高中数学题库高一部分-B函数-等差数列.doc

(文）已知等差数列中，求前n项和答案：设的公差为，则. 即解得因此来源：09年高考全国卷二题型：解答题，难度：容易已知：sin(B+C-A)，sin(C+A-B)，sin(A+B-C)成等差数列 求证：tanA、tanB、tanC也成等差数列答案：证：由已知得sin(C+A-B)-sin(B+C-A)=sin(A+B-C)-sin(C+A-B)2cosCsin(A-B)=2cosAsin(B-C)cosCsinAcosB-cosCcosAsinB=cosAsinBcosC-cosAcosBsinC两边同除以cosAcosBcosC得：tanA-tanB=tanB-tanC,即它tanA、tanB、tanC成等差数列来源：题型：证明题，难度：较难对于正整数2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。（1）求和；（2）求证：对任意正整数2，有.答案：来源：09年高考江苏卷题型：解答题，难度：较难设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 答案：（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2) （方法一）=,设， 则=, 所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。. 来源：09年高考江苏卷题型：解答题，难度：中档(文）已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655, a2+a716.(1)求数列an的通项公式：(2)若数列an和数列bn满足等式：an，求数列bn的前n项和Sn 答案：（1）设等差数列的公差为d，则依题设d0 由a2+a716.得 由得 由得将其代入得。即 （2）令两式相减得于是=-4=来源：09年高考湖北卷题型：解答题，难度：中档已知等差数列的公差为d（d0），等比数列的公比为q（q1）。设=+.+ ,=-+.+(-1 ,n若= 1，d=2，q=3，求 的值；若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明:c1c2。答案：（）解：由题设，可得所以， （）证明：由题设可得则 式减去式，得 式加上式，得 式两边同乘q，得 所以， ()证明： 因为所以 若，取i=n 若，取i满足且由（1）,(2)及题设知，且 当时，得即，又所以 因此当同理可得，因此 综上，来源：09年高考天津卷题型：解答题，难度：较难(文）等比数列中，已知 （I）求数列的通项公式；（）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。答案：（I）设的公比为 由已知得，解得 （）由（I）得，则， 设的公差为，则有解得 从而 所以数列的前项和来源：09年高考福建卷题型：解答题，难度：容易设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项.答案：（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，所以的通项公式为，前项和。（2），令，因为是奇数，所以可取的值为，当，时，是数列中的项；，时，数列中的最小项是，不符合。所以满足条件的正整数。来源：09年高考江苏卷题型：解答题，难度：容易已知函数，(1)当时，若在上单调递增，求的取值范围；(2)求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是 的最小值；(3)对满足(2)的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。答案：(1)当时，若，则在上单调递减，不符题意。故，要使在上单调递增，必须满足 ， 。(2)若，则无最大值，故，为二次函数，要使有最大值，必须满足，即且，此时，时，有最大值。又取最小值时，依题意，有，则，且，得，此时或。满足条件的实数对是。(3)当实数对是时，依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。如对，此时，故。来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难数列满足递推式（1）求a1，a2，a3；（2）若存在一个实数，使得为等差数列，求值;（3）求数列的前n项之和.答案：解：（1）由同理求得a2=23, a1=5 （4分）来源：1题型：解答题，难度：中档设数列为正项数列，前n项的和为Sn，且有an、Sn、an2成等差数列.（1）求通项an；（2）设的最大值. 