n维空间在自然界的体现与发展.doc

n维空间在自然界的体现与发展张 展 明摘 要：四维空间及以上，属于高维模型。对三维空间的人来说，四维世界是很神秘的概念。正像生活在二维世界里遐想的人只能前后左右的活动没有上下的概念，所以是很难想象三维世界，我们同样难于想象四维世界，甚至更高维。本文通过简述介绍我们所熟悉的二维和三维环境，沿着前人的脚步慢慢走向四维，和更高维，在最后还给了四维立方体模型，和一些让人充满想象空间的高维中心图形和投影图。关键词：四维空间；高维中心图；投影图引言 拿出一张纸,在纸上画两条相互垂直的直线,根据平面几何无法在纸上画出第三条与这两条直线相垂直的直线。从纸上看,无法画出第三条垂直的直线,因为纸在这里做了二维的平面,平面只有两条维,就是纸上画的那两条相垂直的直线。当把纸当成一个实体时,就可以发现了第三条维其实是穿透这张纸,与纸的平面垂直的。用一根笔芯或一根针,穿过那两条垂直线的交叉点,并且放正。这时这根针就同时与那两条直线相垂直了，这就是第三维,在纸上永远不可能画出的第三维!而在纸上的第三维就是一个点,不管这根针有多长,在纸上立着的也就一个点。通过这个实验可推广到对第四维的探索。数学家、画家、科学家、唯心论者、神秘主义者和哲学家们纷纷讨论如何理解高维，数学以抽象方式建立了高维的椭圆几何学。一、预备知识平方反比引力定律：苹果落地使牛顿发现了万有引力定理，两个点质量之间的引力是与成反比，这里r是他们在空间的距离,如果用m1、m2表示两个物体的质量,r表示它们间的距离，则物体间相互吸引力为F=（Gm1m2）/，G称为万有引力常数。 自然界的四种基本力：万有引力，电磁相互作用力，弱相互作用力，强相互作用力。二、我们生活在三维空间众所周知我们生活在三维空间，在一个多层综合楼安排会见某人，如果你要确保在相同时间和地点会见，你需要给他四条信息。你必须具体说明你要会见的时间、楼层和在该楼层两个相交的走道：一条时间信息和三条空间信息。少了任何一条，你可能会见不到人；增加其中更多的信息将成为累赘。这些数字表明我们生活在一个宇宙中，它有一维的时间和三维的空间。正八面体展开图正十二面体展开图正二十面体展开图正六面体展开图正四面体展开图在19世纪初, 伊曼努尔康德向自己提出一个以前从未有人提出的问题：“为什么空间是三维的？”牛顿著名的平方反比的引力定律与空间是三维的这一事实有紧密联系。如果空间有四维，那么引力就与距离的立方成反比关系。一般说来一个N维的世界，其引力将随距离的（N-1）次方下降。康德用这样的观测结果向自己“证明”，由于牛顿的平方反比的引力存在，空间必定是三维的。如果引力定律为距离的立方反比，而不是平方反比。那么，结果应是宇宙具有不同的维度四维。不同维度的世界之间存在巨大的差异。最简单的一种是二维空间的闭合曲线，它将世界分成内部和外部。在多于二维的空间里，路径会以极其复杂的方式蜿蜒曲折伸展，而不会相交。这说明当我们从二维进到三维和更高维度时，事情总会变得更加复杂。但是并非必然如此，当我们从二维走进三维空间时，会发生某些奇怪的事。在二维有无数的正多边形，但只有五个正多面体：正四面体，立方体，正八面体，正十二面体，正二十面体下面这是在三维空间的五个正多面体：创造这类立体需要的对称性时很有要求的，且只有很少数形状能在三维空间相配合而成。左面是这五种正多边形的展开图，他们仅由正三角形，正方形和正五边形组成。 正四面体立方体正二十面体正八面体正十二面体仔细观察这些立体图和它们的展开图可以发现：要组成正多面体的条件是至少有三个面共点并两两共棱，但是当这样的三个面交于一点的内角和等于360度时就变成了平面，那将无法构成三维空间中的正多面体，若交于一点的三个内角和大于360度将不能使它们两两共棱则也无法构成正多面体。如：三个两两共棱的正三角形交于一点的三个内角的和为度，所以三角形能构成正多面体；三个两两共棱的正方形交于一点的三个内角的和为度，所以正方形也能构成正多面体；正五边形的内角和为度，它的一个内角为度，三个两两共棱的正五边形交于一点的三个内角的和为度，所以正五边形也能构成正多面体；正六边形的内角和是720度，它的每个内角是120度，此时，当三个正六边形两两共一条棱时，共点的内角和是360度，构成了一个平面，不能组成正多面体。正七边形、正八边形这样的正多边形都无法做到三个面两两共棱。所以，在三维空间中能够构成正多面体的平面图形只有正三角形、正方形和正五边形。