2019届高三数学备考冲刺140分问题23利用方程思想求解数列问题（含解析）.docx

问题23 利用方程思想求解数列问题一、考情分析数列与以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知识都有广泛的联系，方程（组）思想在数列学习过程中得以较为充分的体现，数列中的绝大部分计算题都可看作方程应用题，特别是求数列中的基本量都可转化为关于基本量的方程或方程组. 二、经验分享(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(3)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解(4) 为使问题有确定的解应使变量个数与方程组的个数相等 三、知识拓展在列方程时除了利用等差等比数列的通项公式及前n项和公式，有时还要用到以下结论：(1)在等差数列中anam(nm)d(n，mN*)若klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列(2)在等比数列中anamqnm(n，mN*)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.四、题型分析(一) 方程思想在等差数列中的应用【例1.】已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a3，S510，则a9的值是_【分析】列出关于a1与d的方程组，求出a1与d，再求a9.【解析】设等差数列an的公差为d，由题意可得，解得则a9a18d48320.【点评】数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算.因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法. 或解得或p5，q4，pq9，故选D.【小试牛刀】【山东济南外国语学校2019届1月模拟】已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和( )A B C D【答案】A【解析】等差数列an的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，（a1+4）2（a1+2）（a1+10），解得a11，an的前n项和Snn+n2nn22nn（n2）故选A (四) 构造一元二次方程求解数列问题【例5】已知等差数列满足，则的取值范围是 【分析】构造关于的一元二次方程【点评】含有双变量的等式可看作关于其中一个变量的方程，利用方程思想求解【小试牛刀】已知数列为正项的递增等比数列，记数列的前n项和为，则使不等式2018成立的最大正整数n的值为（ ）A5 B6 C7 D8【答案】B【解析】设正项的递增等比数列an的公比为q1，a1+a582，a2a481a1a5，所以是方程，解方程得a11，a581q481，解得q3an3n1数列的前n项和为Tn2223（1）则不等式化为：20181，即3n201836729，372187使不等式成立的最大正整数的值为6故选B五、迁移运用1【山东济南2019届期末】已知等差数列的前项和为，若，则该数列的公差为( )A-2 B2 C-3 D3【答案】B【解析】由题意可得： 5d25，解得d2故选B 2.【甘肃、青海、宁夏2019届期末联考】设等比数列的前项和为 ，若，则 A-60 B-40 C20 D40 【答案】B3.【广东揭阳2019届模拟】记等比数列的前项和为，已知，且公比，则=( )A-2 B2 C-8 D-2或-8【答案】C【解析】依题意，解得，故，故选C.4.【湖北宜昌2019届元1月调研】等比数列的前项和为，若，则公比（ ）A1 B-1 C D-2【答案】C【解析】当q=1时满足，当时，由，得，整理的 ，所以q=-1，综上得q=，故选C。5.【浙江台州2019届期末】已知公差不为零的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（ ）A B C D【答案】A6.【山东济南2019届1月模拟】已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和( )A B C D【答案】A【解析】等差数列an的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，（a1+4）2（a1+2）（a1+10），解得a11，an的前n项和Snn+n2nn22nn（n2）故选A7.【黑龙江哈尔滨师大附中2019届期末】已知等差数列满足：，且，成等比数列，则数列的前项和为（ ）A B C或 D或【答案】C【解析】设等差数列an的公差为d，a12，且a1，a2，a5成等比数列a1a5，即（2+d）22（2+4d），整理得，解得d0或4an2，或an2+4（n1）4n2 当d0时，数列an的前n项和为2n；当d4时，则数列an的前n项和为2n2n2故选C8.【山东济南外国语学校2019届1月模拟】九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等。问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。这个问题中，戊所得为（ ）A 钱 B钱 C 钱 D 钱【答案】B【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2d，由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，即a2d+ada+a+d+