答案：(1)当n=1时，又由，得 即3分是以a1=1为首项，以1为公差的等差数列 6分（2）8分10分当且仅当，即n=10时，有最大值1/72. 12分来源：题型：解答题，难度：中档已知是定义在正整数集N*上的函数，当x为奇数时，当x为偶数时，（1）求证：成等差数列；（2）求的解析表达式；（3）求的值.答案：解：（1）由题意相加得2分则成等差数列，公差为24分（2）同理则成等差数列，公差为2.，5分当n为奇数时，7分当n为偶数时，8分（3）10分=10020001001000=2003000.12分来源：1题型：解答题，难度：中档已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，（1）求数列的通项公式；（2）通过构造一个新的数列，是否存在一个非零常数，使也为等差数列；（3）求的最大值。答案：（1）等差数列中，公差，。（2），令，即得，数列为等差数列，存在一个非零常数，使也为等差数列。（3），即， 时，有最大值。来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列。求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式。答案：（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：把代入上式，得，的方程为：。，=（3），T中最大数.设公差为，则，由此得命题意图与思路点拨：本题为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差。来源：1题型：解答题，难度：较难已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论答案：（1）. 4分（2）， 8分 ，当时，. 12分（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 14分研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围. 16分研究的结论可以是：由， 依次类推可得 当时，的取值范围为等.来源：08年高考新课标卷二题型：解答题，难度：中档某水库年初有水量a（a10000），其中含污染物（设水与污染物能很好的混合），当年的降水量与月份x的关系是f（x）20|x7|（1x12，xN），而每月流入水库的污水与蒸发的水量都为r，且污水含污染物p（p0，于是，6分 8分（）10分12分来源：题型：解答题，难度：中档已知正项数列an满足 a1= p ( 0 p 0,a80，解得m=2.6分（2）由f（x）=log2（x+2），可得2f（b）=2log2（b+2）=log2（b+2）2，f（a）+f（c）=log2（a+2）+log2（c+2）=log2（a+2）（c+2），8分a、b、c成等比数列，b2=ac，9分又a、b、c是两两不相等的正数，故（a+2）（c+2）=ac+2（a+c）+4ac+4+4=b2+4b+4=（b+2）2，10分log2（a+2）（c+2）log2（b+2）2，即f（a）+f（c）2f（b）12分来源：题型：解答题，难度：中档已知是等差数列，其前n项和为Sn，已知a2=8，S10=185，（1）求数列的通项公式；（2）设，证明是等比数列，并求其前n项和Tn.答案：（1）3分 解得5分 6分（2）7分 是公比为8的等比数列10分 12分来源：题型：解答题，难度：中档等差数列an中，a1=25，S17=S9，求前多少项的和最大，并求这最大值答案：S17=S91725+817d=259+49d 得d=-2Sn=-n2+26n=-(n-13)2+169当n=13时，Sn最大值是169来源：题型：解答题，难度：中档设数列的前n项和为，数列的前n项和为，已知，.（）求数列的通项公式；（）是否存在一个最小正整数M，当时，恒成立？若存在，求出这个M的值；若不存在，请说明理由.答案：（）； （）存在M4.来源：题型：解答题，难度：中档甲、乙物体分别从相距70米的两处同时相向运动。甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米。（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二相遇？答案：解：（1）设分钟后第1次相遇，依题意，有，整理得，解得，（舍）第1次相遇是在开始后7分钟（2）设分钟后第2次相遇，依题意，有，整理得，解得，（舍）第2次相遇是在开始后15分钟来源：02全国高考题型：解答题，难度：中档已知数列为等差数列，其前n项和为（I）若成立，并将其整合为一个等式；（II）一般地，若存在正整数k，使，我们可将（I）中的结论作相应推广，试写出推广后的结论，并推断它是否正确.