非匹配摄动系统协方差矩阵的定界估计.doc

非匹配摄动系统协方差矩阵的定界估计 引言在现代火控系统设计时，为了提高对机动目标的毁伤概率及跟踪性能，期望在某一有限的空间动态区域中，弹丸具有等概率分布的特性，或者动目标在该空间区域中出现的概率最大。由此引入了区域目标函数作为其性能指标1。如射击门、未来/现在空域窗及电视跟踪视场等等，这些性能指标均是系统稳态状态/输出协方差矩阵的函数。协方差配置控制理论的基本方法是2：对于给定的协方差矩阵，设计控制器，使闭环系统的方差特性匹配给定的协方差矩阵，系统因此达到所期望的性能。另一方面，具有行进间射击能力的车载火控系统其模型阶数往往极高，若不作模型简化处理则难以用于工程设计之中。模型简化的准则是7寻求指定阶数的低阶简化模型，使之与满阶模型具有基本相同的稳态/动态特性。环形区域极点/协方差等价实现的基本思想是构造指定阶数的降阶模型，使其极点分布所在的环形区域完全覆盖满阶模型的主导极点群，且其稳态状态协方差等于满阶模型的输出协方差。显然，随机系统方差特性的研究，在系统性能指标的确定、控制设计及模型简化中起着重要的先导作用。在实际工程设计中，模型的结构摄动是不可避免的，它使得系统稳态状态/输出协方差矩阵随之变化。若由于系统的结构摄动而无法确定其协方差矩阵，则不仅系统的区域目标函数难以界定，而且协方差配置/实现等设计方法就失去了前提条件。文献3，4在A阵的不确定性满足匹配及约束条件下，研究了系统协方差矩阵的上下界估计问题，但需求解高阶矩阵方程3文献5则进一步考虑了噪声矩阵的不确定性，推广了文献3，4的结果。本文在系统矩阵和噪声矩阵的不确定性无需匹配约束的条件下，继续研究离散随机系统协方差矩阵的定界问题，结果表明系统协方差的上下界可通过求解两个代数Riccati方程而获得，并说明了该方法在火控系统模型简化中的应用。与文献3，4，5相比，本文有关不确定性的刻划更具一般性，且无需求解高阶矩阵方程3。1问题的描述考虑如下含结构摄动的离散随机系统(1.1)其中x(k)Rnx,w(k)Rnu,A，D为适维定常矩阵，w(k)是强度为I的零均值高斯白噪声序列；r()、h()为不确定参数向量，体现了实际系统中的参数摄动；是未知量或慢时变量，A(.)、D(.)分别依赖r和h，且分别在RfrRfh上连续，r(.)和h(.)均为Lebesgue可测的，其值域分别属于紧集r和h:(1.1)(1.2)现对摄动矩阵的乘积作秩一分解。设A(r()的元素，这里的aij0为确定性量，rij()为不确定性量，设，则(1.3)秩1之和的表达式为(1.4)其中rank(A*i)1，i1，2，fa,fa:fr，可推知A*idieTi，i=1，2fa(1.5)这里di、eiRnx，均为单一元素的非零向量，其非零元素可取。令(1.6)显然有TaTTa0及WaWTa0。类似地，有(1.7)rank(D*i)1及D*ifigTi(1.8)(1.9)同样有TdTTd0,WdWTd0成立。令(1.10)这里m(.)表示(.)的最大特征值。引理1.1对于摄动矩阵A(r()r及D(h()h，有A(r()AT(r()aI(1.11)D(h()DT(h()dI(1.12)证明(略)。当A+A(r()渐近稳定时，系统(1.1)的稳态状态协方差矩阵 (1.13)存在且为如下离散Lyapunov方程的唯一正定解2P(A+A(r()P(A+A(r()T+(D+D(h()(D+D(h()T(1.14)上式表明，系统(1.1)的稳态协方差矩阵P受结构摄动(A(r()，D(h()的影响而在一定范围内变化。本文研究的目的是：对于系统(1.1)，确定其上界P与下界R，使基于协方差配置/实现的设计方法成为可能。2协方差矩阵的上下界估计引理2.1对于给定的正定矩阵QI，有A+A(r()QA+A(r()TAQAT+AQ(I-Q)-1QAT+aI(2.1)证明令(2.2)由引理1.1可知A(r()AT(r()aI，则(2.3)由(2.3)式即得(2.1)式。引理2.2对于系统(1.1)用常数a0，有D+D(h()D+D(h()T(a+1)(a-1DDT+aI)(2.4)证明令(2.5)根据引理1.1，可得0S(h()ST(h()=a-1DDT-DDT(h()-D(h()DT+aD(h()DT(h()=(a+1)a-1DDT+D(h()DT(h()-D+D(h()D+D(h()T(a+1)(a-1DDT+dI)-D+D(h()D+D(h()T(2.6)由上式直接得2.4式引理2.3对于给定的矩阵R=RT0，有A+A(r()RA+A(r()TARAT-AR(I+R)-1RAT-aI(2.7)证明令(2.8)由引理1.1有0U(r()UT(r()=AR(I+R)-1RAT+ARAT(r()+A(r()AT(r()+A(r()(I+R)AT(r()=AR(I+R)-1RAT+A+A(r()RA+A(r()T-ARAT+A(r()AT(r()AR(I+R)-1RAT+A+A(r()RA+A(r()T-ARAT+aI(2.9)由上式即为2.7式。