探索与研究问题的解题策略.doc

肁莂蒇螅羇莁薀羀羃莀螂袃节荿蒂蚆膈莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅蒆蒈蚂膄蒅薀袈肀蒄蚃蚁肆蒃蒂羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃蒀葿羃罿膆薁螅袅膅蚄羁膃膄莃螄腿膄薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆膀薂蚃肂艿蚅衿羈芈莄蚁袄芈蒆袇节芇虿蚀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅莂莅羂肁莂蒇螅羇莁薀羀羃莀螂袃节荿蒂蚆膈莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅蒆蒈蚂膄蒅薀袈肀蒄蚃蚁肆蒃蒂羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃蒀葿羃罿膆薁螅袅膅蚄羁膃膄莃螄腿膄薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆膀薂蚃肂艿蚅衿羈芈莄蚁袄芈蒆袇节芇虿蚀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅莂莅羂肁莂蒇螅羇莁薀羀羃莀螂袃节荿蒂蚆膈莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅蒆蒈蚂膄蒅薀袈肀蒄蚃蚁肆蒃蒂羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃蒀葿羃罿膆薁螅袅膅蚄羁膃膄莃螄腿膄薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆膀薂蚃肂艿蚅衿羈芈莄蚁袄芈蒆袇节芇虿蚀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅莂莅羂肁莂蒇螅羇莁薀羀羃莀螂袃节荿蒂蚆膈莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅蒆蒈蚂膄蒅薀袈肀蒄蚃蚁肆蒃蒂羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃蒀葿羃罿膆薁螅袅 探索与研究问题的解题策略探究与研究是指运用学过的知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等方法，对问题进行探索和分析或进行研究性学习。一、探究条件：此类问题是给出命题的结论，寻求该结论成立的条件。例1、 设实数满足什么条件时，不等式的解集是？解：设，先确定的取值范围。依题意，上的增函数。从而亦是上的增函数。故是上的增函数.要使的解集为只需，即：得，因此，满足的关系式为 ：。说明：这是一个探索不等式结论成立的条件问题，对于此类问题一方面要注意不等式与函数知识的联系，特别是通过研究函数的性质：如定义域,值域或单调性等，最后达到正确解出不等式的目的;另一方面注意逆推法的运用、执果索因，等价递进。例2、已知双曲线（1）设双曲线上任意一点的横坐标为，O为坐标原点，试用表示线段OP的长度；（2）过双曲线右焦点的动直线交双曲线于A，B两点，当满足什么关系时，存在直线，使三角形OAB为等边三角形。解1)设是双曲线上的任意一点则有2）设满足题意的由第1）问得：要使为等边，则：。即（舍去），则轴。有又说明：此题是探求图中为正成立的条件，而需要成为正，可以满足，特别要提醒的是若选择求长的运算则较繁.解题时如何切入题目要选择适当的入口，一方面可以从条件去分析，另一方面也可以利用第1）问的结论。此题中运用了第1）问的结论来解题，显得简捷、快速。因此在探索各种不同的数学问题时，筛选信息是避免盲目解题的重要一步,也是有效提高学习能力的重要环节.二、探究结论：给出命题的条件，探求在此条件成立的前提下问题的结论。例3、已知函数值域为，那么函数的一个解析式可以是 。解：，又从已知条件中值域可以取到而取不到，则可以判断必取负值，因此：= 等。说明：此题的答案是开放的，但其本质规律要抓住，即必须符合例4：等差数列中,公差是自然数,等比数列 中,;1）试找出一个值,使中所有项都是中的项,并给出简单说明;2）试找出一个值,使中的项,有不是中的项,并给出简单说明;，3）探索取怎样的自然数时, 的所有项都是中的项,而且当不取这样的自然数时, 中必有不是中的项,写出并证明你的结论.解：1）取 2）取 3）取d为正偶数，则 取d为正奇数，则证明：设，则,即说明：通过探索从具体情形出发的例子，全面深刻地分析各种情形时结论成立的形式，然后上升到一般问题的概括，这是从特殊到一般方法的应用。三、判断存在：给出题目开放式的提法，要求判断问题的呈现方式是否成立，这其中有问题是否有解，条件和结论是否存在等。例5、是否存在等差数列，使得对于一切正整数都有成立，其中为数列的前项和。解：假设存在等差数列，使，分别取得由（1）得1）当 若 若 故所得数列不符合题意.2)当代入得或,若则从而成立,若,则,从而成立.综合上述，共有3个满足条件的等差数列： 说明：本题是一道探索型题,它的结论没有明确给出，需要自行探索.求解.