高考数学复习指导：三角函数.doc

海量资料 超值下载三角函数内容要求ABC基本初等函数(三角函数)、三角恒等变换三角函数的有关概念同角三角函数的基本关系式正弦函数、余弦函数的诱导公式正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y=Asin(x+)的图象与性质两角和(差)的正弦、余弦及正切二倍角的正弦、余弦及正切解三角形正弦定理、余弦定理及其应用1. 本章在考试说明中大部分都是B级要求,所以我们要明确三角函数是高考考查的重点(如2012年19分,2013年35分,2014年19分),但又不是高考考查的难点所在.结合近几年江苏高考试题来看,本章复习的问题难度必须控制,为中低档题.三角函数是一种重要的初等函数,它与数学的其他知识点如解析几何、立体几何及向量、导数等有着广泛的联系,新课标重点突出其作为“描述周期现象的重要数学模型”.按照这样的定位和江苏高考说明要求,我们要更多地关注三角函数的思想性和工具性,随时准备将三角函数与其他知识点进行综合(例如江苏2011年第15题与解三角形,2012年第15题与向量,2013年第15题与向量),但综合性不要过强,不必作复杂的三角恒等变换和化简运算(控制在“三公式、五步”).2. 因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,所以应加强对三角函数的图象与性质的考查,而不是人为地加大难度和强调技巧.目前高考对三角部分的考查,旨在引导学生更重视夯实基础、强化基本功(例如江苏2012年的第11、15题,2013年第1、15题,2014年第15题),不要在技巧性上做太多的文章,应更着力于理解函数的图象和性质,从而能够更好地发挥三角函数的工具作用.3. “两角和(差)的正弦、余弦和正切” 是C级要求,要重视“两角和(差)的正弦、余弦和正切”公式在三角公式中的基础和“龙头”作用,重视由它出发对其他公式的推导,并理解公式之间的关系;另一方面,三角恒等式的证明未必会考(近五年江苏高考都没有考),但将题目条件中的有关式子进行适当的整理、化简、变形后以利于更好地解决简单的综合题,应该是重中之重,因为第一步的正确性直接关系到整道题目能否顺利、正确地解决,这一点在全国各地的高考试卷中均有相当明显的体现,所以“两角和(差)的正弦、余弦和正切” 这个C级要求务必要引起足够的重视,此C级要求与其特例“二倍角的正弦、余弦和正切”B级要求的熟练和准确必须强化训练到位.4. 解三角形是B级要求,出题可大可小(如江苏2011年第15题2013年第18题、2014年第14题),难度中等偏上,还不一定考(如江苏2012年未考),此处应在强化基本功后进行灵活运用,以应对可能出现的难度改变和应用问题.这一部分的内容,总体来说具有“多、活”的特点,对此要采取行之有效的对策,力求化繁为简.1. 公式很多.要避免“公式多就不知道怎样选用,或是随便乱用”的倾向,抓住基本公式并弄清公式间的相互联系和推导过程,识别公式的结构特点和其中蕴含的内在规律,是记住并熟练正确使用这些公式的关键.例如两角和与差的正、余弦的展开式中的函数名称、符号特点,务必逐个分清和全面掌握.2. 思想丰富.等价转化、数形结合、分类讨论和函数方程的思想贯穿于本单元的始终,合情推理、演绎推理的思维方法在本单元中也得到了充分的应用.如将任意角的三角函数的问题化归为锐角的三角函数的问题,将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题,将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等,所有这些体现了转化思想,应深刻理解、熟练掌握转化的目的和方向、方法,从而更好地理解化繁为简(如化杂多为统一)的数学本质.又如,课程标准强调“发挥单位圆的作用”,因为“单位圆可以帮助学生直观地认识任意角的三角函数,理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系以及三角函数的图象和性质”,体现了数形结合思想的优越性.3. 变换灵活.三角中的变换有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等,并且有的变换技巧性较强.在具体变换时必须注意:研究函数时应遵循“定义域优先”的原则,即三角函数务必“角优先”.4. 应用广泛.三角函数与数学中的其他知识的结合点非常多,它是研究解三角形、立体几何、解析几何及向量等问题的重要工具,并且这部分知识在今后的学习和研究中有十分重要的应用.高考中重点考查的三角函数知识:(1)与三角函数周期性、单调性有关的问题;(2)与三角函数图象有关的问题;(3)应用三角公式(包括同角三角函数关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式等)求三角函数值恒等变形等问题.