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第3章 动量和动量守恒,3-1 质点和质点系的动量定理 3-2 动量守恒定律 3-3 火箭飞行原理 3-4 质心 质心运动定理,力(力矩）对时间的积累效应,力(力矩）对空间的积累效应,研究,- 动量定理,- 动能定理(第4、5章）,- 角动量定理（第5章）,对质点：,(1),力的冲量：,单位:牛顿.秒,3-1 质点和质点系的动量定理,一. 力的冲量,过程量，反映力的时间积累效应。,矢量, 方向沿动量增量的方向。,特点：,平均冲力的概念：,二. 质点的动量定理,由牛顿第二定律,合力的冲量,动量的增量,作用于质点的合力的冲量等于质点动量的增量 -质点的动量定理,积分形式,微分形式,动量定理是牛顿第二定律变形，但又不同于 牛顿第二定律（瞬时作用规律）。,积分形式,微分形式,分量式,船行“八面风”,逆风行舟,与水的阻力相平衡,为船前进的推动力,风,例：圆锥摆运动 当质点从a 点绕行半周到b点，求此过程中重力、绳中张力的冲量。,解：重力的冲量（恒力的冲量）,要求张力的冲量（变力的冲量）,用动量定理,计算冲量举例,三. 质点系的动量定理,质点系: 由相互作用的若干质点组成的系统。,内力 : 质点系内质点之间的相互作用力。,外力 : 质点系外 其它物体对质点系内 质点的作用力。,两个质点 组成的质点系的动量变化:,对第1个质点,对第2个质点,两式相加,由牛III:,两式相加,:质点 i 所受系统以外的合力，,：质点 i 受质点 j 的内力，,：质点 i 的动量。,推广到更多质点的系统：,对质点 i ：,对质点系：,一对内力抵消,即有,记作:,对质点系：,积分形式,微分形式,系统内力之和,由牛III：,质点系的动量定理：作用于质点系的合外力的冲量等于系统动量的增量。,质点系动量定理是牛III的必然推论。,用质点系动量定理处理问题可避开复杂的内力。,内力能使系统内各个质点的动量发生改变，,但对系统的总动量不产生任何影响。,动量定理只适用于惯性系。,内力不影响系统总动量,说明,特别注意:,3、当内力 外力时，动量近似守恒。例如碰撞和爆炸。,1、只适用于惯性系。,2、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量守恒。,3-2 动量守恒定律,若合外力为 0， 即,质点系的动量定理,或,说明,4 、动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定律，,宏观和微观领域均适用。(例：中微子的发现）,常用的分量式：,若,若,若,例3-1 水平光滑铁轨上有一车，长度为l，质量为m2，车的一端有一人（包括所骑自行车），质量为m1，人和车原来都静止不动。当人从车的一端运动到另一端时，人、车各移动了多少距离？,解：以人、车为系统， 在水平方向动量守恒。 建立如图所示的坐标系，有 M1v1+m2（-v2)=0 或 v2=m1v1/m2 人相对于车的速度 u=v1-(-v2)=(m1+m2)v1/m2 设人在时间t 内从车的一端走到另一端，则有,在这段时间内人相对于地面的位移为,小车相对于地面的位移为,如图所示，两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运动，B的速度为u ，从B上以6kg/s的速率将水抽至A上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻 t 时，A车的质量为M，速度为v 。,选A车M和t时间内抽至A车的水m为研究系统，水平方向上动量守恒,解:,例3-2,求: t时刻 ，A 的瞬时加速度,例3-3. 质量为 M 的人拿着质量为 m 的物体跳远，起跳速度为 v0 , 仰角为。到最高点时，此人将手中的物体以相对速率 u 水平向后抛出。 问跳远成绩因此而增加多少？,解:,当达到最大高度时，抛出 m 相对地的速度为 v-u,速度增量,增加的距离：,由水平方向动量守恒：,得,而,故,3-3 火箭飞行原理,-变质量问题,粘附 主体的质量增加（如滚雪球） 抛射 主体的质量减少（如火箭发射） 还有另一类变质量问题是在高速（v c）情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可以改变 随速度变化 m = m(v)，这是相对论情形，不在本节讨论之列。,变质量问题（低速，v c）有两类：,下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。,一. 