2020版高考数学第五章数列第3节等比数列及其前n项和讲义理（含解析）新人教A版.docx

第3节等比数列及其前n项和考试要求1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.体会等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：q(n2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1；通项公式的推广：anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.3.等比数列的性质已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和.(1)若klmn(k，l，m，nN*)，则有akalaman.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(3)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列，其公比为qn.微点提醒1.若数列an为等比数列，则数列can(c0)，|an|，a，也是等比数列.2.由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(4)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列.()解析(1)在等比数列中，q0.(2)若a0，b0，c0满足b2ac，但a，b，c不成等比数列.(3)当a1时，Snna.(4)若a11，q1，则S40，S8S40，S12S80，不成等比数列.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修5P53A1(2)改编)已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()A. B.2 C.2 D.解析由题意知q3，即q.答案D3.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_.解析设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327，27381.答案27，814.(2019天津和平区质检)已知等比数列an满足a11，a3a54(a41)，则a7的值为()A.2 B.4 C. D.6解析根据等比数列的性质得a3a5a，a4(a41)，即(a42)20，解得a42.又a11，a1a7a4，a74.答案B5.(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A.f B.f C.f D.f解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为的等比数列，设此数列为an，则a8f，即第八个单音的频率为f.答案D6.(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和.若Sn126，则n_.解析由an12an，知数列an是以a12为首项，公比q2的等比数列，由Sn126，解得n6.答案6考点一等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017全国卷)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.(2)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3，S6，则a8_.解析(1)由an为等比数列，设公比为q.由得显然q1，a10，得1q3，即q2，代入式可得a11，所以a4a1q31(2)38.(2)设数列an首项为a1，公比为q(q1)，则解得所以a8a1q72732.答案(1)8(2)32规律方法1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.【训练1】 (1)等比数列an中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S38a13a2，a416，则S4()A.9 B.15 C.18 D.30(2)(2017北京卷)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_.解析(1)设数列an的公比为q(q0)，则解得q2，a12，所以S430.(2)an为等差数列，a11，a48a13d13d，d3，a2a1d132.bn为等比数列，b11，b48b1q3q3，q2，b2b1q2，则1.答案(1)D(2)1考点二等比数列的判定与证明【例2】 已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.(1)证明由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是an.(2)解由(1)得Sn1.由S5，得1，即.解得1.规律方法1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n1的情形进行验证.【训练2】 (2019广东省级名校联考)已知Sn是数列an的前n项和，且满足Sn2ann4.(1)证明：Snn2为等比数列；(2)求数列Sn的前n项和Tn.(1)证明因为anSnSn1(n2)，所以Sn2(SnSn1)n4(n2)，则Sn2Sn1n4(n2)，所以Snn22Sn1(n1)2(n2)，又由题意知a12a13，所以a13，则S1124，所以Snn2是首项为4，公比为2等比数列.(2)解由(1)知Snn22n1，所以Sn2n1n2，于是Tn(22232n1)(12n)2n2n.考点三等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A.12 B.10 C.8 D.2log35(2)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12()A.40 B.60 C.32 D.50解析(1)由等比数列的性质知a5a6a4a7，又a5a6a4a718，所以a5a69，则原式log3(a1a2a10)log3(a5a6)510.(2)数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4，8，S9S6，S12S9是首项为4，公比为2的等比数列，则S9S6a7a8a916，S12S9a10a11a1232，因此S1248163260.答案(1)B(2)B规律方法1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练3】 (1)(2019菏泽质检)在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20的两根，则a5的值是()A.2 B. C. D.(2)(一题多解)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则_.解析(1)根据根与系数之间的关系得a3a74，a3a72，由a3a740，所以a30，a70，即a51的n的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.7解析an是各项均为正数的等比数列，且a2a4a3，aa3，a31.又q1，a1a21(n3)，TnTn1(n4，nN*)，T11，T2a1a21，T3a1a2a3a1a2T21，T4a1a2a3a4a11，故n的最小值为6.答案C12.数列an中，已知对任意nN*，a1a2a3an3n1，则aaaa等于()A.(3n1)2 B.(9n1)C.9n1 D.(3n1)解析a1a2an3n1，nN*，n2时，a1a2an13n11，当n2时，an3n3n123n1，又n1时，a12适合上式，an23n1，故数列a是首项为4，公比为9的等比数列.因此aaa(9n1).答案B13.(2019华大新高考联盟质检)设等比数列an的前n项和为Sn，若a3a112a，且S4S12S8，则_.解析an是等比数列，a3a112a，a2a，q42，S4S12S8，1q41q12(1q8)，将q42代入计算可得.答案14.已知数列an满足a11，an12an(为常数).(1)试探究数列an是不是等比数列，并求an；(2)当1时，求数列n(an)的前n项和Tn.解(1)因为an12an，所以an12(an).又a11，所以当1时，a10，数列an不是等比数列，此时anan10，即an1；当1时，a10，所以an0，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，此时an(1)2n1，即an(1)2n1.(2)由(1)知an2n1，所以n(an1)n2n，Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，得：Tn222232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12.所以Tn(n1)2n12.新高考创新预测15.(创新思维)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1a2a3a4ea1a2a3.若a1