第25课时任意角的三角函数内容要求ABC三角函数的概念1. 这部分内容定为B级要求,它是整个三角函数知识体系的出发点.本课时基本概念、基本公式特别集中,三角函数的定义、判断三角函数值的符号、特殊角的三角函数值等必须理解并熟记.2. 要善于“看图识性”,充分利用“单位圆”这个载体,了解任意角和弧度的概念,理解任意角的三角函数定义及取值情况,如用正弦线等可以形象直观表示任意角三角函数的大小、变化等,从而更好地理解三角函数的单调性、周期性、取值范围.1. 一条射线绕着它的端点旋转,按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,一条射线没有作任何旋转时,把它看成一个角,叫做零角.2. (1) 终边与已知角终边相同(的终边在终边所在射线上)=+2k (kZ); (2) 终边与已知角终边关于x轴对称=-+2k (kZ);(3) 终边与已知角终边关于y轴对称=-+2k (kZ);(4) 终边在x轴上的角可表示为=k, kZ;(5) 终边在y轴上的角可表示为=k+, kZ.3. 弧长公式:l=|R,扇形面积公式:S=lR=|R2.4. 设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x, y), 它到原点的距离|OP|=r0.(1) 正弦sin=,其定义域是R,在第一、二象限及y轴非负半轴为正,在第三、四象限及y轴非正半轴为负,在x轴上为零.(2) 余弦cos=,其定义域是R,在第一、四象限及x轴非负半轴为正,在第二、三象限及x轴非正半轴为负,在y轴上为零.(3) 正切tan=,其定义域是|+k, kZ,在第一、三象限内为正,第二、四象限为负,在x轴上为零,y轴上没有意义.注(1) 正弦函数、余弦函数、正切函数是以角为自变量、比值为函数值的函数,统称为三角函数;(2) 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关.5. 三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系是什么?答正弦纵坐标、余弦横坐标、正切纵坐标与横坐标之比.注三角函数线的特征:正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A(1, 0)处(起点是A)”.1. -是第三象限的角.2. 函数y=的定义域为x2k+x2k+, kZ.3. 半径为2的圆上长为2的弧所对的圆心角为1弧度.4. 的终边与的终边关于直线y=x对称,则=2k+, kZ.5. 已知costan0时,sin=, cos=, tan=2;当a0时,sin=-, cos=-, tan=2.反思本例比课本上例题多了不确定因素,需要分类讨论.拓展1. 已知角的终边上一点P(-, m),且sin=,求cos, sin的值.解由题设知x=-, y=m,所以r2=|OP|2=(-)2+m2,得r=,从而sin=,解得m=0或8=3+m2m=.当m=0时,r=, x=-, 故cos=-1, tan=0;当m=时,r=2, x=-, 故cos=-, tan=-;当m=-时,r=2, x=-, 故cos=-, tan=.提醒注意分析题目中的条件,当含有不确定因素时,切记要分类讨论.2. 已知角的终边落在直线y=2x上,求的正弦、余弦、正切函数值.(答案:与例1相同)2. 判断角所在的象限例2若为第三象限角,则所在象限是.点拨将角表示成=k360+, kZ(180270)的形式,则=k180+, kZ,再对k分奇数和偶数进行讨论来确定所在象限为第二或第四象限.略解第二或第四象限.反思也可由k360+180k360+270得k180+90k180+135(kZ),再将k分奇偶性讨论.拓展已知sincos0, sintan0,那么, 2, 90-分别是第几象限角?(答案:是第一或第三象限角;2是第三、四象限角或的终边落在y轴负半轴;90-的终边在第四象限)提醒判断三角函数值的符号的口诀:“一二三四、全stc”(“s”即“sin”、“t” 即“tan”、“c”即“cos”).符号千万不能错.3. 利用三角函数线确定角的范围或三角函数值的范围例3(1) 若-,确定sin的范围;(2) 若3090或900).(1) 由得或(舍去). =;(2) 扇形的面积S=lR=(8-2R)R=-(R-2)2+4(0R4).当且仅当R=2时S取最大值4,此时l=8-2R=4, =2.第26课时同角三角函数的基本关系式及诱导公式内容要求ABC同角三角函数的基本关系式正弦函数、余弦函数的诱导公式1. 同角三角函数的基本关系式定为B级要求,它在研究三角函数的性质及恒等式变换中有着最基本和最重要的意义.