答案：（I）；（2分）；（4分）（5分）对任意（7分）（II）推广：设等差数列的前n项和为Sn，若存在正整数k，使则对任意（9分）设的公差为故推广后的结论正确.（14分）来源：1题型：解答题，难度：中档数列是首项为1的等差数列，数列是首项为1的等比数列，设 ，且数列的前三项依次为1，4，12，（1）求数列、的通项公式；（2）若数列是递增的等差数列，求数列的前项的和答案：（1）或 （2）来源：题型：解答题，难度：中档、都是各项为正的数列，对任意的，都有、成等差数列，、成等比数列. (1) 试问是否为等差数列，为什么？(2) 如=1，=，求；答案：(1)依题意 (2分) 为等差数列 (6分)(2)由，求得 (8分) (12分)来源：题型：解答题，难度：较难y = f(x)的定义域为R，对任意实数m、n有f(m+n) = f(m)f(n)，且当x1，数列an满足a1=f(0)且*)。（1）求证：y = f(x)在R上单调递减；（2）求数列an的通项公式；（3）是否存在正数k，使，对一切nN*均成立，若存在，试求出k的最大值并证明，若不存在，说明理由。答案：解（1）令m=1，n=0则：f(1)=f(1)f(0)，而f(1)1 f(0)=1令m=x0，n= x0时0f(x)1设x1x2则x2x1=0 0f (x2x1)f (x1)f (x1)=f (x1)f (x2x1)10 f(x)f(x1)即y = f (x)在R上单调递减（2）由f(an+1)=，nN* 得：f(an+1)f(2an) =1f(an+1an2) = f (0) 由（1）知：an+1an2=0即an+1an=2（nN*） an是首项为a1=1，公差为2的等差数列an=2n1（3）假设存在正数k，使（1+对nN*恒成立记F(n)=即 F（n）是递增数列，F（1）为最小值。由F（n）恒成立知k kmax = 来源：1题型：解答题，难度：较难已知是等差数列，且。（1）求数列的通项公式。（2）令，求的前n项和。答案： 解：（1）设数列的公差为d，则 又，得 （5分）（2）由得：（7分）（8分）由得：（12分）来源：题型：解答题，难度：中档已知三角形的三边成等差数列，周长为36，面积为54，求此三角形的三边的长答案：解：三角形三边的长为a-d，a，a+d，且a-d0，d0，依题意，有a-d+a+a+d=36 a=12三边的长为12-d，12，12+d又三角形的面积，d=3三角形三边的长分别是9，12，15来源：题型：解答题，难度：中档设两个等差数列的前n项的和分别为n(n+6)，n(4n-3)，试求这两个数列中相等的各项构成的新数列的通项公式答案：解：设an 的前n项和为Sn=n(n+6)，则an=Sn-Sn-1=2n+5 bn 的前m项和为Sm=m(4m-3)，则bm=Sm-Sm-1=8m-7求相等的项，设an=bm n=4m-6由此知相等的项为bm 的第2，3，4，项即新数列为9，17，25，其通项为：Cn=9+(n-1)8=8n+1来源：题型：解答题，难度：中档已知数列是等差数列，其前n项和为（I）求数列的通项公式；（II）设p、q是正整数，且pq. 证明：.答案：（1）解：设等差数列的公差是d，依题意得，解得5分数列的通项公式为7分（2）证明：，9分， 13分来源：题型：解答题，难度：中档已知数列的前n项和为，（1）求数列的通项公式；（2）设，如果对一切正整数n都有，求t的最小值。答案：(1)由相减得： 来源：06年湖南省三月大联考题型：解答题，难度：较难已知函数点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)是f(x)的图象上的动点，且线段P1P2的中点P的坐标为.（I）求证：a是定值；（II）对于任意的正整数n，设试判断数列Sn是否为等差数列，若是，请加以证明；若不是，说明理由.答案：（I）证明：由已知，x1+x2=1,1分y1+y2=.4分（II）由（I）知，当x1+x2=1时，f(x1)+f(x2)=,因此.由Sn=得，Sn=，则数列Sn是等差数列。10分证明：Sn是公差为等差数列.12分来源：题型：解答题，难度：中档数列an中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1an nN(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn=|a1|+|a2|+|an|，求Sn;(3)设bn=( nN),Tn=b1+b2+bn( nN)，是否存在最大的整数m，使得对任意nN,均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。