2014年考研数学讲座讲义.docVIP

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肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芈薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃莃螆袂莂蒅虿膁莂薇袅肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芄蚄罿肄蒆衿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螁肆肀蒂薃羂肀薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇肃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螇膄薆蚇肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁 考研数学的成功之路-水木艾迪考研辅导教学策略揭秘报告人：清华大学数学科学系 刘坤林水木艾迪清华老师的引导策略是六个字：走对路 找对点。引导考生走对路找对点，是清华老师多年来为考生打造轻松考研的成功策略。报告中会引用众多事例和典型考题，说明成功的关键在于走对路，走对路的关键在于找对点：首先是国家考试特点，其次是基本考点与重要考点，此外还必须注意把握数学本身的学科特点。走对路找对点的引导将贯穿水木艾迪教学全过程。在此基础上，水木艾迪清华老师实施的教学宗旨是：带你把握命题策略与命题思路，努力缔造居高临下的知识洞察力。一考研数学要找对点1考试特点06-10年考题以基本的概念、理论和技巧为主, 注意考察基础知识理解的准确性与简单综合运用。各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，确切说是理工类数学的能力。这是对历年考生的重要参考。09-10年考题凸现注重考察对基本概念与基本知识点理解的准确性和到位性，全面性和系统性。各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别是数三（数四）连续几年并无任何经济特色特题目，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，确切说是理工类数学的水平与能力。在命题特点上，题目非常基本，非常规范化，知识覆盖面合理，题意明确，叙述准确，档次明显，适于选拔考试。三个试卷考试题目非常基本，没有偏题怪题和超难度题目。四个突出特点：（1）考题凸显考察：对基本概念与基本知识点理解的准确性，重在基本概念的换位思考，能做换位思考者，胜，否则，将沦落为失败者。基本计算要过硬。（2）不同知识点交叉运用能力，尤其注重基础知识的理解与综合运用。 （3）考研数学考的是数学，并非物理（对数学一、二：物理应用题目趋于淡化，），更非经济（对数学三：与所谓经济类数学内容相关的题目趋于淡化），更确切地说，考研数学是考大学理工类数学三个学科。特别是数学三考生，不能采用带有经济类的教科书或辅导教材作考前的复习。（4）三套试题共用题目比例较高，三套难易程度趋于相同。在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。 考场上以概念理解的准确性取胜最重要，准确全面的概念理解，必然导致居高临下的知识洞察力与快速反应能力，这正是水木艾迪数学辅导教学宗旨。水木艾迪教学内容的准确性和有效性：水木艾迪考研辅导教学的全部内容与策略，就是引导考生作到对基本知识点理解的准确性、全面性和有效性，掌握综合处理问题的方法与技巧，特别是让同学把握命题策略与命题思路，努力做到居高临下的知识洞察力。对国家考试特点与题型有明显的准确的追踪效应。特别是水木艾迪考研数学的春季基础班于暑期强化班为考生奠定了坚实的应试基础，年底的考研数学三十六计则为广大学员提供了全胜的锐利武器。09-10年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与训练，使更大面积的考生取得优异成绩。