公式在求值、化简以及证明恒等式三方面的初步应用,本节将会有所强化,但注意不要进行繁复的公式变形,重点在于理解、运用同角三角函数关系中的基本量方法、相互联系转化的思想.2. 正弦函数、余弦函数的诱导公式也定为B级要求.要重视诱导公式的作用:把任意角的三角函数一步步地转化为锐角的三角函数,这里充分体现了化归的数学思想.1. 同角三角函数的基本关系式:sin2+cos2=1和tan=.2. 诱导公式:角函数值2k+(kZ)-+-+正弦余弦正切公式一公式二公式三公式四公式五公式六答角函数值2k+(kZ)-+-+正弦sin-sinsin-sincoscos余弦coscos-cos-cossin-sin正切tan-tan-tantan-公式一公式二公式三公式四公式五公式六3. 三角函数诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变(对k而言,指k取奇数或偶数),符号看象限(考察原来的函数,同时看把当成锐角时+所在的象限).注诱导公式的应用主要是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1) 负角变正角,再写成2k+, 02;(2) 转化为锐角三角函数.1. 设函数f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=-9.2. 计算:cos300=.3. 已知是第二象限的角,tan=-,则cos=-.4. 已知cos=,则cos=.5. (2012辽宁卷)已知sin-cos=, (0, ),则tan=-1.6. “x=2k+(kZ)”是“tanx=1”成立的充分不必要条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)1. 运用诱导公式化简例1化简:.点拨式子的特点是含有较多的角,故要减少角的个数.解sin(2-)=sin(-)=-sin, tan(3-)=tan(-)=-tan,tan(-)=tan(-+)=-tan,原式=1.反思本题采用的策略是将容易出错的部分分别化简.角的变换是三角变换中最基本的变换.提醒(1) 运用诱导公式时符号经常出错,必须熟练、准确.(2) 化简的实质是恒等变形,化简的结果应尽可能简洁.具体地说,应该满足:涉及的三角函数名称较少;表达形式较简单;特殊角的三角函数应求出它们的值.拓展已知sin=,求的值.答案:2. 运用同角三角函数的关系式求值例2已知tan=3,求的值.点拨设法将其转化为关于tan的代数式.解原式=.反思本题所求式是关于sin, cos的齐次式.一般可以化成关于tan的分式(即分子分母同除以tan或tan2).拓展1. 已知tan=3,求的值.(答案:-3)2. (根据2009年辽宁卷改编)已知tan=2,则sin2+sincos-2cos2=.3. 证明三角恒等式例3求证:=.点拨一右边只含正切,左边是正、余弦,而“切化弦”是常用的消除名称差异的方法.证法一右边=左边.反思“切化弦”后,一切变形似乎都显得顺理成章,抓住函数名称的转化是关键.点拨二实际上所证等式两边都可利用公式直接化简,以求得到相同的结果.证法二左边=,右边=,则左边=右边.点拨三先比较两边的复杂程度,左边比右边复杂,因而采用从左推右的思路.再比较两边函数的名称,左边只含正、余弦,右边只含有正切,因而决定将“弦”化“切”. 注意“1”的代换,逆向应用了sin2+cos2=1.证法三左边=右边.反思(1) 将不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法,充分体现了化复杂为简单、化生疏为熟悉、化未知为已知的化归思想;(2) “左推右,右推左,两边推出同结果”是证明三角恒等式的三大途径;(3) 这里利用了(sin+cos)2=1+2sincos.提醒要注意灵活运用公式:正向、逆向和变形使用.1. 由一个角的三角函数值求其他三角函数值时要注意“知一求二”,这体现了数学中的“基本量思想”,求值时还要注意角的范围引起的符号问题.2. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中,要明确化简的目的及所使用公式的允许取值范围.这里要注意体会、运用转化思想,尽量将不同角化成同角、不同名的化成同名的三角函数.1. (根据必修4P19例1改编)求值:(1)sin960=-;(2)cos=-; (3) tan=1.2. (根据必修4P23习题1.2第10题改编)化简:(1) =cos40;(2) +=.3. (根据必修4P23习题1.2第15题改编)已知sin=,求sin-x+sin2-x的值.4. (根据必修4P22练习第3题改编)化简:(nZ).