线性代数第二版(上海交大)习题答案3.doc

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羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节蚃羈羃莅蒆袄肂蒇蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿肅聿蒁蒂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莅螆虿肆蒈蕿羇膅膇螄袃膄芀薇蝿膃莂螂蚅膂薄薅肄膁芄蒈羀膁莆蚄袆膀葿蒆螂腿膈蚂蚈芈芁蒅羇芇莃蚀袃芆蒅蒃袈芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节芁螅螁罿莄薈蚇羈蒆螃羆羇膆薆羂羆莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃蒇肂羃节 1.由得.2设，则有解得，即.3.设，则有解得，即只有不能由其余三个向量线性表出.4.(1) 因为，所以，且，即，且时是向量，的线性组合，当，时，所以.(2)由(1)知，当或或，且时不能由向量，线性表出.5.(1) 设，则，所以，线性相关.(2) 设, 则.(3) 设，则，所以，线性无关.6.(1) 设， 所以不论取何值，都线性无关.(2) 设， 所以当，即时，线性相关；当，即时，线性无关.7.不一定.若，则当时线性相关.8. 由定义，一定线性无关.9.设，则，由于，线性无关，则，解得，所以，也线性无关.10. 设，则，由于线性无关，则，系数距阵，当为奇数时，方程组只有零解，所以线性无关； 当为偶数时，方程组有非零解，所以线性相关.11. 设，则，由于线性无关，则，系数距阵，只有当即时，方程组只有零解，线性无关.12.维单位向量线性无关，不妨设:所以 两边取行列式，得，由即维向量组所构成矩阵的秩为，故线性无关.13证明 证法一：设为一组维单位向量，对于任意维向量则有，即任一维向量都可由单位向量线性表示.线性无关，且能由单位向量线性表示，即故 两边取行列式，得由，令，则由 即都能由线性表示，因为任一维向量能由单位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示.已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组：可由线性表示，由12题知线性无关.证法二：必要性 设为任一维向量，因为线性无关, 而是个维向量是线性相关的, 所以能由线性表示, 且表示式是唯一的. 充分性 已知任一维向量都可由线性表示, 故单位坐标向量组能由线性表示, 于是有,即，所以线性无关.14.证明 设，则由条件知，因为若，则由线性无关，线性相关知，能由线性表出，与已知条件矛盾，故；同理可得.因此，即可由线性表出,也可由线性表出，同理可得，也可由线性表出，故与等价.15反证法：假设存在，使得，因为任意个向量线性无关，则，即，又线性相关，则存在不全为零的数，使得，矛盾，故，即必存在个全不为零的数，使得.16.(1)构造矩阵，对作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即显然，即，是的列向量组的极大无关组.(2) 构造矩阵，对作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即显然，即，或是的列向量组的极大无关组.17. (1)构造矩阵，对作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即显然，即，是的列向量组的极大无关组，且有，.(2) 构造矩阵，对作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即显然，即，是的列向量组的极大无关组，且有.18.法1：已知，且不全为零，由定义线性相关.法2：由线性表出,且，则由定理3.5知线性相关.19.从向量组 (1)中任取个向量，记为 (2)在组(1)中删掉一个向量后，则其秩最多减1. 组(2)可作为组(1)删掉个向量后所得的向量组，因此组(2)的秩至少是.20设的极大线性无关组分别为,含有的向量个数(秩)分别为,则分别与等价,易知均可由线性表示,则,，即.设与中的向量共同构成向量组,则均可由线性表示,即可由线性表示,从而可由线性表示，所以，为阶矩阵，所以，即.21(1) 首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵，选为自由未知量，取，得基础解系于是原方程组的通解为，即，为任意常数.(2) 首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵, 为自由未知量. 分别取为. 得基础解系 所以原方程组的解为, 其中为任意常数.(3) 用初等行变换将化为规范阶梯矩阵，选为自由未知量.令，得特解分别取为，得出对应的齐次线性方程组的基础解系，于是原方程组的通解为其中为任意常数.22首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵，选为自由未知量，分别取，和，得基础解系，所以四个解向量不能构成方程组的基础解系，必须去掉二、四列，取，补充，构成基础解系.23(1) 用初等行变换将化为规范阶梯矩阵，当时，若，则，而，原方程组无解；若，则原方程组有唯一解；当时，原方程组有无穷多组解，选为自由未知量.令，得特解分别取为，得出对应的齐次线性方程组的基础解系，于是原方程组的通解为其中为任意常数.24(2) 用初等行变换将化为规范阶梯矩阵，当时，而，原方程组无解；当时，则原方程组有唯一解：；当时，原方程组有无穷多组解，选为自由未知量.令，得特解分别取为，得出对应的齐次线性方程组的基础解系，于是原方程组的通解为 其中为任意常数.25由解向量的任意性可得的基础解系含解向量个数为，则，所以.26.因为，则，又由于方程组含有个未知量，故其基础解系只含一个非零的解向量，亦即任何非零的解向量都是一个基础解系，而由于且，故是方程组的一个非零解，即是该齐次线性方程组的一个基础解系.27.充分性：若，则由克莱姆法则知，方程组有解.必要性：若方程组有解，则系数矩阵与增广矩阵的秩相同，再由的任意性，秩都应等于，即必为非奇异矩阵，故.28.(1)反证法, 假设线性相关. 因为线性无关, 而线性相关, 所以可由线性表示, 且表示式是唯一的, 这说明也是齐次线性方程组的解, 矛盾.(2)显然向量组与向量组可以相互表示, 故这两个向量组等价, 而由(1)知向量组线性无关, 所以向量组也线性无关.(3)由定理3.8知， 设，则，且.29. 证明 当时, , 故有，所以；当时, , 故有即的列向量都是方程组的解. 因为, 所以方程组的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此；当时,中每个元素的代数余子式都为0, 故, 从而. 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