此类问题一般可以先假定结论存在，然后用一些特殊的值代入所要满足的等式，并从中求出所需要确定的数或式是否存在.此题也可以把转化为含的恒等式，然后由待定系数求出末知数。例6、已知抛物线的弦AB过焦点F，1） 若轴，M为抛物线准线与X轴交点，求的大小；2） 若焦点弦AB斜率为（常数），则能否在抛物线准线上找到一点M使1)中大小不变。解：解：1）设AB与X轴交于C，由抛物线的定义得， 在直角 2）设过焦点的弦AB方程为： 得，设该方程两根为， 又 则：令：，即故在抛物线准线上找到一点。说明：要判断是否在抛物线准线上存在一点M，使，可转化为两斜率的乘积为-1的数量关系来研究，它就是一个转化与化归的过程.解析几何题中常转化为方程，函数及不等式等问题进行解决。本题还可以建立以AB长为半径，AB的中点为圆心的圆，然后验证该圆的圆心到抛物线的准线长等于半径。从而得证抛物线准线上存在一点使.四、探究规律：从已知条件出发，结合所学的数学知识和方法，探求问题中某种稳定不变的特性。例7、已知定义在N上的函数（1） 试写出函数的一个性质；（2） 若的值。解：（1）由已知得： 于是 因此函数具有的性质可以是： 为周期等于6的周期函数。（2）由已知由（1）的结论及知，故说明：第（1）题也可以先设再根据 从而猜想为周期等于6的周期函数，探索出函数的性质，然后加以证明。五、判断真假：对照数学中的概念、公式、定理、方法等，来判断问题提法中的正确与错误。往往正确的命题要给出严格的证明，错误的提法要举出反例。例8、已知在探索的取值时，某同学的解答为：解： 因为，所以的最大值为对上述解答，你的评价是 。分析：当上式不等式取等号时，有，此时与已知条件矛盾。因此学生解答出错，原因是不等式等号取不到另解：由题设得；记，当时，在上是增函数，所以的最小值为，。当时，；当时， 在上是减函数，所以的最小值为。综上所述，的最小值是。六、研究性学习： 数学中的研究性学习，主要是指会从数学的角度发现问题和提出问题，并主动进行探索、研究和解决。例9、在抛物线中，过顶点作两直线交抛物线于两点，且，连交轴于点，则为定点。试把上述命题推广到一般情形，提出同类似的问题，（应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？解：1）设直线交抛物线于两点，代入，得：，又， 。故则或（舍去）即点坐标为。（2）问题：在抛物线中，过顶点作两直线交抛物线于两点，且，连交轴于点，则为定点。，故或（舍去），因为定值，故为定值，从而为定值。说明：通过前面问题的解答，也就尝试用方程的方法可求出连线与轴所交的定点坐标，它的本质是由求出，如果将其该结构的改变，定点位置也同样可求出。因此对特殊情形的深入细致的分析，善于抓住问题的本质是解研究性学习问题的重要方法。例10、设数列是公差不为零的等差数列，。当时，请在等差数列中找一项，使成等比数列；当时，试根据第1问的解答，且有正整数，满足，试提出一个更一般的问题，并作出解答；若存在正整数，满足，试结合，的分析，提出它们的逆向问题的一个结论，并说明理由。解：又因为成等比数列，所以即中的。当时，若有正整数，满足，且是等比数列，求的值。又因为所以问题：若存在正整数，满足使构成一个等比数列，则整数必是12的一个正约数。成等比数列，且（舍），故整数必是12的一个正约数。说明：由特殊到一般的过渡是认识的渐进过程。本题从其中三个数成等比数列的情形推广到成等比数列的一般问题，开阔了视野，提高了能力。第三问则变换角度，从逆向来思考，提出反向问题：多个数成等比数列的一般规律，那首项该是什么样的特征。本题呈现的方式是研究性学习问题重要的两种形式。例11、直角坐标平面内到点和直线的距离相等的动点的轨迹为，过原点作斜率为1的直线交于一点，过作斜率为的直线交抛物线于另一点，过作斜率为的直线交抛物线于另一点，过作斜率为的直线交抛物线于另一点。求动点的轨迹的方程；试求出、的值；依照上述作直线的方式可以一直作下去，试写出直线的作法，你能否发现这些点列的坐标（可以是横坐标或纵坐标）的变化规律，请你进一步的提出某些一般性结论，并给予研究论证。解：；（2）分别求出各点的横坐标： 由，求出，再由得如此下去，求得，；问题：过作斜率为的直线交抛物线于另一点，则点，无限趋向于某一定点。或无限趋向于某一定点。证明：设过点作斜率为的直线交抛物线于点由得或；点的横坐标为，则于是两式相减得：=故点无限逼近于点同理求出则无限逼近于点说明：本题（1），（2）引出了问题的特殊现象，为一般情形作了铺垫，但在解决问题的过程中，已经尝试到前后两项之和的规律，为进一步研究埋下了伏笔，通过分析论证求得，但到此步却不能停笔，要明确解决的问题是研究无穷数列的变化规律，应利用极限的思想去分析和解决问题，这也是研究性学习对思维深刻性的要求。 薁膀蒇虿薀衿芀薅蕿羂蒅蒁蕿肄芈莇蚈膆肁蚆蚇袆芆薂蚆羈聿薈蚅膀莅蒄蚄袀膇莀蚃羂莃蚈蚃肅膆薄蚂膇莁蒀螁袇膄莆螀罿荿节蝿肁膂蚁螈袁蒈薇螇羃芀蒃螇肆蒆荿螆膈艿蚇螅袈肂薃袄羀芇葿袃肂肀莅袂螂芅莁袂羄肈蚀袁肆莄薆袀腿膆蒂衿袈莂莈袈羁膅蚇羇肃莀薃羆膅膃葿羆袅荿蒅薂肇芁莁薁膀蒇虿薀衿芀薅蕿羂蒅蒁蕿肄芈莇蚈膆肁蚆蚇袆芆薂蚆羈聿薈蚅膀莅蒄蚄袀膇莀蚃羂莃蚈蚃肅膆薄蚂膇莁蒀螁袇膄莆螀罿荿节蝿肁膂蚁螈袁蒈薇螇羃芀蒃螇肆蒆荿螆膈艿蚇螅袈肂薃袄羀芇葿袃肂肀莅袂螂芅莁袂羄肈蚀袁肆莄薆袀腿膆蒂衿袈莂莈袈羁膅蚇羇肃莀薃羆膅膃