，其价值应该不变，为：(x0-x)*a+y*b=x0*a，即得，x*a=y*b，即a/b=y/x。故必在曲线CD上。,若是交换前价值不同，可以只考虑价值相同部分，多余的留着！,03:22:51,1. 以雇员工作时间t和工资X分别为横坐标及纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图？并解释曲线为什么是你画的那种形状？,2.若雇主支付计时工资，对不同的工资率（单位时间工资）画出计时工资线族（先假定是直线族）？根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资曲线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议？,03:22:51,用无差别曲线，讨论雇员与雇主之间的协议关系：,03:22,家政服务中的工作时间与工资报酬,无差别曲线及消费者均衡讨论,3.设雇员所得工资为q1，付出的工作时间的倒数为q2=1/t，这时雇员的满意度是q1和q2的函数，记作U(q1,q2)，这时U(q1,q2)=C(常数)的图形可以理解为前述的无差别曲线族。 再假设雇员为得到q1和q2是有代价的（比如，得工资需要一定的技能、工作强度；付出的工作时间需要本人的体力、时间安排等），分别量化为p1和p2，而雇员所具有的总代价是已知的定值S，即p1*q1+p2*q2=S，这时，雇员的满意度问题可以这样描述：在条件p1*q1+p2*q2=S之下，求比例p1*q1/p2*q2，使满意度函数U(q1,q2)达到最大。由拉格朗日乘数法可得，最优解应该满足,设满意度函数为,、为参数。请根据上式求最优比例p1*q1/p2*q2=？并给予解释？,随着人们生活水平的提高、生活节奏的加快、工作压力的增大以及人口日趋老龄化，社会对家政服务的需求越来越大。当前人们雇请家政服务人员的渠道不一，有的通过妇联介绍、有的通过家政中介介绍、有的通过熟人介绍。与此同时，相同的服务内容得到的报酬也不一样，甚至高低相差较大。因此，亟待政府规范家政服务行业，制定统一的工资标准，减少家政服务人员与雇主的矛盾，促进社会和谐。 由于家政服务内容所涉及的因素多，每个家庭需要提供的服务不尽相同，因此统一制定工资标准就比较复杂。 为了研究问题方便，我们假定家政服务的内容主要包括打扫卫生、做饭、洗衣服、带小孩和护理病人等。 打扫卫生分为每周打扫1次7次；做饭分为每天做1餐或2餐，每周做5天7天；洗衣服分为每周洗1次7次；带小孩和护理病人每周可能服务5天7天。 需要解决下列问题： 1定性分析影响工资报酬的因素以及工资报酬与这些因素之间的关系； 2建立数学模型，定量刻划工资报酬与这些因素之间的内在关系； 3利用问题2的结果，给出各种家政服务及其合理组合的工资标准； 4就目前吉林省普通工人的平均工资水平，论证问题3中各种工资标准的合理性。,E题：家政服务人员合理的工资报酬,2.7 核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。,随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。,在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。,当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。,估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。,背景,以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。,假定双方采取如下同样的核威慑战略：,认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击乙方的核导弹基地；,乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。,在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。,摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。,模型假设,图的模型,y=f(x)甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数,x=g(y)乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数,当 x=0时 y=y0，y0乙方的威慑值,y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数,P(xm,ym),乙安全区,甲安全区,双方 安全区,P平衡点(双方最少导弹数),乙安全线,精细模型,乙方残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。,sx个基地未摧毁，yx个基地未攻击。,xy,甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个,y0=sx+yx,x=y,y0=sy,乙的xy个被攻击2次，s2(xy)个未摧毁； y (xy)=2y x个被攻击1次，s(2y x )个未摧毁,y0= s2(xy)+ s(2y x ),x=2y,y0=s2y,yx2y,相当于描绘函数图像,a交换比(甲乙导弹数量比),x=a y,精细模型,x=y, y=y0/s,x=2y, y=y0/s2,y0威慑值,s残存率,y是一条上凸的曲线,y0变大，曲线上移、变陡,s变大，y减小，曲线变平,a变大，y增加，曲线变陡,xy, y= y0+(1-s)x,yx2y,猜测,从曲线表达式和参数的实际意义都可以分析！,从另一个角度证明曲线的凸性,下面我们将证明，在一次打击不能消灭对方所有核武器的情况下，两条单调的曲线x=f(y)与y=g(x)一定相交。,首先，我们先说明y=f(x)从(0,y0)开始，其斜率无限减少,如前，假设x=a*y，a（交换比）表示甲方核武器较乙方核武器的优势倍数。显然，乙方核武器在遭到甲方打击时所剩余的数目与a有关。假设乙方核武器保留下来的百分比为s(a)，则乙方在遭受一次打击后还保存有y*s(a)枚核武器。显然，只要y*s(a) y0，乙方就可以确保自己的安全。选取使y*s(a) y0的最小值ys，则ys便成为在条件x=a*y下使乙方安全的最小值。由安全线的意义， ys便是y=f(x)与x=ay的交点。由于a的任意性且y=f(x)与x=a*y总相交（因为一次打击不能完全毁灭，总有剩余百分比，故使y*s(a) y0的最小值ys必然存在，也就是y=f(x)与x=a*y必相交），易得出y=f(x)这条曲线的斜率无限减少。,当甲方与我方武器是如此(x=a*y)比例时，我还安全,甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标,乙方威慑值 y0变大,甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。,（其它因素不变）,乙安全线 y=f(x)上移,模型解释,平衡点PP,甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架,乙安全线y=f(x)不变,甲方残存率变大,威慑值x 0和交换比不变,x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近,模型解释,甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少,PP,双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标,(x , y仍为双方核导弹的数量),双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加,y0减小 y下移且变平,a 变大 y增加且变陡,双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析,模型解释,乙安全线 y=f(x),相当于导弹威力增强，故地方对于我方的导弹强度对比增加！,习题,讨论以下因素引起的平衡点的变化： 1.甲方提高导弹导航系统的性能。 2.甲方增加导弹爆破的威力。 3.双方发展电子干扰系统。 4.双方建立反导弹系统。,2.9 量纲分析与无量纲化,物理量的量纲,长度 l 的量纲记 L=l,质量 m的量纲记 M=m,时间 t 的量纲记 T=t,动力学中基本量纲 L, M, T,速度 v 的量纲 v=LT-1,导出量纲,加速度 a 的量纲 a=LT-2,力 f 的量纲 f=LMT-2,引力常数 k 的量纲 k,对无量纲量，=1(=L0M0T0),2.9.1 量纲齐次原则,=fl2m-2=L3M-1T-2,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,例：单摆运动,求摆动周期 t 的表达式,设物理量 t, m, l, g 之间有关系式,1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量,(1)的量纲表达式,对比,对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ),为什么假设这种形式,设p= f(x,y,z),x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍,单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式,设 f(q1, q2, , qm) = 0,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-r,F( 1, 2, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定,