就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在07-09年的考试中得到完美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量题目仅仅有文字和符号的差别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同。2考点考点是由大学理工类数学三个基本学科的核心知识点构成。而考点的把握是通过对上述核心知识点的准确思考，以及逻辑层次上的换位思考，逐渐形成的。以下若干例题供大家体会考试特点与考点。考题题型例1 设函数在处连续，下列命题错误的是（A）若存在，则 （B）若存在，则（C）若存在，则 存在 （D）若存在，则存在【解】答案D。由无穷小量比阶概念、点连续概念与导数定义，可判断(A)(B)(C)正确。(D)中的成立不一定保证导致可导的两个极限存在。请看错误做法：则存在。极限运算法则错误！【解析与点评】本题主要考点是：（1）无穷小量比阶；（2）复合函数概念；（3）点连续概念；（4）导数定义。水木艾迪考研辅导班教学中含有不少此类例题，可参见基础班辅导例题：（33） 若存在，则在处（ ）。 （A）可导，且。（B）可导，且。（C）不可导。 （D）不一定可导。【特别提示】 请注意以下错误做法： 因此在处可导，且。选择（A）。 上述第二个等号为极限运算法则错误。【解】正确答案为（D）。尽管有 但是，上述极限的存在不能保证 或的存在，因此不能保证的存在。 注 极限运算法则的运用是常考知识点，原因是极限运算法则错误为常见错误。极限运算法则表述的实质为：前者为后者的充分条件。而表现充分条件的命题在应用中需特别注意数学逻辑上的准确性。考题题型例2 （2010-1、2）（A）。（B）。（C）。（D）。 【D】【解】 考题题型例3 (2010-2) 曲线与曲线相切，则（A）(B) (C) (D) 【C】【解】依题意.水木艾迪考研辅导班教学中有不少此类基本例题，可参见基础班教材。考点：初等函数性质、运算与导数几何意义。还有如下考题：(2010-2、3) 设，则当充分大时有（A） （B）（C） （D） 【C】【解】当时, .考题题型例4 （09-2-10）_【答案】0【解析与点评】定积分的分部积分法与回归法是水木艾迪辅导的星级考点。我们一再强调：与积分有关的极限问题不一定把积分完全算出来。（方法1），由用夹逼准则得到，因此。（方法2） 考题题型例5 如图，正方形被其对角线划分为四个区域,则（ ）dD1XY-1-111D1D2D3D4（A） (B) (C) (D) 【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。参见水木艾迪考研数学春季班教材考研数学通用辅导讲义-微积分例12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材大学数学同步强化299117题，以及考研数学三十六技例18-4。关于轴对称，而即被积函数是关于的奇函数，所以;两区域关于 即被积函数是关于的偶函数，由积分的保号性，所以正确答案为A。考题题型例6 设有两个数列若则（ ）（A）当收敛时，收敛。 （B）当发散时，发散。（C）当收敛时，收敛。 （D）当发散时，发散。【解析与点评】以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。（方法1）收敛，则，又，必存在，使当时且（极限的有界性！），立即由正项级数的直接比较法得到：当收敛时，收敛。应选C 。参见水木艾迪春季基础班教材考研数学通用辅导讲义-微积分（清华大学出版社）自测模拟题15.3，例15.4。（方法2）反例：对A取，对B取，对D取。考题题型例7 函数的全微分为，则点（0，0）（ ）（A）不是的连续点 （B）不是的极值点（C）是的极大值点 （D）是的极小值点【解析与点评】（方法1），有最小值C，立即有结果D。这是水木艾迪一再强调的凑微分方法。（方法2）由可得在（0，0）处，故（0，0）为函数的一个极小值点。【答案】D考题题型例8（ ）。