多元函数的基本概念11.ppt

作,业,P 62,习题9-1: 1(3, 5), 5(2, 4, 6), 6(1,3,5)，7(1),8,高数A,推广,第九章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法及其应用,第九章,第一节,一、区域,二、二元函数的概念,三、二元函数的极限,四、二元函数的连续性,多元函数的基本概念,一、 区域,1. 邻域,点集,称为点 P0 的邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,。,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,2. 区域,(1) 内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P :, 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E,则称 P 为 E 的内点；,则称 P 为 E 的外点 ;,则称 P 为 E的边界点 .,的外点 ,显然, E 的内点必属于 E ,E 的外点必不属于 E ,E 的,边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .,E的边界点的全体称为E的边界，记为,(2) 聚点、孤立点,若对任意给定的 ,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点 ,则,称 P 是 E 的聚点., 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E,(因为聚点可以为,孤立点 ：,E 的边界点 ), 内点一定是聚点；,说明：,设点PE如果存在点P 的去心邻域, 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0) 是聚点但不属于集合,边界上的点都是聚点也都属于集合,再如：设平面点集 满足 一切点(x,y)都是E的内点；满足 的一切点(x,y)都是E的边界点，它们都不属于E；满足 的一切点(x,y)也是E的边界点，它们都属于E；点集E以及它的边界 上的一切点都是E的聚点.,(3) 开区域及闭区域, 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；, 若点集 E E , 则称 E 为闭集；, 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通的 ;, 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;,。 。, 整个平面,是最大的开域 ,也是最大的闭域；,例如，在平面上,开区域,闭区域, 点集,是开集，,但非区域 .,有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得 ，其中O是坐标原点，则称E为有界集.,无界集：一个集合若非有界集，就称为无界集.,例如，集合 是有界闭区域; 集合 是无界开区域； 集合 是无界闭区域.,包括部分边界在内的区域称为半开区域.如果区域延伸到无穷远处，称为无界区域，否则称为有界区域.,3. n 维空间,n 元有序数组,的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素,称为空间中的,称为该点的第 k 个坐标 .,记作,即,一个点,当所有坐标,称该元素为,中的零元,记作,O .,设x=(x1,x2,xn)，y=(y1,y2,yn)为Rn中任意两个元素 ，规定,n维空间中的线性运算,的距离记作,规定为,与零元 O 的距离为,设 如果 则称变元经x在 中趋于固定元a ，记作,在n维空间 中定义了距离以后，就可以定义 中变元的极限：,中点 a 的 邻域为,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,二、多元函数的概念,引例:, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强, 三角形面积的海伦公式,f 称为对应规则或函数，f ( x , y ) 称为 f 在点 ( x , y ) 处的函数值。,函数值的全体所构成的集合称为函数 f 的值域，记作,函数与选用的记号无关，如,则称 f 是 D 上的二元函数, 记为,1、二元函数的定义,把定义1中的平面点集D换成n维空间 内的点集D，映射 就称为定义在D上的n元函数，通常记为,变元 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.,也可记为,或简记为,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,2、二元函数的几何意义：,设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上的某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)，在空间可以作出一点M(x,y,f(x,y)与它对应；当点P(x,y)在D中变动时，点M(x,y,f(x,y)就在空间作相应地变动，它的轨迹是一个曲面.,例如, 二元函数,定义域为,圆域,图形为中心在原点的上半球面.,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,一元函数极限回顾：,二元函数的极限：,如果在 的过程中,f (x, y ) 无限接近一个确定常数 A ，就称 A 是 f (x, y ),当 时的极限，记为,三、多元函数的极限,定义2 设函数,的定义域为D,P0 是 D 的聚点,则称 A 为函数,若存在常数 A ,当,记作,对任意正数 , 总存在正数 ,也即,都有,或,说明：,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,（1）定义中 的方式比 的方式复杂的多,不同于二次极限,说明：,(4)不研究函数在P0(x0 ,y0)处的状态，仅研究点 (方式任意)的过程中，函数f(x,y)的变化趋势.