答案: 当n=2k, kZ时,原式=; 当n=2k+1, kZ时,原式=-反思关键是注意题中的整数n是表示的整数倍,必须把n分成奇数和偶数两种类型,分别加以讨论.5. (根据必修4P23习题1.2第18题改编)(1)已知sin+cos=,求sin-cos和tan的值;(答案:sin-cos=0, tan=1)(2) 已知sincos=, ,求sin+cos, sin-cos的值.答案:sin+cos=, sin-cos=第27课时两角和(差)的三角函数内容要求ABC两角和(差)的正弦、余弦及正切注意此处的教学要求为C级,必须要引起足够的重视.首先,两角和(差)的正弦、余弦及正切是三角恒等变换的基础和核心,后续的二倍角等公式实际是两角和(差)的特例;其次,高考并不一定会考三角恒等式的证明(近五年的江苏省高考试卷就说明了这一点),在这里重要的是强化三角恒等变换的能力,弱化公式的机械记忆;最后,用三角变换研究较复杂函数的性质,更易体现“在知识的交汇点处命题”这一高考命题的基本思想,这样的题目更显得活泼、有生气,这一点在20082013年的各地高考试卷中均有相当明显的反映.1. 两角和的正弦公式:sin(+)=sincos+cossin,两角差的正弦公式:sin(-)=sincos-cossin.2. 两角和的余弦公式:cos(+)=coscos-sinsin,两角差的余弦公式:cos(-)=coscos+sinsin.3. 两角和的正切公式:tan(+)=,两角差的正切公式:tan(-)=.4. 图示两角和(差)的正弦、余弦和正切的推导过程.答S(+)C(+)S(-)C(-)T(+)T(-)5. 将sin+cos化成Asin(+)的形式为sin,将sin-cos化成Asin(+)的形式为2sin,将asin+bcos化成Asin(+)的形式为sin(+).1. cos43sin13+sin43cos167的值为-.2. 已知tan=4, tan=3,则tan(+)=- .3. 在ABC中,sinA=, cosB=,则cosC=.4. 已知sin=, sin=,则tanx=-7.5. 已知, cos(-)=, sin(+)=-,则sin2的值为-.1. 两角和(差)的正弦、余弦和正切与同角三角函数基本关系的简单综合例1已知, 均为锐角,sin=, tan(-)=-.(1) 求sin(-);(2) 求cos.点拨对于第(1)题,将切化弦,列方程组求解;对于第(2)题,将转化为-(-),利用两角差的余弦公式求解.解(1) , , -.又tan(-)=-0, -0. 解得sin(-)=-, cos(-)=.(2) 由(1)可得cos(-)=. 为锐角,sin=, cos=, cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=.反思分清已知与未知,注意角的范围.拓展已知tan=2, tan=.(1) 求tan的值;(2) 求的值.解(1) tan=tan=;(2) =tan(-)=.提醒注意“角优先”的原则,首先确定好已知角和未知角之间的关系,同时密切关注角的取值范围和函数名称之间的联系.2. 利用两角和(差)的正弦、余弦和正切求值例2求值:.点拨观察角度之间的关系,抓住这一关系:20=15+5.解原式=-=-2-.反思“角优先”的变换原则在此体现,注意只变20, 15、 5不动.拓展求值:.解原式=.提醒仍然是“角优先”的原则,先确定好角和角之间的关系,同时与特殊角产生有效联系.3. 利用两角和(差)的正弦、余弦和正切求角例3(1) 已知cos=, cos(-)=,且0,求的值;(2) 若0, 0,且tan=, tan=,求+的值.点拨对于第(1)题,=-(-),通过配角将要求的角用已知的角表示.解(1) =-(-),0, -, sin=, sin(-)=, sin=sin-(-)=.又, =.(2) tan(+)=1.又0+, +=.反思“配角”是三角变换求值的一种重要手段.拓展已知锐角, , 满足sin+sin=sin, cos-cos=cos,求-的值.点拨注意题目的目标是求-的值,结合条件sin+sin=sin, cos-cos=cos,先将条件变形为sin-sin=-sin, cos-cos=cos,再由两角差的余弦公式及2+2求解,另外要注意-自身的范围.解 sin+sin=sin, sin-sin=-sin0, sinsin, .同理cos-cos=cos, cos-cos=cos.2+2:1+1-2cos(-)=1, cos(-)=. 0, -0, -=-.反思除了“角优先”的原则和公式的熟练程度,提前预判角度的范围也是相当重要的.4. 利用两角和(差)的正弦、余弦和正切解决有关最值问题例4已知函数f(x)=sin+cos, xR.(1) 求f(x)的最小正周期和最小值;(2) 已知cos(-)=, cos(+)=-, 0,求证:f()2-2=0.