单级火箭,以 t 时刻火箭和其中尚存的燃料为研究对象,经过 dt 时间，火箭喷出质量为 dm 的气体， 其喷出速度相对火箭为定值 u ,t +dt 时刻:,喷出气体的质量等于火箭质量的减少量，,对地的速度为,(1),选地面作参考系,剩余质量为,对地速度为,(2),略去二阶小量,称为喷气速度,动量守恒,选正向,t 时刻: 火箭+燃料=M,或者,设火箭点火时质量为 Mi，初速度为 vi , 燃料烧完后质量为 Mf , 末速度为 vf ，,对上式积分，则有,火箭增加的速度,1.,化学燃料最大 u 值为,实际上只是这个理论值的50% .,这个 u 值比带电粒子在电场作用下获得的速度 3108 m/s 小得多 , 由此引起人们对离子火箭 , 光子火箭的遐想. 可惜它们喷出的物质太少, 从而推动力太小 即所需加速过程太长 .,初速为0时,提高 v 的途径：,2.,这对燃料的携带来说不合适,用多级火箭避免可这一困难,二 . 多级火箭,设各级火箭的质量比为 N1 , N2 , Nn ,各级火箭的喷气速度为 u1 , u2 , un ,各级火箭的速度增量为 v1 , v2 , vn ,则多级火箭发射后的最终速度为,若为三级火箭，且u1=u2=u3=u ,则：,t +dt时刻：速度 v u， 动量dm(v u),三. 火箭所受的推力,研究对象：喷出气体 dm,t 时刻： 速度v (和主体速度相同)，,动量 vdm,喷出气体所受推力,由动量定理，dt内喷出气体所受冲量,F箭对气dt = dm(v u) vdm = udm,由此得火箭所受燃气的反推力为,资料：长征三号（3级大型运载火箭） 全长：43.25m， 最大直径：3.35m， 起飞质量：202吨，起飞推力：280吨力。,中国长征系列火箭,1、引入,质心与质量分布有关的一个代表点，它的位置在平均意义上代表质量分布的中心。,3-4 质心 质心运动定理,一. 质心,板上点C的运动轨迹是抛物线,其余点的运动=随点C的平动+绕点C的转动,2、质心位置,m1,mi,m2,c,质量离散分布的物体,质量连续分布的物体,说明： 1）尺寸不太大的物体 质心与重心重合 2）质量均匀分布,形状对称的物体, 质心在几何中心, 例1. 地球 - 月亮系统的质心, 例2. 弯成半圆形的一段铁丝的质心,物体的质心一定在物体上吗？,质心是以质量为权重的“平均位矢”,3）质心位矢,与坐标系的选择有关。,但质心相对于质点系内各质点的相对位置与坐标系选择无关，它是质点系本身一个特定位置。,二.质心运动定理,由质心位矢,对时间求一阶和二阶导数可得,质心速度,质心加速度,质点系的动量是质点系内各质点的动量的矢量和,将质点系总动量对时间求导，得出质点系所受到的合外力为,即,2. 当物体只作平动时，质心运动代表整个物体的运动。,说明：,3. 只有外力才能改变质心的运动状态。质点系的 内力不能改变质心的运动状态.,作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积-质心运动定理,1.质心的运动可看成一个质点的运动（质量与合外力集中在质心上）,质点系的质心仍按质点的运动规律 作抛物运动. 请讨论下面问题：,炮弹爆炸,抛出鎯头,例如 设有一质量为2m的弹丸,从地面斜抛出去,它飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直自由下落，另一个水平抛出，它们同时落地问第二个碎片落地点在何处?,提示 选弹丸为一系统，爆炸前、后质心运动轨迹不变 建立图示坐标系，,xC为弹丸碎片落地时 质心离原点的距离,常矢量,三.动量守恒与质心的运动,同理，若,分动量守恒；,质点系动量守恒和质心匀速运动等价！,光滑冰面上匀速运动的钣手,质点系,求：船相对岸移动的距离 d =？（设船与水之间的 摩擦可以忽略）,【解】,方法一：,质心法。,系统：人与船,水平方向：不受外力,所以质心始终静止。,例3-4 质量M=200千克、长 l =4米 的木船 浮在 静止的水面上，一质量为m=50千克 的人站在船尾。若人从船尾走到船头，,得,x方向：,（负号表示什么？）,位移,（相同）,设 ， 如图，从船尾走到船头需时T,【解】 ：地面参考系，对(m+M),代入相对运动关系：,得,例3-5 已知：M,m,L,各接触面光滑 初始静止 求： m自顶滑到底， M的位移,而,例3-6一长为l、密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为 将其卷成一堆放在地面 若手提链条的一端，以匀速v 将其上提当一端被提离地面高度为 y时，求手的提力,解 : 建立图示坐标系,链条质心的坐标yc是变化的,考虑到,而,由质心运动定律