计算方法作业参考答案不断更新.docx

第一次作业1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，指出他们有几位有效数字，并写出绝对误差限。解： ，有5位有效数字，绝对误差限为； ，有2位有效数字，绝对误差限为； ；有4位有效数字，绝对误差限为； ；有5位有效数字，绝对误差限为； ；有1位有效数字，绝对误差限为； ；有4位有效数字，绝对误差限为。2. 要使的近似值的相对误差限小于，要取几位有效数字？解：由于，设要取位有效数字，则根据定理1.1.1，有，解得，即要取4位有效数字。3. 序列满足递推关系若，计算到时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？解：，由于有3位有效数字，且，所以的绝对误差限为，因此的绝对误差限为。很明显这个计算过程不是数值稳定的。作业中出现的问题：第一题：主要是第五个数，不知道它有几位有效数字，很多同学认为有5或者6位有效数字，这是不对的，进而算错绝对误差限。另外有个别同学分不清有效数字的概念，六个数的有效数字都弄错了。第二题：主要是算错，不知道该取3还是4。第三题：没有什么大的问题。有个别同学一个数一个数的算出来了，这是不可取的。直接迭代误差就行了。附：地物1301班和1302班有几个同学花名册上没有名单，我添加上去了。第二次作业1. 利用二分法求方程在2,3内根的近似值，并指出误差。解：，当时，则在2,3上有且只有一个根。取，;取，;取，;取，;故可取根的近似值为;误差|。2.证明方程在0,1内有一个根，使用二分法求误差不大于的根需要二分区间多少次？解：令，故，且，故在0,1内有唯一的根。设需要二分区间次，则有，故需要二分区间14次。3.为求方程在附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：(1)，迭代公式;(2)，迭代公式;(3)，迭代公式。试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。解：设，则，所以方程在1.4，1.5上有根。(1)，当时，所以迭代格式收敛。(2)，当时，所以迭代格式收敛。(3)，当时，所以迭代格式发散。选择迭代格式(2)，.计算到，具有四位有效数字。作业中出现的问题：第一题：有的同学没有讨论根的存在唯一性，再就是没有二分足够的次数或者分的次数太多，另外不会利用误差公式来计算误差。第二题：没有什么大问题，有部分同学算的时候没有减一，导致结果是15次。第三题：有的同学选取的区间不对（太大），导致分析收敛性的出错，其次是有的同学利用迭代公式(1)计算，这样计算的很慢，很繁琐，推荐使用迭代公式(2)计算比较好，另外计算的时候，没有分清什么是有效数字，导致计算结果不对。第三次作业1. 求方程在附近的一个根，试分析三种迭代公式的收敛性：(1)，迭代公式;(2)，迭代公式;(3)，迭代公式。解：设，则，所以方程在1.4，1.5上有根。(1)，当时，所以迭代格式收敛。(2)，当时，所以迭代格式收敛。(3)，当时，所以迭代格式发散。选择迭代格式(2)，.计算到，具有四位有效数字。2. 应用牛顿法解方程，导出求立方根的近似公式。解：令，则为方程的根，且，则求的牛顿迭代公式为。当时，取，通过计算可得，取四位有效数字所以。3. 利用割线法求在附近的一个根，取，保留四位有效数字。解：令，初值，利用公式进行迭代：综上，在附近实根精确到四位有效数字的近似值为1.879。作业中出现的问题：第一题：没有什么大问题。第二题：没有什么大问题，有个别同学迭代公式写错了，导致结果出错。第三题：主要要是四位有效数字，有很多同学都计算错了。迭代公式基本没错。第四次作业1. 在三处的值是容易求得的，试以这三点建立的抛物插值公式，并近似求之值，且给出误差估计。解：先给出线性插值函数：接着利用这三个插值函数构造抛物插值公式：则我们可以得到的近似值： 下面给出误差估计：其中2.已知函数表1.12751.15031.17351.19720.11910.139540.159320.17903应用Lagrange插值多项式计算的近似值。解： 则有作业中出现的问题：第一题：没有什么大问题，只是有个别同学计算错误。另外计算误差的时候，有个别同学算的挺离谱的，还有就是不必计算到4阶导数值，误差公式得记得。第二题：没有什么大问题，有个别同学只用了两个插值函数。少数同学计算错误。第五次作业1.若，问：解：由差商性质可得2. 已知函数表：1.6151.6341.7021.8281.9212.414502.464592.652713.030353.34066构造出差商表，并利用Newton插值多项式计算在处的值。解：由给定的数据做差商表如下：一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1.6152.414501.6342.464592.636321.7022.652712.766471.495981.8283.030352.997141.18902-1.441131.9213.340663.336671.550371.259068.82415则Newton插值多项式为则， 3. 给定函数表：1.001.051.101.151.201.001.2576251.5310001.8208752.12800试利用Newton向前插值公式计算在处的值。解：由给定的数据做差分表如下：1.001.001.051.2576250.2576251.101.5310000.2733750.015751.151.8208750.2898750.016500.000751.202.128000.3071250.017250.000750则Newton向前插值公式为则4. 设有某实验数据如下：1.361.491.731.811.952.162.282.4814.09415.06916.84417.37818.43519.94920.96322.495试用最小二乘法分别求一次及二次多项式曲线拟合以上数据。解：（1）假设，利用数据计算以下和式：，则有则有近似一次多项式为（2） 假设，利用数据计算以下和式：，可得方程组：求解可得：则有近似二次多项式为作业中出现的问题：第一题：没有什么大问题，会利用公式就行了。第二题：没有什么大问