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工程數學細說精論 学好工程数学三大观念摘要：如同医学上强调病症之正确诊断,才能有效对症投药彻底治疗,一样的道理,工程数学须强调方程式类型之正确判断,如此才能采用最适合的解法,进行最正确与最有效率的求解.关键词：工程数学类别：专题技术来源：牛档搜索（Niudown.COM）本文系牛档搜索（Niudown.COM）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（Niudown.COM）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（Niudown.COM）不对其付相应的法律责任！11 許雋博士編著前言 學好工程數學三大觀念觀念一 建立正確有效的思路觀念解析方法!所謂思路觀念解析法係將工程數學各章節之主要內容，先進行綱要之建立，形成思路題型之觀念，有了初步之瞭解以後，再進行詳細內容之研讀，如此系統性之分析才能完全掌握各單元之主要內容。以一階常微分方程式之題型思路為例，一階常微分方程式之求解思路主要分為三種，第一種解法稱為分離變數解法，其次是正合型解法，第三為線性方程式解法。其中分離變數解法又可分為可直接分離變數及須經參數變換後才能分離等兩小類思路，正合型則分成直接正合型與積分因子型兩種問題，至於線性方程式則可分為一階線性微分方程式與非線性但可線性化之一階微分方程式。一階微分方程式之思路題型分析如下圖所示:另外，章節之關係也可以藉由思路來串連，例如，一階正合微分方程式之積分因子理論(題型8) ，研讀完成以後將可輕易應用於下一個題型，即一階線性微分方程式(題型9) ，而一階線性常微分方程式(題型9)之理論學會以後，又可輕鬆學會一階非線性方程式之伯努力方程式(題型10)、黎卡提方程式(題型11)及特殊型非線性微分方程式(題型12)。一般同學學習之瓶頸，可透過思路題型解析之方式輕易克服。如同醫學上強調病症之正確診斷，才能有效對症投藥徹底治療，一樣的道理，工程數學須強調方程式類型之正確判斷，如此才能採用最適合的解法，進行最正確與最有效率的求解。研習工程數學的第一步，在於有效建立方程式之判斷思路，才能輕鬆解析，正確求解，收事半功倍之效。觀念二 學會理解輔助記憶的正確學習方式!工程數學定理公式眾多，要如何學習才能記得住、記得牢呢?問題的答案很簡單: 學會以理解輔助記憶的正確學習方式! 以一般同學最感頭痛的傅利葉級數(Fourier series)求解公式為例，說明理解輔助記憶學習法的神奇功效。對週期函數而言，傅利葉級數求解公式如下：根據廣義Fourier級數其係數之計算，得但有時、又常寫為別的型式，尤其是積分符號前的、最令人困擾，到底何時該為?何時該為?而何時又該為呢? 其實，只要詳細理解下列公式之由來，便可永遠輕鬆記住積分符號前的係數喔!這就是理解輔助記憶的神奇效果!(1)奇函數(odd function)之Fourier級數定義：，圖形為反對稱則(2)偶函數(even function)之Fourier級數定義：，圖形為對稱則又如傅利葉指數型積分公式，項次非常多又非常複雜，您能記得住這個公式嗎?就算為了應付期中考試勉強記下來，又能記住多久呢?其實，只要詳細理解傅利葉指數型積分公式之由來，便可永遠輕鬆記住公式裡的每一個細節，而且永遠不會忘記喔!這就是理解輔助記憶的神奇效果!由Eulers formula 得 故 其中 令 則 由即當週期趨近於，則趨近於，趨近於綜合以上所述，公式裡的每一個細節其由來如下:公式中的來自於公式中的第一個積分來自於 公式中的第二個積分來自於 公式中的來自於這些公式中的重要零件，完全可以藉由詳細理解公式之由來過程，便可永遠輕鬆記住公式裡的每一個細節，而且永遠不會忘記喔!這就是理解輔助記憶的神奇功效!觀念三 將工程數學之理論應用在物理及化學問題!各領域之物理及化學問題，如電子學、電磁學、材料力學、流體力學、熱力學以及自動控制等，都與工程數學密不可分!尤其研究所入學考試特別喜歡考應用問題，也就是考工程數學在物理問題及化學問題的應用問題，觀察近十年來研究所入學試題，應用問題多半已佔40%，可見，如何將工程數學應用在應用問題已經成為目前最熱門的時事考題，同時也已成為上榜與否的關鍵所在。以振盪問題為例說明，一個系統之振動問題可模擬為下列系統： 其控制方程式可藉由力平衡條件加以推導： 即 其中：為系統質量 為系統黏滯性阻尼係數 為彈簧係數由於,多為常數，因此上式為常係數二階O.D.E1.單自由度(SDOF) 振動問題之分類A. 當時，稱為自由振動，就方程式而言，為齊性問題，可利用題型19之方法求解B. 當時，則稱為強迫振動，就方程式而言，為非齊性問題，可利用題型20至題型22之方法求解。C. 當特殊函數(如：脈衝函數或是單位階躍函數)，可利用拉普拉斯轉換法求解。D. 當週期函數，則可用傅利葉級數求解。(1) 無阻尼自由振動：控制方程式：令代入原式則此時定義自然頻率(natural frequency) 故初始條件得故 其中為振幅 為相位角繪之圖形1(2)有阻尼的自由振動： 控制方程式： 令代入原式 令 稱為臨界阻尼係數(Critial Damping Coefficient) 定義阻尼比： 則臨界阻尼系統Critical-Damped System 1超越阻尼系統Over-damped system 1低阻尼系統Under-damped system 定義：，阻尼自然振動頻率