解(1) f(x)=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin=sinx-cosx=2sin, f(x)的最小正周期T=2,最小值f(x)min=-2.(2) 由已知得coscos+sinsin=,coscos-sinsin=-,两式相加得2coscos=0.因为0sin+sin; sin(+)cos+cos; cos(+)sin+sin; cos(+)cos+cos.4. (根据必修4P97例5改编)=.5. (根据必修4P101例1改编)设, , tan, tan是一元二次方程x2+3x+4=0的两个根,则+=-.第28课时二倍角的三角函数内容要求ABC二倍角的正弦、余弦及正切此处的考试要求为B级,不仅要从二倍角公式的来源去深刻理解,即当=2时,就是的二倍角(凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式,“倍角”的意义是相对的),而且要熟练运用公式进行化简、求值及证明,更重要的是利用二倍角的正弦、余弦、正切公式将已知条件化简为利于研究函数性质的解析式,从而更好地将函数的图象和性质加以充分的运用,这个重要的方面在近几年各地的高考中均有相当明显的反映,结合本课时后续例题可以更深刻地体会.从两角和与差的正弦、余弦、正切公式到二倍角公式的推导体系如下:(1) sin(+)=sincos+cossinsin2=2sincos.(2) cos(+)=coscos-sinsincos2=cos2-sin2 =2cos2-1 =1-2sin2cos2=,sin2=.(3) tan(+)=tan2=.1. 1-2sin222.5=.2. 若tan=3,则的值等于6.3. 已知tan=2,则的值为.4. =2.5. (2012年江苏卷)设为锐角,若cos=,则sin的值为.1. 由单位圆坐标利用基本概念、公式求三角函数值及角度(例1)例1如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角, ,它们的终边分别与单位圆相交于A, B两点,已知A, B的横坐标分别为, .(1) 求tan(+)的值; (2) 求+2的值.点拨先用三角函数的基本概念求出, 的三角函数值,再用同角三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式求解.解由条件得cos=, cos=. , 为锐角, sin=, sin=. tan=7, tan=.(1) tan(+)=-3;(2) tan2=, tan(+2)=-1. , 为锐角, 0+20,且cos=sin-0,故在第二象限,于是sin=,从而cos=sin-=-.以下同解法一.提醒要根据角与角之间的关系合理选用最合适的公式来简化解题过程.3. 利用公式化简、证明例3化简:+点拨利用正弦、余弦的二倍角公式先升幂,再约分,最后通分化到最简.解原式=+=+=-=-=-.反思本题也可先通分,再约分.拓展求证:=.略证原式等价于=.左边=tan2=右边. 原式得证.提醒注意“升幂”“降次”的使用.4. 利用公式将解析式化简求值例4已知, tan+=-.(1) 求的值;(2) 求的值.解将条件化为3tan2+10tan+3=0, tan=-3或-.又, tan=-.(1) 原式=-;(2) 原式=-.拓展已知, -0, tan=-,tan=-,求2+的值.解 , 2(, 2),又 tan2=-0, 2.又(-, 0), tan0, , 2+(, 2).又 tan(2+)=-1, 2+=.1. 解三角函数题的基本思路和关键是善于观察已知式和欲求式的差异,注意角之间的联系即“角优先”的原则,从而选择合适的公式或简便的变形思路.寻找条件和结论之间的差异和联系是解题的根本思路,而消除角的差异则是解三角函数题的关键.2. 关于“升幂”、“降次”的应用:在二倍角公式中,“升次”、“降次”与角的变化是相对的.在解题中应视题目的具体情况灵活运用.1. (根据必修4P32练习第6题改编)若, sin2=,则sin=.2. (根据必修4P115复习题第1(2)题改编)若sin+cos=,则sin2的值是-.3. (根据必修4P115复习题第1, 4题改编)若=-,则cos+sin的值为.(第4题)4. (根据必修4P109习题3.2第10题改编)2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,那么cos2的值等于.5. (根据必修4P109习题3.2第2题改编)化简:(1) ;(2) ;(3) +.解(1) 原式=sin20;(2) 原式=cos20-sin20=sin25;(3) 原式=|sin2-cos2|+=sin2-cos2-2cos2=sin2-3cos2.