利息的基础知识.pptVIP

第一章,利息的基础知识,主要内容,一、利息的度量 二、利率问题、时间问题的求解,一、利息的度量,主要内容 累积函数 利息 利率 单利与复利 现值函数 一年计息m次的实际利率与实际贴现率 利息力,1、累积函数,单位货币经过t 年后的价值。,A0为本金，At为t年后的价值。,2、利息,投资获得的报酬。 t年内的利息为： 第n年的利息为：,3、利率,单位资本的获得的利息。,例一,设：at =ct2+d (c、d为常数）， a 5=126 , A0=100 求：A10、 、 i10,解：,a0=1 a5=126 得： c=5 d=1 所以：at=5t2+1 A10=A0a10=50100 i10=(a10-a9)/a9=0.233,4、单利与复利,（1）单利 设年利率为i ，期初本金为1,1+i 1+2i 1+it,1,0 1 2 t,at=1+it,复利,设利率为i，期初本金为1。,1+i (1+i)2 (1+i)t,1,0 1 2 t,at=(1+i)t,5、单利、复利的比较,（1）单利条件下，每年利息相等，实际利率减少。 每年的利息：In=An-An-1 =A0(an-an-1)=A0i 每年的利率：,（2）、复利条件下，每年利息增大，实际利率不变,实际利息：,实际利率：,（3）、图形比较,当t(1+i)t 当t1时：1+it(1+i)t,at=1+it,at=(1+i)t,1,1,例二,李刚94年1月1日从银行借款1，000元，假设年利率为12%，试分别以单利和复利计算： （1）96年1月1日时，他需还银行多少钱? （2）几年后需还款1，500元？,解：,（1）A1=1，000（1+it） =1，000 （1+0.122）=1，240元 A2=1，000(1+i)2=1，254.4元 （2）1，500=1，000（1+it1） t1=4.17年 1，500=1，000(1+i)t t2=3.58年,5、现值和贴现率,现值函数。未来t年1单位货币在现在的值。 （1）单利：各年1元的现值。,1+i 1+2i 1+it,1,1 1 1 1,1/1+i,1/1+2i,折现过程,0,.,（2）复利 设年利率为i ，各年1元的现值。,1+i （1+i ）2 （1+i）t,1,1 1 1 1,折现过程,0,复利条件下：,折现因子： 折现函数：,贴现率,1）计息的方式。 滞后利息 期初利息 例：购买一年期面值为100元的国债， 第一种方法：一年后还本付息110元； 10元为滞后利息，是期初本金上的增加额。-利息。,第二种方法：购买时90元，一年后按面值返还。 10元为期初利息，是期末值的减少额。-贴现额。,.,2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。,年贴现额=Andn=An-An-1 以An为标准的减少额。 年利息=An-1 in=An-An-1 以An-1为标准的增加额。,3）贴现率与利率,或：,4）贴现率与折现因子,公式一 及：,公式二 及：,例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？ 2）年利率为多少? 3）折现因子为多少？,解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) 3）v=1-d=0.9,作业,1、李华90年1月1日在银行帐户上有5，000元存款。 1）在每年10%的单利下，求94年1月1日的存款。 2）在每年8%的复利下，求94年1月1日的存款。,。,2、张军94年初在银行帐户上有10，000元存款。 1）在复利11%下计算90年的现值。 2）在11%的贴现率下计算90年的现值。,6、一年计息m次的实际利率与贴现率,例：期初本金为1元，年利率为10%。 如果一年计息一次，则年末积累值为1.10元。 如果一年计息两次，则年末积累值为 （1+10%/2）2=1.1025元 即年实际利率为10.25%,1）实际利率：每个度量时期内结转一次利息的利率。 名义利率：每个度量时期内多次结转利息的利率。,设年名义利率为i（m），年实际利率为i。 每次计息的实际利率为 i（m）/m 。 则：,所以： 或：,2）实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴现率。 名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现率。