2002年-2011年浙江省高考数学试题(理)分类解析汇编-数列、数学归纳法.doc

2002年-2011年浙江省高考数学试题（理）分类解析汇编专题3：数列、数学归纳法锦元数学工作室 编辑一、选择题1. （浙江2004年理5分）已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=【 】(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 【答案】B。【考点】等差数列；等比数列。【分析】利用已知条件列出关于的方程，求出，代入通项公式即可求得：，且，成等比数列，即。解得。故选B。2.（浙江2005年理5分）【 】(A) 2 (B) 4 (C) (D)0【答案】C。【考点】极限及其运算，等差数列求和公式。【分析】。故选C。3.（浙江2008年理5分）已知是等比数列，则=【 】A16（） B16（） C（） D（）【答案】C。【考点】等比数列的前n项和。【分析】由，数列仍是等比数列：其首项是，公比为。故选C。4.（浙江2010年理5分）设为等比数列的前项和，则【 】（A）11 （B）5 （C） （D）【答案】D。【考点】等比数列的通项公式与前n项和公式。【分析】是，设公比为，得，解得=2。 。故选D。二、填空题1. （浙江2006年理4分）设为等差数列的前项和，若，则公差为（用数字作答）.【答案】1。【考点】等差数列的性质，数列的求和。【分析】设首项为，公差为，代入和，从而求解求得和：，。2.（浙江2009年理4分）设等比数列的公比，前项和为，则【答案】15。【考点】等比数列的性质。【分析】通过等比数列的求和公式，表示出，由，把和代入约分化简可得到答案：对于 ，。3.（浙江2010年理4分）设，将的最小值记为，则其中= .【答案】。【考点】归纳推理。【分析】利用归纳和类比进行简单的推理，据的定义，列出的前几项： 由此规律，我们可以推断：。4.（浙江2010年理4分）设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是 .【答案】。【考点】等差数列的性质，等差数列的前项和。【分析】，即。则的取值范围是。三、解答题1.（全国2002年理12分）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？【答案】解：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，每年新增汽车万辆，则，对于，有当，即时，；当，即时，数列逐项增加，可以任意靠近，即。如果要求汽车保有量不超过60万辆，即（），则，即万辆。综上，每年新增汽车不应超过万辆。【考点】基本不等式在最值问题中的应用，数列的递推式，数列的极限。【分析】设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，每年新增汽车万辆，依题意可知，根据题意可表示出关于的递推式，利用等比数列的求和公式求得，判断出数列的单调性，然后利用数列的极限求得问题的答案。2.（全国2002年理14分）设数列满足：，（1）当时，求并由此猜测的一个通项公式；（2）当时，证明对所的，有（i）（ii）【答案】解；（1）由，得，由，得，由，得，由此猜想的一个通项公式：（）。（2）（i）用数学归纳法证明：当时，不等式成立。假设当时不等式成立，即，那么。也就是说，当时，。据和，对于所有，有。（ii）由及（i），对，有，。【考点】数学归纳法，归纳推理。【分析】（1）由列满足：，及，我们易得到，的值，归纳数列中每一项的值与序号的关系，我们可以归纳推理出的一个通项公式。（2）（i）的证明可以使用数学归纳法，先证明时不等式成立，再假设时不等式成立，证出时，不等式依然成立，最终得到不等式恒成立。（ii）的证明用数学归纳法比较复杂，观察到不等式的结构形式，可采用放缩法进行证明。3.（全国2003年理12分附加题4 分）（I）设是集合 且中所有的数从小到大排列成的数列，即， 将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；求（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设是集合，且中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求.【答案】（）解：用()表示，下表的规律为 3（(0,1)=）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) （i）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4) 第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（ii）100（1+2+3+4+13）+9，(8,14)16640。（）令，其中， 现在求M的元素个数：，其元素个数为；，其元素个数为；，其元素个数为。【考点】数列的应用。【分析】（I）（i）用()表示，先利用前几个数找到其规律，是每一个的横坐标从0增加到对应的行数，而纵坐标为行数，就可求出第四行、第五行各数。（ii）因为100=（1+2+3+4+13）+9，所以可以知道位于第14行第8列，即可求出。（）利用上面的结论可以快速找到的规律，再结合组合数对其求解即可。4.（浙江2004年理14分）如图，OBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数，为线段的中点,令的坐标为()，（）求及;（）证明 ()若记证明是等比数列.【答案】解：()，。又由题意可知=。为常数列。()将等式两边除以2，得。又，。（） ， 又，是公比为的等比数列。【考点】数列的应用，等比关系的确定。【分析】（）由题意可知，由此可推导出。（）将等式两边除以2，得，由此可知。（）由和，知是公比为的等比数列。5.（浙江2005年理14分）设点(，0)，和抛物线：yx2an xbn(nN*)，其中an24n，由以下方法得到： x11，点P2(x2，2)在抛物线C1：yx2a1xb1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，点在抛物线：yx2an xbn上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离 ()求x2及C1的方程 ()证明是等差数列【答案】解：（）由题意得，设点是上任意一点，则。令，则。由题意得，即。又在上，解得。的方程为。()设点是上任意一点，则。令，则。由题意得，即。又，即。下面用数学归纳法证明，当时，等式成立；假设当时，等式成立，即，则当时，由知，又，。即时，等式成立。由知，等式对成立。故是等差数列。【考点】导数的应用，等差数列，两点间距离公式的应用，数学归纳法。【分析】（）利用点在抛物线上则满足抛物线方程，结合两点间的距离公式用点表示，然后借助于导数，利用建立方程，使问题得到解决。（）类比（），首先利用点是上任意一点，得到，然后利用导数思想获得并由此化简得到，通过数学归纳法证明，也即证明了是等差数列。6.（浙江2007年理15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且（I）求， ，；（II）求数列的前项和；（）记，求证：【答案】解：（I）方程的两个根为，当时，所以；当时，所以；当时，所以；当时，所以。（II）。（III）证明：，。当时，同时，。综上，当时，。【考点】数列的求和，不等式的证明。【分析】（I）用解方程或根与系数的关系表示，给赋值即可。（II）由可分组求和。（）复杂，应用放缩法证明。7.（浙江2008年理14分）已知数列，。记，。求证：当时，（）；（）；（）。【答案】证明：（）用数学归纳法证明。当=1时，因为是方程2+1=0的正根，所以。假设当=（N*）时，因为，所以。即当n=k+1时，也成立。根据和，可知对任何N*都成立。（）由，=1，2，1（2）得，因为，所以。由及得。所以。（）由，得，所以，于是，故当3时，又因为T1T2T3，所以Tn3。【考点】不等式的证明，数列的求和，用数学归纳法证明不等式。【分析】（）对于N*的命题，考虑利用数学归纳法证明。（）由，对取1，2，1时的式子相加得，最后对进行放缩即可证得。（）由，得所以。从而证得3时，又由T1T2T3，得到结论。8.（浙江2011年理14分）已知公差不为0的等差数列的首项为 (),设数列的前n项和为，且，成等比数列（1）求数列的通项公式及（2）记，当时，试比较与的大小.【