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12 秩亏自由网的平差原理与直接解法 引例 如图所示，等精度观 测了3个高差，并设3个点的高程 均为未知数，则组成的法方程有 多少个解？如何进行平差计算？ 该问题的法方程系数阵为不满秩阵，故参数的解 有无穷个。,一、基本原理 设某平差问题选取了 个未知参数，而必要未知 数的个数为 ，且 ,则 和 中 ，产生秩亏数 ,使 得 ， 的解不唯一。在 条件下, 可得 的唯一解 ，因该解同时满足 和 ，故称为最小二乘最小范数解。这 就是秩亏自由网平差的基本原理。,二、用直接解法求解秩亏自由网 1.原理 由 （1） 在 的约束下，可导出 个相关的法方程 （2） 将法方程写成,即 （3） 其中， 为 个线性无关的方程组， 为 的非 奇异方阵，则满足 的解也一定满足 。 记,则 （4） 为求即满足 ，又使 的 ，构造函数 （5） 令,得 即 （6） 将（6）代入 得 令 （7） 则有秩亏自由网的法方程 （8） 故 （9）,（10） 即 可以证明， 。证明略。 2.计算步骤 （1）根据平差问题，选取t个平差参数和近似值 （ ），列出误差方程,（2）计算 （3）计算 （4）计算未知参数,（5）精度评定 证明 因 故根据协因数传播律有,例：如图所示，测得 已知各路线等长，试用直 接解法 求和 。 解：设各点高程的平差值分别为 其近似值 为 ，则 可根据 以下步骤求解参数平差值及其协因数：,（1）误差方程 （2）法方程,（3） 及 （4）未
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