第29课时三角函数的化简、求值与证明三角函数的化简、求值在近年来江苏高考中一般以容易题或中档题的面目出现,恒等式证明近几年均未直接考查,估计今后几年考查的可能性也很小,因为三角函数更多地被视为中学数学的基础与工具,常与解三角形和应用问题(如2010年、2011年江苏高考)、向量(如2012年、2013年江苏高考)等结合在一起,命制出一些“小综合题”.图示各公式间的内在联系:1. 如果tan(+)=, tan=,那么tan的值是.2. 已知0且cos=-, sin-=, 则cos(+)=-.3. 若,且sin2+cos2=,则tan=.4. 设sin=,则sin2=-.5. 已知角 的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2=-.6. 已知锐角, 满足cos(+)=sin(-),则tan=1.1. 利用角的变换进行三角恒等变换例1已知0, sin=, cos=,求sin(+)的值.点拨式子的特点是含有不同角的三角函数值.寻找待求式与已知式之间的关系,特别是角的关系是基本思路.解 sin=sin=, cos=. 0, +, sin=. , -0, cos=, sin=-, sin(+)=sin=sincos-cossin=-=.反思(1) 三角函数是以“角”为变量的函数,解题时要注意观察题目中有无互余的角、互补的角、两角和、差、倍角等关系存在,寻找出它们在角上的差异;然后通过“变角”寻找已知式与待求式之间的关系,利用相关的三角公式使问题获解.(2) 角变换是三角恒等变换的首选方法.(3) 一般地,常用的“角”变换:=(+)-, =+,2=(+)-(-)=-,-=(+)-(-),15=45-30等.拓展1. 若,cos=,则sin=.2. 已知sin=,则=.略解认真观察题目中的条件与结论,可以发现+=,所以cos=sin=,又2=-2x,所以sin2x=cos2=1-2sin2=.原式易求. 3. 已知5sin=3sin(-2),求证:tan(-)+4tan=0.略解条件角为, -2,而目标角为-和,为了实现目标,我们可将条件角用目标角表示:=(-)+, -2=(-)-.于是由已知得5sin(-)+=3sin(-)-,化简即得证.提醒角的变换是第一位的.2. 利用三角恒等变换求值例2求值:-sin10.点拨此题的特点是“切弦同存”,先“切化弦”,注意到题目中所涉及的角均为非特殊角,因此考虑用和(差)角公式将其变为特殊角,或约分,或相消.解原式=-sin10=-sin10=-=-2cos10=.反思(1) 在同一个三角表达式中出现较多三角函数名称时,往往需要异名化同名.“切化弦”是常用的消除名称差异的方法.(2) 当“切弦同存”时,一般是先“切化弦”,通分,然后再利用三角恒等变换公式进行化简或求值.这也是转化思想的体现.函数名称的统一是实现转化、沟通的基础.拓展1. 已知tan=2,则的值=.略解注意到sin2-3sincos+4cos2是关于sin,cos的二次齐次式,可以转化成关于tan的式子. tan=2, cos0, 原式=. 2. 已知=,则tan的值=2.提醒关于sin, cos的齐次式与tan的式子可以互相转化.可与第29课时例2拓展联系.拓展已知0x,化简:lg+lg-lg(1+sin2x).解原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0.3. 利用三角恒等变换证明例3求证:8sin4=cos4-4cos2+3.点拨等式左边次数为 4次,右边为1次,利用二倍角公式cos2=1-2sin2=2cos2-1将右边升幂.证明右边=2cos22-1-4(1-2sin2)+3=2(1-2sin2)2-1-4+8sin2+3=2-8sin2+8sin4-1-4+8sin2+3=8sin4=左边.原命题得证.反思证明基本方法:化繁为简法、左右归一法、变更命题法.证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的差异与联系.4. 利用三角恒等变换求最值例4求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值.点拨此函数最值不易直接由三角函数的有界性等求解,可考虑换元将函数结构变形求解.解令t=sinx+cosx,则sinxcosx=, t-, , y=+t=(t+1)2-1, 当t=时,y最大=+.反思这里利用了(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx.要注意的是函数结构变形要保持等价性,即进行恒等变换.在进行换元变换时要保证新变量的范围与原来的保持一致.拓展已知-x0, sinx+cosx=.(1) 求sin2x和cosx-sinx的值;(2) 求的值.提醒注意角度的取值范围.三角函数的化简、计算、证明等恒等变形的基本思路和技巧是“一角二名三结构”.即首先观