《概率论与数理统计教程-朱庆峰》第4章 大数定律与中心极限定理.ppt

4.3 大数定律,讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义； 给出几种大数定律： 伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,下面我们先介绍大数定律,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大数定律的客观背景,大量抛掷硬币 正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的 废品率,定理4.3.1（伯努利大数定律）,（1）此定理为“频率稳定于概率”提供了理论依据。,注：,（2）当试验次数n 足够大时, 可以用频率近似 代替该事件的概率。,（3）概率很小的事件-小概率事件（实际不可能事件）,概率接近于1的事件-实际必然事件,小概率原理：在个别试验中，常忽略掉那些概率很小的事件发生的可能性。,在伯努利大数定律中，引入随机变量,显然,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,独立同0-1分布,在定理的证明过程中，我们看到,的随机变量的统计规律性。,定义:设Xk是随机变量序列，数学期望E(Xk)(k=1,2,.)存在，若对于任意 0，有,则称随机变量序列Xn服从大数定律.,大数定律的定义,定理4.3.2（切比雪夫大数定律）,Xn两两不相关，且Xn方差存在，有共同的上界，则 Xn服从大数定律.,定理4.3.2表明:,（这个接近是概率意义下的接近）,即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n无限增加时, 几乎变成一个常数.,定理4.3.3（马尔可夫大数定理）,若随机变量序列Xn满足：,则 Xn服从大数定律.,(马尔可夫条件),练习： P236 2,关于辛钦定理的说明:,(1) 与定理4.2相比, 不要求方差存在;,(2) 伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.,定理4.3.4（辛钦大数定律）,若随机变量序列Xn独立同分布，且Xn的数学期望存在。则 Xn服从大数定律.,注：,（1）定理表明：具有相同数学期望的独立同分布的随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.当 n 足够大时，可以用算术平均值近似地代数学期望，为寻找r.v.的期望值提供了一条实际可行的途径,解,由辛钦定理知,例,四、小结,四个大数定理,伯努利大数定律,切比雪夫大数定律,辛钦大数定律,马尔可夫大数定律,习题4.3： 1；3；4； 8；9；11；12；14,作业,4.4 中心极限定理,四、小结,一、独立同分布下的中心极限定理,二、二项分布的正态近似,三、独立不同分布下的中心极限定理,问题的引入,问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况.,中心极限定理概述: 研究独立随机变量之和的极限分布为正态分布的命题 。,一、独立同分布下的中心极限定理,定理4.4.1（林德贝格-列维中心极限定理）,定理4.1表明:,注：,（1）定理表明大量独立同分布的随机变量之和都近似服从正态分布。,（2）作用,由此可近似求出由生成的任何事件的概率,定理4.4.2(德莫佛拉普拉斯定理),二、二项分布的正态近似,定理4.2表明: 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 可以利用正态分布来近似计算二项分布的概率.,下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.,（3）与Poisson定理近似计算二项分布概率的比较,某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.,解,设 为一年中投保老人的死亡数,由德莫佛拉普拉斯定理知,例2,保险公司亏本的概率,练习2：100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.,练习1： 将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？,定理4.4.4(李雅普诺夫定理),三、独立不同分布下的中心极限定理,则随机变量之和的标准化变量,中心极限定理的意义,在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.,中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.,四、小结,三个中心极限定理,林德贝格-列维中心极限定理,德莫佛拉普拉斯定理,中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态分布.,李雅普诺夫定理,备用题,解,由定理4.8, 随机变量Z近似服从正态分布N(0,1),例1,其中,一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3 的概率为1/3, 若船舶遭受了90000次波浪冲击, 问其中有2950030500次纵摇角大于 3 的概率是多少？,解,将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90000次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为x,例2,所求概率为,分布律为,直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理,对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参