所以，定义规定函数z=f(x,y)在点P0(x0 ,y0)的某个邻域内有定义，不要求函数在点P0(x0 ,y0)有定义.,(5)极限值A应是一个确定的常数，它与P(x,y)趋近P0(x0,y0)的方式无关.也就是说：P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时，函数都无限接近于A.,相同点,多元函数和一元函数极限的概念的相同点和差异,一元函数在某点的极限存在的充要,?,定义相同.,不同点,必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋,而多元函数,于P0时,条件是左右极限都存在且相等;,都有极限,且相等.,例2. 设,求证：,证:,故,总有,要证,例3. 设,求证：,证：,故,总有,要证,例4. 求极限,解,其中,例 5. 考察函数,在(0,0)处的极限.,(3)当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时,例5. 考察函数,在(0,0)处的极限.,证,例6 . 证明 不存在,（2）取,此时，仍不能确定极限是否存在,（1） P ( x , y ) 沿 x 轴趋于 ( 0 , 0 )，,此时 y = 0 , x 0,例6. 证明 不存在,证,（3）取,极限值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的常用方法：,求二元函数极限（重极限）常用的方法：,（1）用定义验证其存在或不存在；,（2）利用适当放缩或变量代换转化为一元函数 的极限，再用一元函数中已有的方法；,（3）消去分子分母中极限为0的因子；,（4）利用极限运算性质或法则，例如夹逼准则 （与一元函数相似）； （5）利用函数的连续性,解：,例7：求极限,例 8. 求:,解：,例9：求极限,例如,解（1）对任意的,是否可以把极限,理解为:,先求,?,的极限,再求,的极限;,或者,先求,的极限,再求,的极限,研究,有,有,同理:,(2) 再来分析当点(x, y)沿过原点的直线,因此,不存在.,趋向于,有,时,由此看出:,累次极限与二重极限有本质区别,注意： 是指 P 以任何方式趋于P0 .,一元中,多元中,四、 多元函数的连续性,定义3 . 设 n 元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,如果存在,否则称为不连续,此时,称为间断点 .,则称 n 元函数,连续.,连续,二元函数的连续性,定义4. 设二元函数 f(P)=f(x,y)的定义域为D， 为D的聚点，且 .如果,则称函数f(x,y)在点P0(x0 ,y0)处连续，否则称为间断.,如果函数z=f(x,y)在定义域D上每一点都连续，则称函数z=f(x,y)在定义域D上连续，或者称f(x,y)是D上的连续函数.,二元函数在点P0(x0 ,y0)处的连续，要求有以下三个条件成立，即：,(1)函数z=f(x ,y)在点P0(x0 ,y0)的某个邻域内有定义，且在点P0(x0 ,y0)处也有定义.,(2)函数z=f(x,y)在点P0(x0 ,y0)有极限.,(3)函数z=f(x ,y) 在点P0(x0 ,y0)处的极限值等于该点 函数值，即：,例如, 函数,在点(0 , 0) 极限不存在,又如, 函数,上间断.,故 ( 0, 0 )为其间断点.,在聚点圆周,其定义域为,其定义域为整个平面，(0 , 0) 为其聚点,的不连续点,若在D内某些个别点,没有定义,或沿D内某些曲线,但在D内其余部分,都有定义,则在这些点或这些曲线,上,即间断点.,函数,都是函数,二元连续函数的图形是一片无裂缝无点洞的曲面,结论：,如果函数 f ( P ) 在 D 的每一点都连续，则称 函数 f ( P ) 在 D 上连续，或者称 f ( P ) 是 D 上的 连续函数。,多元初等函数：由常数及不同自变量表达的一元基 本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构 成的可用一个式子表示的多元函数。,（3）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,关于多元函数连续性的说明,一切一元基本初等函数，作为一个二元或二元以上 的多元函数时，在其定义域内都是连续的。,（4）利用多元函数的连续性可计算在连续点处的极限。,（1）,（2）,例10. 证明,在全平面连续.,证:,为初等函数 , 故连续.,又,故函数在全平面连续 .,由夹逼准则得,例,解,定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则,* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致连续性定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(证明略),内容小结,1. 区域,邻域 :,区域,连通的开集