一类具脉冲和非单调功能反应的中立型时滞捕食者-食饵系统.doc

莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿羃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆葿蕿羈膆膈螅袄膅芀薈螀膄蒃螃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁袃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿羃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆葿蕿羈膆膈螅袄膅芀薈螀膄蒃螃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁袃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿羃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆葿蕿羈膆膈螅袄膅芀薈螀膄蒃螃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁袃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄 薇袇莆芀袅袇肆蒆袁袆芈荿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄羁莇薁蚀羁肆莄薆羀艿蕿薂罿莁蒂袁羈肁蚇螇羇膃蒀蚃羆芅蚆蕿羅莈蒈袇肅肇芁螃肄膀蒇虿肃莂芀蚅肂肂薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆肀莈莆蚂腿肈薂薈膈膀莄袆膇芃薀螂膆蒅莃螈膅膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿蚇衿螀聿葿螅蝿膁蚅蚁袈芄蒈薇袇莆芀袅袇肆蒆袁袆芈荿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄羁莇薁蚀羁肆莄薆羀艿蕿薂罿莁蒂袁羈肁蚇螇羇膃蒀蚃羆芅蚆蕿羅莈蒈袇肅肇芁螃肄膀蒇虿肃莂芀蚅肂肂薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆肀莈莆蚂腿肈薂薈膈膀莄袆膇芃薀螂膆蒅莃螈膅膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿蚇衿螀聿葿螅蝿膁蚅蚁袈芄蒈薇袇莆芀袅袇肆蒆袁袆芈荿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄羁莇薁蚀羁肆莄薆羀艿蕿薂罿莁蒂袁羈肁蚇螇羇膃蒀蚃羆芅蚆蕿羅莈蒈袇肅肇芁螃肄膀蒇虿肃莂芀蚅肂肂薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆肀莈莆蚂腿肈薂薈膈膀莄袆膇芃薀螂膆蒅莃螈膅膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿蚇衿螀聿葿螅蝿膁蚅蚁袈芄蒈薇袇莆芀袅袇肆蒆袁袆芈荿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄羁莇薁蚀羁肆 袁肂蚀蒅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂聿薄螈袈肈芄薁螄膇莆螇肂膇葿薀羈膆薁螅羄膅莁薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅袂羁膁莇蚄袇芁蒀袀螃芀薂蚃肁艿芁蒆肇芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芅蒀螈羀莄薃薀袆莃节螆螂莂莅蕿膁莁薇袄肇莀虿蚇羃荿荿袂衿羆蒁蚅螄羅薄袁肃肄芃蚄罿肃莆衿袅肃蒈蚂袁肂蚀蒅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂聿薄螈袈肈芄薁螄膇莆螇肂膇葿薀羈膆薁螅羄膅莁薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅袂羁膁莇蚄袇芁蒀袀螃芀薂蚃肁艿芁蒆肇芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芅蒀螈羀莄薃薀袆莃节螆螂莂莅蕿膁莁薇袄肇莀虿蚇羃荿荿袂衿羆蒁蚅螄羅薄袁肃肄芃蚄罿肃莆衿袅肃蒈蚂袁肂蚀蒅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂聿薄螈袈肈芄薁螄膇莆螇肂膇葿薀羈膆薁螅羄膅莁薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅袂羁膁莇蚄袇芁蒀袀螃芀薂蚃肁艿芁蒆肇芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芅蒀螈羀莄薃薀袆莃节螆螂莂莅蕿膁莁薇袄肇莀虿蚇羃荿荿袂衿羆蒁蚅螄羅薄袁肃肄芃蚄罿肃莆衿袅肃蒈蚂袁肂蚀蒅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂聿薄螈袈肈芄薁螄膇莆螇肂膇葿薀羈膆薁螅羄膅莁 一类具脉冲和非单调功能反应的中立型时滞捕食者-食饵系统的多重正周期解 基金项目：国家自然科学基金（10671133）秦发金(1. 四川大学数学学院, 成都, 610064; 2. 广西柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系, 柳州, 545004)摘要：首次研究了一类具脉冲和非单调功能反应的中立型时滞捕食者-食饵系统周期解存在性问题，利用重合度理论中的延拓定理，通过发展一些分析技巧，获得了该系统多重正周期解的存在性的充分条件。