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第九节 函数单调性与凸性的判别法,一、单调性的判别法,二、凸性及其判别法,一、函数单调性的判别法 1、单调性的判别法,定理 (函数单调性的判定法),备注,证,例1,解,注意 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,2、单调区间求法,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间，这时也称函数是该区间的单调函数.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,求函数的单调区间的方法:,例2,解,函数的单调增加区间为：,函数的单调减少区间为：,例2,解,函数的单调增加区间为：,函数的单调减少区间为：,说明:,1) 单调区间的分界点除驻点外,也可以是导数 不存在的点.,例3,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性.,例4,例5,解,3) 注意 若区间内导数为零的点只是孤立点, 则不影响区间的单调性,即函数在区间内仍是单调的.,例如,3、利用单调性可以证明不等式,例6,例7,例7,证,例,证,例,证,4、利用单调性可以证明根的唯一性,例8,此种题型应先证明根的存在性，再证明唯一性.,5、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,二、函数的凸性及其判别法 1. 函数凹凸的定义,问题:如何用数量方法来刻划曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,定义:,2. 函数凹凸性的判别法,判别法2,判别法1,例1,解,注意到,例2,解,说明:,若在某点二阶导数为 0 ,在其两侧二阶导数不变号,则函数的凹凸性不变 .,3、曲线的拐点及其求法,1) 定义,注意 拐点处若存在切线， 则必在拐点处穿过曲线.,2) 拐点的求法,证,求拐点的方法:,例3,解,下凸,上凸,下凸,拐点,拐点,例4,解,不存在,下凸,上凸,注意:,结论：,若曲线 y=f (x) 在点 x0 连续 ,或不存在,但 在点 x0 两侧异号,则点 是曲线,y=f (x) 的一个拐点.,求拐点的步骤：,step1 求二阶导数等于零和不存在的点 x0 .,step2 判断二阶导数在这些点的左右两侧是否异号.,step3 写出拐点 .,4、利用函数的凸性证明不等式,证明:,令, 则,上是下凸函数 ,即,证,5、小结,曲线的弯曲方向凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,函数凹凸性的判定,曲线凹凸与拐点的判别,思考与练习,提示: 利用,单调增加 ,及,B,提示:,及,证明：,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线.,解,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大
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