上海市闵行区2011届高三下学期质量调研考试（数学文）.doc

闵行区2010学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）考生注意：1答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚2本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知集合，那么 .2线性方程组的增广矩阵为 .3已知，则 .4 .5若，且为纯虚数，则实数 .6圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为cm，半径为cm，则该圆锥的体积为 .7经过点且法向量为的直线的方程为 .ABCA1B1C1428已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是其前项和，则数列的最小项为第 项.9如图是一个正三棱柱零件，面平行于正投影面，则零件的左视图的面积为 .10若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 .11已知一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，共有个球，从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是，则从中任意摸出个球，得到的都是黑球的概率为 .OABCEFxy12如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为 .13已知双曲线的两焦点为、，若该双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，则的大小为 （结果用反三角函数表示）.14已知等差数列，对于函数满足：，是其前项和，则 .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得5分，答案代号必须填在答题纸上注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位.15“”是“”的 答（ ）(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件.(C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.16某单位有青年职工人，中年职工人数是老年职工人数的倍，老、中、青职工共有人.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工人，则该样本中的老年职工人数为 答（ ）(A). (B). (C). (D).OMNxyP17如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，是单位圆上的两点，是坐标原点，,，则的范围为 答（ ）(A) . (B) .(C) . (D) .18设函数、的零点分别为，则答（ ）(A) . (B) . (C) . (D) .BCDA1PB1C1D1.A三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤19.（本题满分12分）如图，已知是底面为正方形的长方体，点是的中点，求异面直线与所成的角（结果用反三角函数表示）学校_ 班级_ 学号_ 姓名_ 密封线20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为，整治后前四个月的污染度如下表；月数1234污染度6031130污染度为后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：，其中表示月数，分别表示污染度.（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过？21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分已知是线段外一点，若，.（1）设点、是线段的三等分点，试用向量、表示；（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分、第3小题满分7分已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；（2）若，直线的斜率为，求证：；（3）直线和的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列（1）若()，证明：数列是数列；（2）设数列的通项为，且数列是数列，求的取值范围；（3）设数列()，问数列是否是数列？请说明理由闵行区2010学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一.填空题 1.； 2.； 3.；4.2； 5. ； 6.；7.理，文；8.8； 9. 理,文；10. 理，文4； 11. 理，文； 12. ；13.理，文； 14. 6033.二.选择题 15. A； 16.B； 17.A； 18.D.三.解答题 19.解：（1）解法一：过点P作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角 （3分）在中 ,，又（8分）在中，（10分）异面直线与所成的角为 （12分）解法二：以为原点，所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示，则，（4分），（8分）（10分）异面直线与所成的角为 （12分）20.解：（理）（1） （3分） （6分）由此可得更接近实际值，所以用模拟比较合理. （7分）（2）因在上是增函数，又因为 （12分）故整治后有23个月的污染度不超过60. （14分）（文）（1） （3分） （6分）由此可得更接近实际值，所以用模拟比较合理. （7分）（2）因在上是增函数，又因为 （12分）故整治后有16个月的污染度不超过60. （14分）21. 解：（理）（1）如图：点、是线段的三等分点，ABOA1A2，同理可得：，（2分）则（4分）（2）层次1：设是的二等分点，则；设是的四等分点，则；或设是的等分点，则等等（结论2分，证明2分）层次2：设是的等分点，（结论2分，证明4分）层次3：设是的等分点，则； （结论3分，证明7分）证：（文）（1）如图：点、是线段的三等分点，则，同理， （2分）所以 （4分）ABOPQA1（2）层次1：设是的二等分点，则；设是的四等分点，则等等（结论2分,证明2分）层次2：设是的等分点，则等；（结论2分，证明4分）层次3：设是的等分点，则； （结论3分，证明7分）证：是线段的等分点，先证明这样一个基本结论:.由,因为和是相反向量，则, 所以 .记，相加得22.解：设直线与椭圆的交点坐标为.（1）把代入可得：， （2分）则，当且仅当时取等号 （4分）（2）由得，（6分）所以 （9分）（3）（理）当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，由消去整理得 则 又 若存在定点符合题意，且 （11分）把、式代入上式整理得(其中都是常数)要使得上式对变量恒成立，当且仅当，解得 （13分）当时，定点就是椭圆的右顶点，此时，； 当时，定点就是椭圆的左顶点，此时，； （15分）当直线与轴垂直时，由，解得两交点坐标为，可验证：或所以，存在一点（或），使直线和的斜率的乘积为非零常数（或）. （16分）（文）直线和的斜率的乘积是一个非零常数. （11分）当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，由消去整理得 则 又 （13分）所以（15分）当直线与轴垂直时，由得两交点，显然.所以直线和的斜率的乘积是一个非零常数.（16分）23. 理：(1) 由，得所以数列满足. （2分）又，当n=4或5时，取得最大值20，即20.综上，数列是数列. （4分）(2)因为， 所以当即时，此时数列单调递增（6分）当时，此时数列单调递减；故数列的最大项是， 所以，的取值范围是 （9分）（3）当时， 当时 由得，即当时符合条件. （11分）若，则,此时于是 又对于有，所以当时数列是数列； （13分）当时， 取则：由，所以时数列不是数列. （15分）当时， 取则由，所以时数列不是数列. （17分）综上：当时数列是数列；当时数列不是数列.（18分）（文）：(1) 由得所以数列满足. （2分）()单调递减,所以当n=1时，取得最大值-1，即.所以，数列是数列. （4分） (2) 由得