关键词：脉冲；非单调功能反应；中立型；捕食者-食饵系统；多重正周期解；重合度MR（2000）主题分类：34K20，34C25，92D25中图分类号：O175.14 文献标识码: A1 引言及引理 最近文献1研究了一类具非单调功能反应的时滞捕食者-食饵系统 (1)利用重合度理论中的延拓定理，获得了系统(1)至少存在两个正周期解的充分条件。文献2研究了如下一类具有Holling功能反应的中立型捕食者-食饵系统 （2）正周期解的存在性问题，同样利用重合度理论中的延拓定理，获得了系统(2)至少存在一个正周期解的充分条件。近年来研究脉冲中立型系统周期解的存在性出现了许多比较好的结果，比如文献3-5，因此受以上启发，本文研究如下一类具脉冲和非单调功能反应的中立型时滞捕食者-食饵系统 (3)的周期解存在性问题，其中都是连续正的周期函数, ,为正常数；是连续的周期函数，且；表示种群在时刻的出生率, 种群在时刻的收获率()与或投放率（）,为脉冲点，和分别表示种群在时刻的右极限和左极限，种群在时刻是左连续的，即.由于系统（3）的可应用性，考虑如下初值问题 这里为了方便讨论，我们引进下面记号：其中是连续的周期函数.在系统(3)中，假设：是固定的脉冲点且;和是实序列并且;是周期函数，这里及下文乘积符号中，若乘积的个数为零时，其积表示为1.定义1 一个函数是方程(3)在上的解，如果(i) 在每一个区间和上是绝对连续的；(ii) 对任意的和存在，且；(iii) 在上几乎处处满足（3）并且满足. 在假设下，考虑如下非脉冲时滞系统 (4)其初值条件为这里系统(4)的解指定义在上的绝对连续函数对几乎处处满足(4)和 为了得到本文的主要结果，我们需要下列引理. 引理1 假设条件满足，则(i) 若是（4）在上的解，则是（3）的解；(ii) 若是（3）在上的解，则是（4）的解.证明 由于(i)的证明与(ii)类似，在这里只证明（i）.容易得到在区间上是绝对连续的，对任意的另一方面，对任意的，有和则 从而是（4）的解.设是赋范向量空间，为线性映射，为连续映射，如果，且为中的闭子集，则映射称为零指标的Fredholm映射. 如果是零指标的Fredholm映射，且存在连续投影及使得，则可逆，设其逆映射为. 设为中有界开集，如果有界且是紧的，则称在上是紧的. 由于与同构，因而存在同构映射引理2（Mawhin延拓定理） 设是指标为零的Fredholm映射，在是紧的，假设：(i) 对任意的，方程的解满足；(ii) ；(iii)则方程在内至少有一个解.引理3 关于系统（4）是正向不变的.由于中立型微分方程在应用重合度理论时定义的算子空间与文献1不一样，所以文献1所提供的验证解的先验估计方法不能直接用在系统(4)上.又系统(4)的功能反应函数是非单调的，因此文献2所提供的验证解的先验估计方法也不能直接用在系统(4)上，本文借助文献3的解的先验估计思想，通过一些分析技巧，利用重合度理论获得了系统(3)至少存在两个周期解的充分条件，而且本文的方法也可用在文献2及其他生物数学模型上。为了方便研究，本文采用如下记号:设是连续的周期函数，定义2 周期解的存在性定理1 如果条件成立，并且还满足下面条件：; ； ； ； .则系统（3）至少存在两个正周期解，其中是正常数且满足， 证明 作变换，则系统（4）等价于 (5)取，记，则和在模下为Banach空间。令则，且为中的闭子集，于是，故是零指标的Fredholm映射，容易证明是连续投影且使得，因此的逆映射存在，且.其中,.显然，和连续. 设为中任意有界开集,显然有界，利用Arzela-Ascoli定理容易证明是紧致集，因此在是紧的.对应算子方程有 设为系统(6)对应于某个的解，将（6）式两端从到积分并整理得 （7） （8） 由(6)式的第一个式子得从而由(7)式及上式得由（6）式的第二式得 （9）由(7)式得 (10) 这里且.由(10)式,得 (11)令，则由知是严格单调增加函数，故存在反函数，于是由积分中值定理知，存在，使得 （12）类似有 （13）其中再利用由积分中值定理知，存在，使得 （14） （15）进一步由式可得 （16）对（16）式使用积分中值定理知，存在使得故 （17）从而注意到，也就有因为，所以存在，使得 （18）由（7）式和（18）式得即，则结合(9)式得 （19）另一方面，由（6）式的第一式得注意到定理条件，于是由上式得 （20）由（8）式和（18）式得即，结合(9)式，则有特别，有即有由条件，解此不等式得 （21）其中.再由（8）式和（12）式得即，结合(9)式，则有同样，也有即有同样由条件，解此不等式得 或者 （22）其中另一方面，又由条件、（7）和（18）式得于是有，则结合（11）式得 （23）由（19）式和（23）式得 （24）显然的选取与无关. 设，则考虑代数方程 (25)由(25)式的第二个方程得即由条件，解此不等式得再由(26)式的第二个方程得即由条件，解此不等式得结合条件可知，一定有两个不同的常数解和，这里,且并且满足. 选择适当的常数，使得. 取，显然是的有界开集，且，因此满足引理2中的条件（i）.当时，是中的常值向量，故当时，有即引理2的条件（ii）满足.由于，可取为恒同映射，通过直接计算可得即引理2的条件(iii)也满足，从而由引理2知系统（4）在和都至少存在一个周期解，故系统（5）至少存在两个正周期解.令,则是系统(4)的正周期解.再利用引理1知, 系统（3）至少存在两个正周期解.参 考 文 献1Yuming Chen. Multiple periodic solutions of delayed predator-prey systems with type functional responsesJ.Nonlinear Analysis: Real World Applications 5(2004)45-53.2陈凤德,陈晓星,林发兴,黄春潮.一类具有功能性反应的中立型捕食者-食饵系统全局正周期解的存在性J.