答案：（1）由an+2=2an+1anan+2an+1=an+1an,可知an成等差数列，d=2an=102n（2）由an=102n0得n5当n5时，Sn=n2+9n当n5时，Sn=n29n+40故Sn= （nN）（3）bn= =()Tn= b1+b2+bn=(1)+()+()=要使Tn总成立，需T1=恒成立，即m1+aman+2因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证5（5mn-4）1+25mn-20(m+n)+16+2因为=20m+20n-37,所以命题得证。来源：05年江苏题型：解答题，难度：较难已知数列为等差数列，且（）求数列的通项公式； （）证明答案：（I）解：设等差数列的公差为d. 由即d=1.所以即（II）证明因为，所以 来源：题型：解答题，难度：中档已知数列an的前n项和为Sn，且anSnSn1(n2，Sn0)，a1=.(1)求证：为等差数列；(2)求满足anan1的自然数n的集合.答案：.(1)证明：n2时，an=SnSn1，即Sn Sn1SnSn1，=1.是公差为1的等差数列.6分(2)解：=(n1)(1)=n+，Sn=.a1=S1=，a2=S2S1=.a2a1.8分n3时，令anan1SnSn1Sn1Sn2=0，解得n或n，满足anan1的自然数n的集合为3，4，5，7.12分来源：题型：解答题，难度：中档已知数列的前项和为（1）求数列的通项公式.（2）设，如果对一切正整数都有，求的最小值.答案：解：（1）2分 4分 又当 即 对于正整数都有 6分 数列是等差数列，公差8分（2）10分 12分又 的最大值是 对于一切正整数都有 t的最小值是14分来源：题型：解答题，难度：较难在等差数列an中，首项a1=1。数列bn满足bn=，b1b2b3=（）求数列an的通项公式；（）求证：a1b1a2b2anbn2.答案：解:（）设等到差数列an的公差为d,a1=1, bn=b1=,b2=b1 b2 b3=解得d=1.an）=1+（n1）1,即an）=（nN）.（）由（）得bn=设Sn= a1b1a2b2anbn=12则Sn =1两式相减得Sn =Sn=2（）n-1n=22即a1b1a2b2anbn2.来源：题型：解答题，难度：中档已知正项数列的前n项和，求的通项公式.答案：.来源：04安徽春高题型：解答题，难度：中档已知函数构成一个数列，又（）求数列的通项公式； （2）比较与1的大小答案：解：（1）-2 -6（2） - -得 （错位相减）-10-12来源：题型：解答题，难度：较难已知数列an中，a1=14,a2=2,且满足an+22an+1+an=0(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn=|a1|+|a2|+|an|,求Sn;(3)设bn=,Tn=b1+b2+bn.是否存在最大整数m,使得任意nN*,均有Tn.答案：解：（1）由已知得an+2an+1=an+1an(nN*),故an为首项14，公差为12的等差数列，an=2612n.2分（2）S1=14；S2=16；当n3时，Sn=a1+a2(a3+a4+an)=16=6n220n+327分(3)因数列bn各项为正，所以Tn是递增的，要使得对任意nN*,均有Tn成立，只需T1即可，由此得m8.故存在最大整数m=7,使得任意nN*,均有Tn成立. 12分来源：题型：解答题，难度：较难设函数（1）求证：对一切为定值；（2）记求数列的通项公式及前n项和.答案：（1） 来源：题型：解答题，难度：较难已知点B1（1,y1）,B2(2,y2),Bn(n,yn),(nN*)顺次为直线y=+上的点，点A1（x1,0），A2(x2,0),An(xn,0)顺次为x轴上的点，其中x1=a(0a1).对于任意nN*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形.(1)求数列yn的通项公式，并证明它为等差数列；（2）求证：xn+2xn是常数，并求数列xn的通项公式.(3)上述等腰AnBnAn+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时a的值；若不可能，请说明理由.答案：（1）yn=n+,yn+1yn=,数列yn是等差数列，4分（2）由题意得，=n,xn+xn+1=2n,xn+1+xn+2=2(n+1),、相减，得xn+2xn=2,x1,x3,x5,x2n1,成等差数列；x2,x4,x6,x2n,成等差数列，6分x2n1=x1+2(n1)=2n+a2,x2n=x2+(n1)2=(2a)+(n1)2=2na,xn=8分（3）当n为奇数时，An(n+a1,0),An+1 (n+1a,0)所以AnAn+1=2(1a);当n为偶数时，An(na,0),An+1 (n+a,0),所以AnAn1=2a,作BnCnx轴于Cn,则BnCn=n+.要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只须AnAn+1=2BnCn. 10分所以，当n为奇数时，有2(1a)=2(n+),即12a=113n,(*)当n=1时，a=;当n=3时，a=;当n5时，方程(*)无解.