（A）. （B）. （C）. （D）不存在。【解】 答案为（B）。由初等函数（）性质，使当时，有 ，应用夹逼定理得到 。考题题型例9（2007数1，数2）设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确的是（A）若，则必收敛 （B）若，则必发散（C）若，则必收敛 （D）若，则必发散【解】答案D。以下方法1-2是水木艾迪考生的首选方法。（方法1）画出草图，结论显见。（方法2）证明D：，则,其中是某个确定的正数，于是存在使得 ，对任意，由，单调增加， 得到，于是又存在使得，其中，因此，即必发散。考点：用Lagrange定理分析函数性质是水木艾迪考研数学强调的星级考点。参见水木艾迪考研数学36计例5-3，基础班讲义例4-42，例4-43，强化班第2讲例28。（方法3）设=, 则在上具有二阶导数，且， ，但发散，排除(C); 设=, 则在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B); 又若设，则在上具有二阶导数，且，但发散，排除(A). 故应选(D). 3还要注意数学的学科特点： （1）带有思维性的科学数学；（2）需要完备的逻辑表达语言。要注意到数学的学科特点: 培养一点逻辑层次思维能力与悟性，数学是一类让人思考和表达的学科。一是要思考，二是要表达，包括逻辑语言表达与基本计算表达。表达是对基本概理解理解的不断提升， 更是对处理问题与分析问题能力的必要打造，最终构成把握技巧与方法的成功之路。技巧来自基本概念的理解与基本方法的悟性。此外，还要培养一点对数学的感情和兴趣。道理很简单：喜欢的事情最容易做好。数学并非那么难，也并非那么抽象，它充满了我们的生活，离我们很近。一位世界著名的哲学大师说过：完美的世界是由三个要素构成：art, music, mathematics. 制胜考研数学的三个基本因素：因素A 概念理解的准确性： 90分因素B 综合运用与技巧： 分,.因素C 气质与心态的平衡：分,.考生现实水平的差距：对大学理工类数学三个基本学科的核心知识点，考生在本科过程中的理解较少做到准确性和到位性，更缺乏全面性和系统性。对基础性概念较少或基本没有做过逻辑思考与换位思考，对不同知识点之间的综合分析应用更是是常见漏洞。基于这样的分析，对大多数考生来说，难以把握考试特点与基本考点，同时也较少做过对数学学科特点思考。如果你选择水木艾迪考研辅导班，我们清华大学教学团队老师会引导你有效地弥补这些差距，带领考生朋友逐步把握和了解考研数学的命题策略与命题思路，走出一条合理有效的复习策略之路。在上述过程中，广大考生沿此路精心塑造，必然走向成功最终打造出考场上那种居高临下的知识洞察力与快速反应能力，以下三个基本例题用于引导同学把握数学的学科特点，旨在提高考研数学复习的效率。而每一个基本例题之后会有若干子例题，进一步展示考题特点与命题策略。二几个基本例题（展示数学学习特点：逻辑层次与换位思考）基本例题1： 选驸马问题古代某个皇帝选驸马,经预选产生三个最聪明的候选人。决赛规则：三人面向考官按一字形排成一列，考官准备了5顶帽子：三黑 两红，从最后一个人开始给三位候选人各带上个一顶帽子，最先说出自己帽子颜色的人被选定为驸马。结论：几分钟沉默后，面向考官的某一号选手先说出自己的帽子颜色（？）分析 设面向考官的第一个人为1号，按顺序，其余两人为分别为2号和3号。以下是浮现在1号选手大脑中的思考过程：3号没开口：3号可看到的是：1、2同色，或1、2异色，而没开口则说明1号2号全红为不可能事件；只剩下1号2号异色或全黑。2号没开口：若1号为红，则2号必说出自己帽子为黑色（1、2全红为不可能事件），但没说出，此假设应该否定，结论：1号为黑色。引申：系统辨识（System Identification-black Box Theory）以下提供的一组例题是基于极限的保序性（保号性）及其应用的考题：极限的保序性、有界性和唯一性，以及运算法则等重要性质的正确运用和掌握，是重要考点，不是短时间内可以达到的水平，但却是水木艾迪基础班解决的重点之一。例1-1 （2005共用考题）设函数连续，且，则存在，使得(A) 在上单调增加。