进一步的可以得到这个结论：当几个两两共棱的正多边形交于一点且共点的所有内角和大于或等于度时就无法构成正多面体。例如：三个两两共棱的正三角形交于一点的内角和是度，小于度，就组成了正四面体；四个两两共棱的正三角形交于一点的内角的和是度，小于度，组成了正八面体；五个两两共棱的正三角形交于一点的内角的和是度，小于度，构成了正二十面体；当六个两两共棱的正三角形共点时它们共点的内角和是度，就构成了平面，当多于六个正三角形共点时它们便无法两两共棱，所以都不能构成正多面体。正方形的一个内角是度，三个两两共棱的正方形交于一点的内角的和是度，小于度，就组成了正六面体，当四个两两共棱的正方形交于一点的内角的和是度，多于四个时无法两两共棱，也都不能构成正多面体。正五边形的一个内角是度，当它的三个内角两两共棱且共点时，共点的三个内角之和是度小于度，所以构成了正十二面体，当四个正五边形共点时它们共点的内角之和是度大于了度无法做到两两共棱，所以不能构成正多面体。因此，在三维空间中只存在五个正多面体：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体。在现实生活中有很多地方是可以看到这些三维图形的：金字塔整体形状就是正四面体（锥形）的，而钻石的分子结构也是正四面体，盐的分子结构是正六面体，在建筑顶上使用的八托架，其结构由正四面体和正八面体交替设置构成，这样的顶很轻便结实。我们日常见到的足球是由正二十面体截角得到的截角正二十面体。值得注意的是正二十面体由20个正三角形和12个顶点构成，30条棱构成。而由正二十面体得到的截角二十面体由60个顶点，90个棱角，12个正五边形和20个正六边形构成。碳60的分子结构也是截角正二十面体，具有很强的耐高温、耐高压特性，结构非常稳定。在19世纪有个行骗高手，他宣称有通道去其他维的空间，所以他能完成“不可能的”事迹：解开绳环的结，将左螺旋的东西变成右螺旋形的，将物体从球形玻璃容器内无须穿过球表面移到球外。将一个由绳子围成的圆环平放在桌子上，中间围着一块糖。如果要始终保持糖块与桌子的平坦的二维接触，不碰到绳子，这个糖块就无法移除绳环。但如果糖块能通过第三维，这件事就容易做到，只要将糖块升高，并在绳子圆圈外面把它放下来。将右螺旋线圈平放在桌子上，无法靠它在桌面上的二维世界四处移动，使它变成左螺旋形的线圈，但是如果通过第三维对它翻转，那就很容易改变其螺旋形。考虑从二维跳进三维的情形来设计通过第四维送入送出客体的实验。某些科学家在1877年进行了一些简单控制的实验来检验行骗者是否能将客体送进送出第四维：给两个完好的木环，无须将环掰开把他们相互扣住。将一右旋的蜗牛转变为左旋的蜗牛壳。在一闭合的绳环中打一个结，而不割断绳子。在一绳子上打上一个右手结，封在一容器内，不拆封解开结，并在绳子上打一个左手结。移出封在瓶里的物件，无须打开瓶子。移走瓶内物件或解开结的唯一方法是通过进入更高维空间。但他未能在控制条件下成功地完成这些拓扑学挑战的事迹，并最终由法庭定为欺骗罪。物理学定理有多少方面强烈地依赖于空间的维数。根据康德的关于引理的平方反比定理与空间维数之间的关系的见解，如果世界是三维的，行星围绕中心质量（如太阳）在稳定的轨道上运动才是唯一可能的。不 可 预 测0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0不可预测不可预测空间的维数时间的维数我们在这里只有超光速粒子只有在三维空间中，波在自由空间中行进才不会有畸变或混响。如果空间的维度是偶数（2、4、6），那么一个波形扰动的不同部分将以不同的速度进行。结果，若波的发射是连续的，在接收器处就会有混响：在不同时间离开的波会在同一时间到达。艾伦菲斯特可能是对三维世界的物理学上的唯一性作出更完整和更深入的案例研究的人。不稳定太简单不稳定1955年英国的宇宙学家杰拉尔德会特罗第一次阐述空间维数和存在有生命的观测者之间直接的人类学家上的联系。提出问题：“为什么我们观测的宇宙拥有三维？”他通过论证有思维的观察者只可能存在于三维世界，试图提供一种新型的答案。其论点是在二维世界中神经细胞之间的联系不可避免地相交会使复杂的神经网络产生短路。许多科学家曾探索过具有不同维数的空间和时间的宇宙的可能性。正如当我们考虑空间为其他维数和时间为一维的宇宙一样，我们可假设大自然的定律保持相同的数字形式，但容许空间和时间的维数可自由变动遍及一切可能。