引理2.4对于系统(1.1)及常数0，有D+D(h()D+D(h()T(1-1)DDT+(1-)aI(2.10)证明令(2.11)利用引理1.1，得0V(h()VT(h()=-1DDT+DDT(h()+D(h()DT+D(h()DT(h()=D+D(h()D+D(h()T+(-1-1)DDT+(-1)D(h()DT(h()D+D(h()D+D(h()T+(-1-1)DDT+(-1)dI(2.12)至此引理2.4即得证。引理2.5对于方程(1.14)，下面三个结论有一个成立，则其余两个相互等价。A+A(r()渐渐稳定；A+A(r()，D+D(r()可稳；P=PT0;定理2.1对于系统(1.1)，若存在常数a0及Q=QT0满足QI(2.13)Q=AQAT+AQ(I-Q)-1QAT+(a+1)a-1DDT+(a+1)d+aI(2.14)则系统(1.1)渐近稳定，由方程(1.14)定义的稳态状态协方差矩阵P=PT0；存在且满足(2.15)证明由引理2.1及引理2.2可知AQAT+AQ(I-Q)-1QAT+aI=A+A(r()QA+A(r()T+1(2.16)(a+1)(a-1DDT+dI)=D+D(h()D+D(h()T(2.17)将(2.16)和(2.17)式代入方程(2.14)，得Q=A+A(r()QA+A(r()T+D+D(h()D+D(h()T+1+2(2.18)因(A+A(r()，D+D(h()可稳，又1+20，故由文献6可推知：A+A(r()，D+仍可稳，由引理2.5得知系统(1.1)渐近稳定；据此，方程(1.14)存在正定解矩阵P。将(2.18)式减去(1.14)式可得Q-P=A+A(r()(Q-P)A+A(r()T+1+2(2.19)上式即(2.20)故(2.21)定理2.2对于系统(1.1)若存在常数0及R=RT0满足以下Riccati方程R=ARAT-AR(I+R)-1RAT+(1-)-1DDT+(1-)d-aI(2.22)则方程(1.14)的正定解矩阵P满足(2.23)证明：根据引理2.3及引理2.4，可得ARAT-AR(I+R)-1RAT+(1-)-1DDT+(1-)d-aI=A+A(r()RA+A(r()T+D+D(h()D+D(h()T-1-2(2.24)将上式代入(2.22)式，得R=A+A(r()RA+A(r()T+D+D(h()D+D(h()T-1-2(2.25)由(2.25)及(1.14)式，得P-R=A+A(r()(P-R)A+A(r()T+1+2(2.26)根据定理2.1可知系统(1.1)渐近稳定，故上式等价于(2.27)定理2.1中的方程(2.14)为一修正的代数Riccati方程，该形式在H控制理论中颇为常见，故可用同样的法求解6。定理2.1及定理2.2给出了系统(1.1)的协方差矩阵P的上下界估计式。通过求解Riccati方程(2.14)和(2.22)，得出正定矩Q与R，即可估计系统(1.1)的状态协方差矩阵RPQ。3数值算例设系统(1.1)的参数为a=0.006,d=0.008;定理2.1及定理2.2中的常数分别取为=8.6，=0.0002那么由定理2.1及定理2.2可确定出系统(1.1)的稳态协方差矩阵P的上、下界为：显然有RPQ。成立4小结本文研究了非匹配不确定离散随机系统状态协方差矩阵的上下界估计问题。结果表明了可通过求解两个代数Riccati方程，给出系统协方差矩阵的估计式，并提供了一个数值算例说明其结果具有简单、直接的特点。*国家自然科学基金、国防科工委预研基金资助课题作者简介:孙翔，男，1956年生，博士，主要研究方向为随机系统的多指标综合设计。胡金春，男，1972年生，博士，研究方向为随机系统的几何刻划。郭治，男，1937年生，南京理工大学教授、博士生导师，国务院学位委员会学科评议组成员，长期从事控制理论及应用技术的教学与科研工作，主要研究领域为随机控制与火力控制系统。作者单位:(南京理工大学南京210094)参考文献1孙翔，王子栋，郭治.多维闭区域空间拦截问题的鲁棒控制.火炮发射与控制学报 ，1995，(2)：172Hotz A F,Skelton R E.Covariance Control Theory,int J Contr.1987,46(1): 13323Xu J H,Skelton R E，Zhu G.Upper and Lower Covariance Bounds for Pertur bed Linear Systems,IEEE Trans Automat Contr.,1990,35(8)：9449484Auba T，Funahashi.Upper and Lower Bounds of Gramian for a Class of Pertubed Linear Systems,IEEE Trans Automat Contr,1992,37(10)：165916615王子栋，孙翔，郭治.不确定线