当n为偶数时，12a=3n+1,同理可求得a=.综上，当a=,或a=或a=时，存在直角三角形. 12分来源：题型：解答题，难度：较难函数对任意都有（）求和的值（）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；（）令试比较与的大小答案：（）因为所以2分令，得，即4分（）又两式相加所以，又故数列是等差数列9分（） 所以14分来源：1题型：解答题，难度：较难某企业用49万元引进一条年产值为25万元的生产线，为维持该生产线正常运转，第一年需各种费用6万元，从第二年开始包括维修费用在内，每年所需费用均比上一年增加2万元. （I）该生产线第几年开始盈利（即总收入减去成本及所需费用之差为正值）？（II）该生产线生产若干年后，处理方案有两种：（1）年平均盈利达到最大值时，以18万元的价格卖出；（2）盈利总额达到最大值时，以9万元的价格卖出.问那一种方案较为合理，请说明理由.答案：解：（I）设这条生产线第n年开始盈利，盈利为y元.则由在取值范围内取最小值，即该生产线第三年开始盈利.6分（II）（1）平均盈利为.当且仅当时年平均利润最大，故该生产线在第7年年平均利润最大，若卖出共获利67+18=60万元.9分（2）当.即该生产线在第10年盈利总额最大，若卖出共获利51+9=60万元.12分由此两种方案获利相等，但方案（2）所需时间长，所以方案（1）合算. 13分来源：题型：解答题，难度：中档数列an中，相邻两项an, an+1是方程x2+3nx+bn=0的两根，已知a10=17求：b51的值答案：an+an+1=3nan+2an=(an+2+an+1)(an+1+an)=3(n+1)(3n)=3a1, a3, a2n+1和a2, a4, , an都是公差为3的等差数列a52=a10+21(3)=80 a51=a11+20(3)a10+a11=30 a11=13a51=73 b51=a51a52=5840来源：题型：解答题，难度：中档已知数列an（nN*）满足3a5=8 a120，且三点P(n-2，an)、Q(n，an+1)、R(n+2，an+2)在一条直线上.（1）若a1=76，求通项公式an；（2）若bn=anan+1an+2（nN*），则数列bn的项中是否均为正数？如果是，则说明理由；如果是，则数列bn的项中有多少为正数？答案： (1)由题意有 = ，即an+1- an = an+2- an+1 .数列an为等差数列. 设公差为d，又3a5=8 a12，3(a1+4d)=8(a1+11d)，即5 a1+76d=0.而a1=76，d= -5.故an=76-5(n-1)=81-5n.(2)由(1)可知a1= - d，a5= - d 0，d a2 a3 a16 0 a17 a18 ，b1 b2 b3 b14 0 b17 b18 .而b15= a15 a16 a170，b17= a17 a18 a190.数列bn的项中前15项为正数.来源：题型：解答题，难度：中档已知点都在直线上，为直线与轴的交点，数列成等差数列，公差为1.（）(1)求数列，的通项公式；(2)若 问是否存在，使得成立；若存在，求出的值，若不存在，说明理由.(3)求证： + (2, )答案：(1) (2) 假设存在符合条件的 ()若为偶数，则为奇数，有 如果，则与为偶数矛盾.不符舍去； () 若为奇数，则为偶数，有这样的也不存在.综上所述：不存在符合条件的. (3) 来源：题型：解答题，难度：较难已知ABC的外接圆半径为1，且角A，B，C成等差数列，若角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，求a2+c2的取值范围.答案：解法一：由A，B，C成等差数列，得2B=A+C.又A+B+C=180.B=60，A+C=120，A=60+，C=60，由0A，C120，得6060.由正弦定理得a=2RsinA=2sinA. c=2RsinC=2sinC，4分a2+c2=4（sin2A+sin2C）=4=42（cos2A+cos2C）=42cos（120+2）+cos（1202）=4+2cos2. 8分6060，1202120.cos21.a2+c2（3，6. 12分解法二：由正弦定理b=2RsinB=2sinB=，由余弦定理b2=a2+c22accosB，3=a2+c2ac，即a2+c2=3+ac. 6分a0，c0，a2+c23.又ac，a2+c23+.即a2+c26.综上3a2+c26. 12分来源：题型：解答题，难度：中档已知等差数列前四项的和为60，第二项与第四项的和为34，等比数列的前四项的和为120，第二项与第四项的和为90.（1）求数列、的通项公式；（2）对一切正整数n，是否存在正整数p，