数学物理学报,2005,25A(7):981-989.3Haifeng Huo. Existence of positive periodic solutions of a neutral delay Lotka-Volterra with impulsesJ.Computers and Mathematics with Applications 48 (2004)1833-1846.4Haifeng Huo,Wantong Li. Existence of positive periodic solutions of a neutral impulses delay predator-prey systemJ.Applied Mathematics and Computation 185(2007)499-507. 5Yonghui Xia. positive periodic solutions for a neutral impulsive delayed Lotka-Volterra competition system with the effect of toxic substanceJ. Nonlinear Analysis: Real World Applications 8(2007)204-221.6Gaines R E, Mawhin J L. Coincidence degree and nonlinear differential equationM.New York:Springer-Verlag,1997.Multiple Positive Periodic Solutions for a Neutral Delay Predator-Prey Systemwith Impulsive and Non-Monotonic Functional ResponseQin Fa jin (1. Mathematical College, Sichuan University , chendu 610064 chain ; 2.Department of Mathematics and Computer Science, Liuzhou Teachers College, Liuzhou, 545004, chain)Abstract: In this paper, the author first study existence of periodic solutions for a neutral delay predator-prey system with impulsive and non-monotonic functional response,by developing some technique of analysis and using continuation theorem baser on coincidence degree , some sufficient conditions are derived on the existence of multiple positive periodic solutions.Keywords: impulsive; non-monotonic functional response; neutral; predator-prey system; multiple positive periodic solutions; existence; coincidence degree作者：秦发金（1967-），男，副教授，研究方向：微分方程的研究。联系地址: 广西柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系 邮箱: 545004联系电话E-mail: 薁螄肇莆螇蚀膇葿薀羈膆膈螅袄膅芁薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膁蒀蒇螃芀腿蚃虿艿节蒆羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芅蒀螈羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莅蕿蚈罿蒇螄肇羈芇薇羃羇荿袃衿羆蒁蚅螅羅薄蒈肃羄芃蚄罿肃莆蒆袅肃蒈蚂螁肂膈蒅蚇肁莀螀肆肀蒂薃羂聿薄螈袈肈芄薁螄肇莆螇蚀膇葿薀羈膆膈螅袄膅芁薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膁蒀蒇螃芀腿蚃虿艿节蒆羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芅蒀螈羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莅蕿蚈罿蒇螄肇羈芇薇羃羇荿袃衿羆蒁蚅螅羅薄蒈肃羄芃蚄罿肃莆蒆袅肃蒈蚂螁肂膈蒅蚇肁莀螀肆肀蒂薃羂聿薄螈袈肈芄薁螄肇莆螇蚀膇葿薀羈膆膈螅袄膅芁薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膁蒀蒇螃芀腿蚃虿艿节蒆羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芅蒀螈羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莅蕿蚈罿蒇螄肇羈芇薇羃羇荿袃衿羆蒁蚅螅羅薄蒈肃羄芃蚄罿肃莆蒆袅肃蒈蚂螁肂膈蒅蚇肁莀螀肆肀蒂薃羂聿薄螈袈肈芄薁螄肇莆螇蚀膇葿薀羈膆膈螅袄膅芁薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膁 羄膇蒁蝿膀肃蒀袂羃莁葿薁膈芇薈蚄羁膃薇螆膆聿薆袈罿蒈薅蚈螂莄薅螀肈芀薄袃袀膆薃薂肆肂薂蚅衿莁蚁螇肄芆蚀衿袇膂虿蕿肂肈虿螁袅蒇蚈袃膁莃蚇羆羄艿蚆蚅腿膅芃螈羂肁节袀膇莀莁薀羀芆莀蚂膆膂荿袄羈膈莈羇袁蒆莇蚆肇莂莇蝿袀芈莆袁肅膄蒅薁袈肀蒄蚃肃荿蒃螅袆莅蒂羈肂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃蒀袂羃莁葿薁膈芇薈蚄羁膃薇螆膆聿薆袈罿蒈