(B) 在上单调增加。(C) 对任意的有。(D) 对任意的有。【证】答案(C).由 ，则由极限保序性可推断存在，使当或时，即与应保持同号，因此：对任意的有，对任意的有。 注：此结论在水木艾迪考研辅导教学及教材中称为由导数正负号决定的函数局部比较性质。只由一点处的导数正负号，不能决定函数的增减性。函数的增减性属于区间上或全局性质。例1-2设在上一阶可导，证明：存在，使；【证】 不妨设，即 ，由极限的保序性，存在使得有： ，满足，即有，满足；同理可有，满足，因此，由连续函数的零点定理，使得。例1-3 设在某邻域内有二阶连续导数，且，则（ ）。(A) ，但是曲线的拐点。(B) ，且是的极小值。(C) ,且是曲线的拐点。(D) ，且是的极小值。【解】 答案为（C）。由题目的已知条件可得到：第一个信息是：，则，又因为在某邻域内有二阶连续导数，于是。第二个信息是：，根据极限的保序性知道，在的某去心邻域内，必有，当时，当时，。即知在两侧变号，于是可以断定是曲线的拐点。即只有选项( C)正确。【注】对由极限保序性导致连续函数的保号性质、积分的保序性、积分估值定理与比较性质，可参考下列典型例题。基本例题2：溶液浓度问题 两个同样容积的烧瓶里分别放有甲乙两种溶液，现用量杯从甲种溶液里取出一小杯放入乙种溶液，搅拌均匀后，再用同一量杯取出一杯放回甲种溶液内，搅拌均匀。问：甲中含乙与乙中含甲各为多少%？【解】 方法1：列方程求解，势必烦琐。 方法2：利用逻辑分析，对甲种溶液进行分析，不难发现，甲失去的量，就是甲从乙中得到的量。结论：甲中含乙与乙中含甲比例相同。数学引申：函数的轮换对称性！函数的对称性与轮换对称性需要综合掌握：函数的概念，积分定义的四步曲，导数与偏导数的概念与方法。不是短时间内可以达到的水平，但却是基础班解决的重点之一。例2-1（2006-1-15，10分） 设区域计算二重积分。【解析与点评】利用对称性可得到 ; 这样，。这是很典型的二重积分计算题，是水木艾迪2006考研数学原题。可参见水木艾迪2006考研数学强化班讲义第十一讲例17。例2-2（ 2005-2、3、4共用） 设，为上的正值连续函数，为常数，则 ( D ) (A)。 (B) 。 (C) 。 (D) 。不可取的解法 取坐标变换：令 则，.，需10分钟。 【解析与点评】 本题考点是函数性质，积分定义概念的准确理解（本题为二重积分，还可以是三重积分，曲线曲面积分等），对称性的应用（实为函数性性质与积分概念的有机结合，有这样的功底，此题只需要40秒时间。在水木艾迪考研辅导教学及教材中，例如2005考研数学应试导引与进阶（刘坤林等编写，清华大学出版社2004年7月出版）。有许多此类题型与方法的训练。这样的训练应从函数初等性质与定积分开始，例如水木艾迪2004暑期强化班第4-13题就是一个基础性训练问题：【正确解法】由轮换对称性得到因此经简单计算，园的面积是，于是。（30秒OK!）注：本题是水木艾迪2006考研数学教材原题（清华大学出版社）。例2-3： （ ） 。(A) 。 (B) 。 (C) 。 (D) 。【解】由对称性与积分概念，立即得知答案，选(B)。函数的广义奇偶性（偶对称与奇对称）若的图形有对称轴，则应有（将视为参数），令，则有 ，因此为偶函数。并且有。若的图形有对称中心，则应有（将视为参数），令，则有，因此为奇函数。以上这种性质称为函数的广义奇偶性或对称性。并且有。例2-4：（2009数一） 设，则 。【解析与点评】以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。（方法一）由轮换对称性，（方法二） 参见【水木艾迪考研】大学数学同步强化299125，考研数学三十六技例18-5，例18-6，例18-7，微积分通用辅导讲义例12.13，12.29。【答案】例2-5（2007数一） 设曲面，则=_。【解】（方法1）由域与被积函数的对称性有： （方法2）利用物理意义 （方法3）化成二重积分 考点：利用曲面积分概念及对称性计算第一型曲面积分的基本计算题 , 木艾迪辅导中强调的星级考点。基本例题3： （体重估计问题）本教室学生的最大体重者之体重大于58公斤。 你作为检测人员，如何制定检测程序？