这个情况可总结成左上图。 包括了一切可能性棋盘由于是加了少量合理的条件限制可能会急剧地减少这些可能性，而这些条件似乎很可能对信息处理、记忆，因而对“生命”的存在是必要的。如果要求由现在来决定未来，那么我们就要消除棋盘板上所有这些标着“不可预测的”区域。如果要有稳定的原子沿着围绕恒星的物体（行星）的稳定的轨道一起存在，那么必须删去标着“不稳定”的条块。删去其中只有比光快的信号的世界，留给我们的是空间加时间维数为3+1的我们自己的世界。额外时间维度的总效应是造成复杂结构的高度不稳定，除非它们在极端低温度的条件下被冻结。如果另一个宇宙的科学家知道我们的定律，但不知道我们居住的宇宙的维数，他们也能单独从我们存在的事实导出空间维数。三、很多问题和现象无法解释粒子的下面是什么？众所周知，物质是由原子组成，而原子由原子核和电子组成，原子核又由质子和中子组成，质子和中子又由夸克组成。那么，夸克和电子又是由什么构成的呢？科学家发现，夸克和电子都不可再分了，似乎是没有内部结构的点粒子，因此把它们称为基本粒子。基本粒子是一切物质的基本单元，就像英语里的“字母”一样。质子和中子也是基本粒子，一切比原子核更简单的物质都可以称为基本粒子。但是，已知的基本粒子并不仅仅是夸克和电子两种，而是多达数百种，而且，每一种基本粒子都有它们的反粒子。我们现在把所有的基本粒子分为三大类，通常称为 “族”：轻子族，包括电子、中微子等；夸克族，包括上夸克、下夸克、粲夸克、奇异夸克、顶夸克和底夸克这六种夸克和各自的反夸克；媒介粒子族，包括光子、胶子等。非常奇怪的是，除了夸克和电子外，大部分基本粒子都不组成更大的物质结构，例如，中微子总是在宇宙中独来独往，不与其它物质发生相互作用；媒介粒子则只在其它粒子间传递力的作用；还有很多粒子像介子、超子等都极不稳定，通常在极短时间内衰变成其它粒子。自然界的四种力的来源是不一样的。引力源于物体质量的相互吸引，两个有质量的物体间就存在引力，物体的质量越大，引力就越大。电磁力是由粒子的电荷产生的，一个粒子可以带正电荷，或者带负电荷，同性电荷相斥，异性电荷相吸。如果一个粒子不带电荷，则不受电磁力的影响，不会感受到排斥力和吸引力强力主要是把夸克结合在一起的力，所以也叫核力。像电磁力一样，也起源于电荷，不过只是夸克间的电荷，物理学家称之为“颜色电荷”。弱力的作用是改变粒子而不对粒子产生推和拉的效应，像核聚变和核裂变这两个过程都是受弱力支配的。相四种力的对强度以及作用范围都有着巨大的区别。从相对强度上来说，假定以电磁力的强度为一个单位强度，则强力要比这个单位大出100倍，弱力只有 1/1000，引力小到几乎是可以忽略不计的：在微观世界中，它只有电磁力的10的40次方分之一！从作用范围上来说，引力的作用范围是宇宙范围的；电磁力的作用范围在理论上可以达到无限远，但实际上，大多数物体正负电荷相互抵消，其外部都呈电中性；而强力和弱力的作用范围则极小，只能在粒子范围内发生作用。这四种强弱悬殊、性质各异的基本力，完全控制了我们的宇宙。为什么有四种基本力？为什么不是五种、三种或者一种？这四种力为什么如此不同？为什么强力和弱力只能在微观尺度上发挥作用，而引力和电磁力却具有无限的作用范围？还有，为什么这些力的固有强度会有那么大的差别？光既是粒子，又是波。波需要在媒介里传播，真空里空空如也，光怎样通过它呢？超弦理论认为，不存在粒子，只有弦这四种强弱悬殊、性质各异的基本力，完全控制了我们的宇宙。为什么有四种基本力？为什么不是五种、三种或者一种？这四种力为什么如此不同？为什么强力和弱力只能在微观尺度上发挥作用，而引力和电磁力却具有无限的作用范围？还有，为什么这些力的固有强度会有那么大的差别？在空间运动，各种不同的粒子只不过是弦的不同振动模式而已。自然界中所发生的一切相互作用，所有的物质和能量，都可以用弦的分裂和结合来解释。最为奇特的是，弦并不是在平常的三维空间运动，而是在我们无法想象的高维空间运动。我们过去关于空间的观念都是错误的，空间正在以一种陌生得令人惊讶的方式活动着。四、有更多维的存在如果我们认识的所有数字因子都有几何学上的缘由，例如，一个边长R的立方体的体积是，10 20 30 40 50 6035302520151050空间维数N表面面积10 20 30 40 50 606543210空间维数N体积而半径为R的球体积是/3。现在想象在N为空间中的“球”。数学家们能容易地算出这类球的面积和体积是多少。