,设年名义贴现率为d(m), 实际贴现率为d， 则：每次的贴现率为,所以： 或：,3）i(m)与d(m) 的关系,1元钱在年末的累积值为： 或：,则： 得：,一般公式,如果一年结转m次利息，或一年贴现n次等价。 则：,例（1）求每月结算的年利率为12%的实际利率； （2）求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率。,解（1）,（2） 结论：结转次数越多，实际利率越大，实际贴现率越小。,例,2，000元的本金在6%的名义利率下投资，如果每年结转4次利息，求： 1）2年零6个月后的积累值； 2）年名义贴现率。,解,1）共计息10次,2）由公式 得：,例:一张尚需6个月到期的债券，其面值为2，000元，如果名义贴现率为6%，一年贴现4次，求该债券现在的价格为多少？,解：1） P= 或：2）,7、利息力,瞬时利率。度量资本在某一时点上的获利能力。 1）常数利息力 定义 ：,。,或：,所以：a）,b）,利息力与累积函数,2）常数贴现力,当m ，期初付与期末付没有区别。,3）利息力的一般式,定义,累积函数与利息力,由定义式：,两边积分,。,当 为常数时：,各年的利息力分别为：,积累函数值,第n年的利率为,。,现值函数值为：,例：设某项投资基金的利息力为， 其中k为投资年度。求某投资者在开始投资多少资金于该基金时，使得投资在5年末的终值为50，000元。,解：,例：设,1）,4）,二、利率问题、时间问题求解,利率问题求解 1）解析法 2）线性插值法 3）迭代法,1）解析法,例：期初的2，000元本金经过2年3个月之后的累积额为2，500元，试确定这笔投资的收益率。,解：,2）线性插值法,设y=f(i)，在区间（i1，i2）近似呈线性变化。 且：f(i1)0，f(i0)=0,.,.,i1,i0,i2,f(i1),f(i2),y,0,x,斜率相等,例：某人现在投资500元，第一年末投资300元，第二年末再投资150元，这样在第四年末将积累到1，300元，求i,解：500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2=1300 令： f(i)=500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2-1300,由试算得：,f(0.1)=12.85=f(i2) f(0.09)=-27.49=f(i1) 由线性插值法得：,3）迭代法,多次运用线性插值法。 例：用迭代法求上例，要求精确度达到小数点后5位。,解:上例中,f(i)=500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2-1300 第一次近似： f(0.0968)=-0.1604=f(i1) 试算： f(0.0969)=0.2447=f(i2),由线性插值法得：,时间问题的求解,1）解析式,2）72规则,。,3）加权算术平均公式,设在时间t1 ，t2 ，t3tn 分别需要偿还金额x1 ，x2 ，x3xn；如果他希望一次还清总贷款(x1+x2+x3+xn)。 求还款的时间。,。,近似公式,。,。,习题,1、假设累积函数a(t)=at2+b，如果期初的100元在3年末可以累积到172元，试计算在第6年初投资100元，在第10年末可以累积到多少元？ 2、如果A(t)=100+5t，试计算i5。 3、如果A(t)=100(1.1)t，试计算i5。 4、已知投资3 000元在两年后的利息是158元，试计算以相同的复利利率投资，起初的3 000元在3年半的利息。,5、第n年末的1元和第2n年末的1元在起初的现值之和为1元，试计算(1+i)2n是多少？,6、如果每季度接转一次利息的年名义利率为6%，试计算200元本金在3年零4个月末的值。 7、如果i(m)=0.179 988 9,d(m)=0.173 734 8试 确定m为多大？ 8、当常数利息力为多大时，等价于每月接转一次利息的年名义利率6%。 9、如果 内等价的年实际利率。,10、如果投资者愿意立即投资3 000元，并在第3年末追加一笔投资，希望在第5年末和第6年末个获得5 000元，假设i(4)=5%，试确定投资者应该在第3年末追加多少投资？,11、有两笔金额均为3 000元的资金，如果一笔按6%的实际利率投资，另一笔按4%的实际利率投资，试计算经过多长时间以后，前者的累积值是后者的2倍。 12、一项贷款的年实际利率为5%，原来的还款计划是：第1年末偿还5 000元，第2年末偿还6 000元，地4年末再偿还5 000元正好还清。如果借款人