其内涵思想：注重破解数学表达与描述的逻辑含义！这不是短时间内可以达到的水平，但却是水木艾迪基础班教学的重点之一。请看下列例题：例3-1 设在上连续，且若，证明 .【证】 要证明 ，只须证明存在，使得。首先在上连续，必有最大最小值，又 因此最大最小值不在端点取得，即存在，使得。其次， 将在处展为Taylor公式进行分析可得到结论。三准确理解概念，多做换位思考准确理解概念，多做换位思考是了解把握与命题策略与命题思路的必由之路。技巧“移项做辅助函数”的基本背景：展示之一：介值定理应视为零点定理推论连续函数的零点定理（根的存在定理）设函数在闭区间上连续，且，则存在使得。换位思考1：存在逻辑含义：至少存在一个点）使得。换位思考2：如不能满足，则考察是否有使得，其中，如是，则使得。换位思考3：若要证明恰有一个点（存在唯一一点）使得，则需要进一步考虑在区间上的单调性。单调函数如有零点，则最多有一个零点。换位思考4：介值定理的实质是：零点定理推论介值定理（零点定理推论）设函数在闭区间上连续，若，则对介于之间的任意实数，都存在，使得。 【证明介值定理】思路是创造应用零点定理的条件，-“移项造辅助函数”令，则在闭区间上连续，只需证明至少有一个零点。不妨假设，则，因此，且，于是，由零点定理，至少有一个零点，或，即。 这正是证明等十余不等式的重要技巧之一。技巧“初值加增减性分析法”的基本背景是： 拉格朗日微分中值定理及其推论利用拉格朗日微分中值定理，可以证明下述结果（初值加增减性分析法的基本原理）： 强化班内容展示之二：拉格朗日微分中值定理的捍卫思考之一。技巧“初值加增减性分析法”的基本原理是：利用拉格朗日微分中值定理，可以证明一个重要结果 若，则：当时，在上恒有，当时，在上恒有。这一性质给我们一个证明等式与不等式的又一重要方法：“初值加增减性分析法（或终值加增减性分析法）”当遇到等式与不等式证明问题时，应意识移项做辅助函数。根据题目要求，研究辅助函数的连续性及零点问题，增减性问题，或最大最小值问题，是证明等式与不等式的常用方法.涉及的知识点：极限与连续函数性质，微分中值定理，积分性质，泰勒公式等。典型例题例1 设在上可导，当时满足，且，试证方程在内有唯一实根。【证】移项造辅助函数，设，则，于是在内有实根。又因为 ，所以在内不变号，即为单调函数，最多有一个零点，于是在内有唯一实根。或：假设有两个不同的实根，则由Rolle定理可得：，使得，即有一点，使得，与题设矛盾，则在内有唯一实根。例2 设，证明不等式。 【证】原不等式等价于先合并参数，再采用移项造辅助函数方法。对右边不等式，令 只须考虑 移项造辅助函数，令 ，（初值）， 于是（初值），即右侧不等式成立。再考虑左边不等式：初值加增减性分析法，拉格朗日中值定理方法。（方法1）令，左侧不等式变为 。移项造辅助函数，令，则（初值），（注意到平均值不等式！）于是在上，即左侧不等式成立。（方法2）取一个参数为变量，采用初值加增减性分析法，令 ，（初值），因此，即左侧不等式成立（用到平均值不等式）。（方法3）由Lagrange 中值定理得：注意到，则由平均值不等式得到。（2）设法了解命题策略与命题思路从上面几个例题可以了解命题策略与命题思路的某些特点，水木艾迪考研辅导教学的全部内容与策略，就是引导考生作到对基本知识点理解的的准确性、全面性和有效性，掌握综合处理问题的方法与技巧，特别是让同学把握命题策略与命题思路，努力做到居高临下的知识洞察力。我们进一步看如下例题：例3（2007数1、数2、3、4共用，本题满分11分）设函数在上连续，在内二阶可导且存在相等的最大值，又证明：（）存在使得（）存在，使得。【证】（）移项造辅助函数，则，。（方法一）若的最大值在内同一点取得，则存在使得，即。若的最大值在不在同点取得，则存在与，使得 ， 且 由连续函数的零点定理，存在介于之间的使得，即。（方法二）用反证法也能证明存在使。假设不存在使，则；或。不妨假设 。设在取到最大值，则应有，与已知条件“在内有相等的最大值”矛盾。因此假设不成立，即存在使。其余步骤同（方法一）。（）二阶可导，于是由Rolle定理，与使得与 ，于是，使得，即。本题考点：连续函数性质，导函数性质及Rolle定理运用。