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互补与对称文学与数学的一个切合点 数学组 王志和 “人有悲欢离合,月有阴晴圆缺,此事古难全,但愿人长久,千里共婵娟”。这千古名句道出了:互相思念的亲人,在千里之外,共瞻一轮明月,体味着“宁静的夜晚你也思念我也思念”的离别的酸楚和憧憬着“却看妻子愁何在,漫卷诗书喜欲狂”的归乡的喜悦。把相距千里的亲人,在月光的映照下,纳入到一张图画中,遥相呼应,成为千古绝唱。“独在异乡为异客,每逢佳节倍思亲,遥知兄弟登高处,遍插茱萸少一人。”独居异乡的飘零游子,每逢佳节情何以堪?“北斗七星,水底连天十四点;南楼孤雁,月中带影一双飞。”通过对称的手法与互补的手法,委婉含蓄地表达了作者的孤独心情。在古诗古词中,这样表达悲欢离合、阴晴圆缺的经典佳句很多。掩卷遐思,忽而想到,数学中的力求对称、形成互补,弥合成完美和谐的形式,是数学美的一种重要体现形式。问题一:一元二次方程,()的两个根是:yy xhABCDEz,。如果单独看这两个根,有一种“孤立”、“游子”的感觉,但把它们合在一起来看:,。这样便有一种“珠联璧合”、“比翼双飞”、“连理枝”的感觉了。问题二:一个横断面是等腰梯形ABCD的水渠,水渠的两腰和底的面积和是定值(即图中的,图一是定值),则怎样选取,能使水流量(即梯形的面积)最大. 解法一:在图一中,梯形的高,xx y面积所以 =图二=,后四个数的和是定值,所以当,得时面积最大. 这种解法技巧性强,且用到了四元均值不等式,不易想到,能不能有好一点的方法,且看: 解法二:做梯形关于上底面边的对称图形,这样得到的六边形的周长是,即六边形的周长是定值,当六边形是正六边形时,面积最大,这时. 解法二的妙处在于做对称图形,从而使问题简化。 看着图形,让人不觉想到,一座青山倒映在波光涟漪的池水中的美丽景象。“两山夹明镜,双桥落彩虹”的简约抽象画映入了我们的眼帘。感觉到李白的“举杯邀明月,对影成三人”的惆怅和“不知明镜里,何处得秋霜”的忧伤。问题三:已知是奇数,是正整数,求证 是的倍数。证明: 已知: (1)倒置过来: (2)将(1)式与(2)式错位相加得: (3)因为是奇数,由二项式定理,得(3)中每一项都是的倍数;又: (4)倒置: = (5)(4)+(5)得: (6)因为是奇数,由二项式定理,得(6)中每一项都是的倍数;说明既是的倍数又是的倍数,所以: 是的倍数。互补使得大自然浑然一体。久在酷暑中渴望甘霖的滋润,常在阴霾中期盼阳光的抚慰。“天对地,雨对风,大陆对长空”,文学中的对偶句提炼出来的互补思想是中国古典文化的瑰宝。刘禹锡的一首爱情诗:“杨柳青青江水平,闻郎岸上踏歌声,东边日出西边雨,道是无晴却有晴”是对爱的表露,也是互补思想的生动写照。按着互补方法写的一幅对联:“一大乔,二小乔,三寸金莲四寸腰,五匣六盒七彩粉,八环九钗十倍娇;十九月,八分圆,七个进士六个还,五更四鼓三声响,二乔大乔一样贤”成为闲人雅士茶余饭后的一种美谈。问题4: (一) ,. (二)二项式展开式的二项式系数:. 看这样的完美结构,蓦然想到:这不是文学中的“回文对”吗! 清朝京城有个饭庄名叫“天然居”。某日,乾隆皇帝用它做对子,作上联道:“客上天然居,居然天上客”。此上联从前往后读与从后往前读都是一句话,称为“回文对”。纪晓岚稍加踌躇说道:“人过大佛寺,寺佛大过人”。这样的对联被传为佳话。 还有一幅有名的对子:“画上荷花和尚画,书临汉贴翰林书”。细细品味,这样的流传久远的名对子似乎不如上面的“回文数列”更让人遐思。假如说二项式展开式的二项式系数:,有: 等等许多和谐优美的结构,但文学中的“回文对”似乎没有这么丰富的内涵。还有上面的,且121的各个数位上数字之和是,且12321的各个数位上的数字之和是,且1234321的各个数位上的数字之和是,看看,多么有趣,多么神奇,多么美丽! 另外,回文对从结构上看就是数学中的轴对称图形。而这样的例子在数学中比比皆是。但奇妙的是回文对思想可以帮助我们解数学题,如: 例题:在等差数列中,是其前n项和,若,求.解 设,说明二次函数的对称轴是,按着回文对的思想得:,,而,于是:.南辕北辙一样可以达到目的地;背井离乡可能是报答乡梓的另一个途径。姚明之所以是名震中外,是因为有众多“粉丝”的捧场。这是互补的力量!“打起黄莺儿,莫在树上啼,啼时惊妾梦,不得到辽西”。相思之情,托梦中鸿雁,划破长空,形成一条爱的彩虹。法拉第的磁力线和谐优美、疏密得当,描绘的是磁场强度,是物质能量,是优美形象的几何图形;而相处异地的知己恰好比磁场中的N极和S极,他(她)们之间画出的互相思念的曲线是和谐的、对称的、优美的,描绘的是思念的强度、是

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