武汉理工电磁场第5章作业参考答案.pdf

第五章习题解答第五章习题解答 5.1 一个点电荷 Q 与无穷大导体平面相距为 d，如果把它移动到无 穷远处，需要作多少功？ 解：用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替， 镜像电荷的大小为-Q，位于和原电荷对称的位置。当电荷 Q 离导体 板的距离为 x 时，电荷 Q 受到的静电力为 2 )2( 0 4 2 x Q F 静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的 外力 2 )2( 0 4 2 x Q f 在移动过程中，外力 f 所作的功为 d Q d dx d x Q dxf 0 16 2 2 0 16 2 当用外力将电荷 Q 移动到无穷远处时， 同时也要将镜像电荷移动 到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为dq 0 8/ 2 。 也可以用静电能计算。在移动以前，系统的静电能等于两个点电 荷之间的相互作用能： d Q d Q Q d Q QqqW 0 8 2 )2( 0 4 )( 2 1 )2( 0 4 2 1 22 2 1 11 2 1 移动点电荷 Q 到无穷远处以后，系统的静电能为零。因此，在这 个过程中， 外力作功等于系统静电能的增量， 即外力作功为dq 0 8/ 2 。 52 一个点电荷放在直角导体内部（如图 5-1） ，求出所有镜像电荷 的位置和大小。 解：需要加三个镜像电荷代替 导体面上的感应电荷。在（-a，d） 处，镜像电荷为-q，在（错误！链接无效。错误！链接无效。）处， 镜像电荷为 q，在（a，-d）处，镜 像电荷为-q。 图 5-1 53 证明：一个点电荷 q 和一个带有电 荷 Q、半径为 R 的导体球之间的作用力为 2 ) 22 ( 2 0 4 RD DRq D D qR Q q F 其中 D 是 q 到球心的距离（DR） 。 证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电 Q，必须在 导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。 在距离球心 b=R2/D 处，镜像电荷为 q= -Rq/D；在球心处，镜像电荷为 DRqQqQq/ 2 。点电荷 q 受导体球的作用力就等于球内两个镜 像电荷对 q 的作用力，即 2 ) 2 ( 2 0 4 2 )( 2 2 0 4 D R D D qR D D qR Q q bD q D q q F d q -q q q x y a 2 ) 22 ( 2 0 4 RD DRq D D qR Q q 54 两个点电荷+Q 和-Q 位于一个半径为 a 的接地导体球的直径的 延长线上，分别距离球心 D 和-D。 （1） 证明： 镜像电荷构成一电偶极子， 位于球心， 偶极矩为 2a3Q/D2。 （2）令 Q 和 D 分别趋于无穷，同时保持 Q/D2不变，计算球外的电 场。 解： （1）使用导体球面的镜像法叠加原理分析。在球内应该加上两个 镜像电荷：一个是 Q 在球面上的镜像电荷，q1 = -aQ/D，距离球心 b=a2/D；第二个是-Q 在球面上的镜像电荷，q2 = aQ/D，距离球心 b1=-a2/D。当距离较大时，镜像电荷间的距离很小，等效为一个电偶 极子，电偶极矩为 2 3 2 ) 1 ( 1 D Qa bbqp （2）球外任意点的电场等于四个点电荷产生的电场的叠加。设+Q 和 -Q 位于坐标 z 轴上， 当 Q 和 D 分别趋于无穷， 同时保持 Q/D2不变时， 由+Q 和-Q 在空间产生的电场相当于均匀平板电容器的电场，是一个 均匀场。均匀场的大小为 2 0 4/2DQ，方向在-ez。由镜像电荷产生的 电场可以由电偶极子的公式计算： ） sincos2( 3 0 4 e r e r P E ） sincos2( 23 0 4 3 2 e r e Dr Qa 5 5 接地无限大导体平板上有一个半径为 a 的半球形突起， 在点 （0， 0，d）处有一个点电荷 q（如图 5-5） ，求导体上方的电位。 解：计算导体上方的电位时，要保持 导体平板部分和半球部分的电位都为 零。先找平面导体的镜像电荷 q1 = -q， 位于（0，0，-d）处。再找球面镜像 电荷 q2 = -aq/d，位于（0，0，b）处， b= a2/d。当叠加这两个镜像电荷和原电 荷共同产生的电位时，在导体平面上和 图 5-5 球面上都不为零， 应当在球内再加上一个镜像电荷 q 3 =aq/d， 位于 （0， 0，-b）处。这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平 面和球面上都为零。而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。 导体上方的电位为四个点电荷的叠加，即 ）（ 3 3 2 2 1 1 0 4 1 r q r q r q R q 其中 2 1 2 )( 22 dzyxR 2 1 2 )( 22 1 dzyxr 2 1 2 )( 22 2 bzyxr d q b q2 q3 -b -d q1 a z 2 1 2 )( 22 3 bzyxr 56 求截面为矩形的无限长区域（01 的各项，得 0 20 ,0 2 n a n D n A n a n D n A 由此解出0 n D n A。最终得到圆柱内、外的电位分别是 cos 2 0 0 0 cos 02 ,cos 0 0 2 01r a ErErE 电场强度分别为 eE r eEEsin 0 0 0 2 cos 0 0 0 2 11 e r a E r e r a EE) 2 2 0 0 1 (sin 0 ) 2 2 0 0 1 (cos 022 514 在均匀电场中，设置一个半径为 a 的介质球，若电场的方向沿 z 轴，求介质球内、外的电位、电场（介质球的介电常数为，球外 为空气） 。 解：设球内、外电位解的形式分别为 )(cos) 1 ( 0 1 n n P n r n B n r n A n )(cos) 1 ( 0 2 n n P n r n D n r n C n 选取球心处为电位的参考点，则球内电位的系数中0 0 A，0 n B. 在 r处，电位cos 02 rE，则球外电位系数 n C中，仅仅 1 C不 为零， 01 EC，其余为零。因此，球内、外解的形式可分别简化为 )(cos( 0 1 n n P n r n A n )(cos 1 0 cos 02 n n P n r n D n rE 再用介质球面（r=a）的边界条件 1 = 2 及 rr 2 0 1 ，得 )(cosP 2 ) 1( 0 1 cos 00 )(cosP 1 1 )(cos 1 1 cos 0 )(cosP 1 n n n a n Dn n En n n a n nA n n n P n a n D n aEn n n a n A n 比较上式的系数，可以知道，除了 n=1 以外，系数 n A、 n D均为零， 且 3 10 2 001 , 2 101 aDEAaDaEaA 由此，解出系数 3 0 0 2 0 1 , 0 0 2 0 3 1 aEDEA 最后得到电位、电场：