移项造辅助函数是水木艾迪考研数学36计之一计，相同例题参见水木艾迪2007模拟试题二套数一19题，考研数学36计例5-7，例5-8。例4 设在上连续，且，证明：至少存在两点使得成立。【证】 令，则 又 由的连续性可知，至少存在一点，使得 即 由Roll定理得，至少存在两点使得成立 即至少存在两点。例5 设，则(A)在点不连续.(B)在内连续，但在点不可导.(C)在内可导，且满足.(D)在内可导，但不一定满足. B 【不可取的分析】先求分段函数的变限积分，再讨论函数的连续性与可导性即可。【不需要的详解】当时，；当时，当时，F(0) = 0. 即，于是在内连续，但在点不可导. 故选(B).(3-5分钟)【正确分析】可积，则连续；但有第一类间断点，不可导，故选(B).（10秒OK!）关于原函数的一些重要结论是（每年必考其中1-3款）：结论1 连续奇函数之原函数必为偶函数。结论2 连续偶函数之原函数必为奇函数与常数之和，其中只有一个为奇函数（）。结论3 连续周期函数之原函数必为周期函数与线性数之和，且周期不变。连续周期函数之原函数为周期函数的充要条件是，其中为周期。结论4 有第一类间断点的函数没有原函数。结论5 有第二类间断点的函数可以有原函数。结论6 变限积分表示的函数不一定是原函数。附件：关于新大纲的说明2009 考研数学改为三个试卷：数一数二维持不变，数三、数四改变为新数三：教育部决定从2009年起，将原数学三、数学四进行整合，整合后称为“数学三”。原使用数学三或数学四的招生专业从2009年开始使用新的“数学三”。 “数学三”的考试内容和考试要求调整如下：1. 新“数学三”的考试内容为微积分、线性代数、概率论与数理统计，其分数比例依次约为56%、22%和22% 。2. 新“数学三”较原数学四的变化有：（1） 增加了无穷级数的相关内容；（2） 增加了线性微分方程解的性质及解的结构定理、二阶微分方程及差分方程的相关内容；（3） 增加了数理统计的基本概念、点估计的概念、矩估计法及最大似然估计的相关内容。3. 新“数学三”较原数学三的变化有:(1) 降低了无穷级数中部分考试内容的考试要求；(2) 降低了常微分方程与差分方程中二阶微分方程、差分方程的考试要求；(3) 降低了概率论中切比雪夫不等式的考试要求；(4) 降低了数理统计的基本概念中部分考试内容的考试要求；(5) 降低了参数估计中点估计等概念的考试要求；(6) 删除了参数估计中估计量的评选标准和区间估计的考试内容；(7) 删除了假设检验的全部考试内容。 4. 新“数学三”的参考试题根据考试内容和考试要求的变化做了相应调整。 膁薁蒄袁芃莄螂袀羂膇蚈衿肅莂薄羈膇膅蒀羇袇莀莆羆罿膃螅羆膁荿蚁羅芄芁薇羄羃蒇蒃羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀芈薄肀羀蒃葿蚇肂芆莅蚆芅蒂螄蚅羄莅蚀蚄肆薀薆蚄腿莃蒂蚃芁膆螁蚂羁莁蚇螁肃膄薃螀膅荿葿蝿羅膂蒅螈肇蒈螃螈膀芁虿螇节蒆薅螆羂艿蒁袅肄蒄莇袄膆芇蚆袃袆蒃薂袂肈芅薈袂膁薁蒄袁芃莄螂袀羂膇蚈衿肅莂薄羈膇膅蒀羇袇莀莆羆罿膃螅羆膁荿蚁羅芄芁薇羄羃蒇蒃羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀芈薄肀羀蒃葿蚇肂芆莅蚆芅蒂螄蚅羄莅蚀蚄肆薀薆蚄腿莃蒂蚃芁膆螁蚂羁莁蚇螁肃膄薃螀膅荿葿蝿羅膂蒅螈肇蒈螃螈膀芁虿螇节蒆薅螆羂艿蒁袅肄蒄莇袄膆芇蚆袃袆蒃薂袂肈芅薈袂膁薁蒄袁芃莄螂袀羂膇蚈衿肅莂薄羈膇膅蒀羇袇莀莆羆罿膃螅羆膁荿蚁羅芄芁薇羄羃蒇蒃羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀芈薄肀羀蒃葿蚇肂芆莅蚆芅蒂螄蚅羄莅蚀蚄肆薀薆蚄腿莃蒂蚃芁膆螁蚂羁莁蚇螁肃膄薃螀膅荿葿蝿羅膂蒅螈肇蒈螃螈膀芁虿螇节蒆薅螆羂艿蒁袅肄蒄莇袄膆芇蚆袃袆蒃薂袂肈芅薈袂膁薁蒄袁芃莄螂袀羂膇蚈衿肅莂薄羈膇膅蒀羇袇莀莆羆罿膃螅羆膁荿蚁羅芄芁薇羄羃蒇蒃羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀芈薄肀羀蒃葿蚇肂芆莅蚆芅蒂螄蚅羄莅蚀蚄肆薀薆蚄腿莃蒂蚃芁膆螁蚂羁莁蚇螁肃膄薃螀膅荿葿蝿羅膂蒅螈肇蒈螃螈膀芁虿螇节蒆薅螆羂艿蒁袅肄蒄莇袄膆芇蚆袃袆蒃薂袂肈芅薈袂膁薁蒄袁芃