很显然，半径R地N维球的面积为A（N），应正比于，而他的体积V（N）正比于，但根本不明白像“4”或“4/3”类似的数字会是什么。这些公式见上图这个值得注意的特征是，随着空间维数增加以致数字因子增大。他们并不按增长，他们按的方式增长。很简单，这额外的空间维度是极端微小的，而且是圆环形的（圆周长约厘米），所以他的存在不被感知。我们在三维空间中看到的大自然的精细结构常数取的数值是有额外维度的大小控制的。维数注定是不平等的：可能存在多于三维的空间，但如果他们要避免改变我们所经历的世界特点，他们必须是小的和不可改变的。空间的额外维度在范围上必定比我们熟悉的三维小得多。看看通过增加更多维度是否有可能将大自然的强作用力和弱作用力与电磁力和引力结合起来。如果这个思想行得通，那么描述这些力的强度的大自然的常数应由各个可负责的维度的大小来决定。如果额外的空间的维度的尺寸是R，那么三维的精细结构“常数”的数值，当R变化时，将按1/成正比例变化。想象我们正处在不断膨胀的四维宇宙中，但我们只能在三维周围运动。电学和磁学的力能“看见”所有的四维，我们发现他们中属于我们的三维部分，当第四维变大时这部时间尺度所有维度膨胀其他维度静态三个维度膨胀分将减弱。这向我们显示任何第四维一定与其他维度很不相同。第四维应该是非常小又处于静态。某些额外的力设陷阱捕住额外的维度，并使这些维度保持在细小程度。如果他们的尺寸没有显著变化，我们就不需要去看我们的任何常数在今天是否变化。一个可能能的情景设想是这样的：宇宙一开始就具有所有它的维度，以平等的方式运转，但后来某些维度受到陷阱约束，并保持静态，以及从那时以后一直是细小的，正好剩下三个维度要变大，不断疯长变成我们今天观测到的天文学的宇宙（见左上图）。打个比方：一只蚂蚁在一张纸上行走，它只能向右或向左，向前或向后走。对它来说高与低均无意义，这就是说，第3维的空间是存在的，但没有被蚂蚁所认识。尽管有这么多的维，但这些维是看不见的，它们自身卷在了一起，被称为压缩的维。为了弄清这种看法，让我们再以蚂蚁为例展开我们的想像。我们可以设想一下，将蚂蚁在上面行走的那张纸卷起来，直到卷成一个圆筒形。如果蚂蚁沿着的纸壁走，最后它又会回到出发点，这就是压缩维的一个例子。五、超立方体 对三维空间的人类来说，四维世界是很神秘的概念。正像在平面上行走的蚂蚁很难想象三维世界一样，我们同样难于想象四维世界。不过也正像我们可以通过研究三维物体在二维物体上的投影来研究想象三维物体一样，我们也可以通过四维物体在三维世界中的立体图形投影来研究四维世界。一个三维立方体当被投影时显示平面图形三维立方体在平面内的投影是一个二维的正方形，一个四维立方体在平面内的投影是一个 三维的立体图。四维立方体模型用解析几何的方法，采用坐标来表示超立方体：单位正方形的坐标：（0，0），（0，1），（1，0）（1，1）单位正方体的坐标：（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（0，1，1），（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）那么N维空间中的点用N维行向量来表示（X1，X2，Xn)非退化的N维方体每个坐标分量Xi有两个不同的取值。如前两例单位方体的Xi取0和1，那么很显然N个不同的坐标分量不同的取法就等于2的N次方。那么四维超正方体的顶点：（），（）下面看一个四维立方体图：零维的点沿第一个方向移动到点，路径为一维的线段。一维的线段沿第二个方向移动到线段，路径为二维的正方形。二维的正方形沿第三个方向移动到正方形，路径为三维的立方体。同样类推：三维的立方体沿第四个方向移动到立方体，路径为四维的超立方体-。我们把一个边长为2的正方形划分成4个小正方形，每个小正方形里作一个内切圆，然后在原来的大正方形中间作一个同时外切于这4个圆的小圆（阴影部分）。我们把这个小圆叫做“中心圆”。怎么来求这个中心圆的半径？仔细观察其中一个小正方形，思路就出来了：中心圆变成了一个90度扇形，它的中心位于单位正方形的一角，并且外切于直径为1的圆。可以看到扇形半径加上圆的半径等于单位正方形对角线的一半，这样我们就得出，中心圆的半径等于(-1)/2。对于一个立方体同样如此。我们把立方体切成8个小立方体，得到的8个球体中间夹住的那个中心球半径就应该为(-1)/2。你会发现一个惊人的事实，在超立方体中，位于16个四维球体间的中心球半径为(