江苏专用2018版高考数学专题复习立体几何与空间向量第54练向量法求解立体几何问题练习理.docx

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题8 立体几何与空间向量 第54练 向量法求解立体几何问题练习 理训练目标会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题训练题型(1)用空间向量证明平行与垂直；(2)用空间向量求空间角；(3)求长度与距离解题策略(1)选择适当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标，用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量；(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式；(4)探索性问题，可利用共线关系设变量，引入参数，列方程求解.1.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1)设，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求实数的值；(2)若点D是AB的中点，求二面角DCB1B的余弦值2(2016甘肃天水一模)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为梯形，ADBC，AD平面SCD，ADDC2，BC1，SD2，SDC120.(1)求SC与平面SAB所成角的正弦值；(2)求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值3(2017南昌月考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC90，D为AC的中点，ABB1D.(1)求证：平面ABB1A1平面ABC；(2)在线段CC1(不含端点)上，是否存在点E，使得二面角EB1DB的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由4(2017太原质检)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成的，ADAF，AEAD2.(1)证明：平面PAD平面ABFE；(2)求正四棱锥PABCD的高h，使得二面角CAFP的余弦值是.答案精析立体几何问题1解(1)由AC3，BC4，AB5得ACB90，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.则A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，设D(x，y，z)，则由，得(33，4，0)，又(3,0,4)，由题意知|cos，|，解得或.(2)由题意得D(，2,0)，(，2,0)，(0,4,4)，设平面CDB1的法向量为n1，因为n10，n10，所以可取n1(4，3,3)；同理，平面CBB1的一个法向量为n2(1,0,0)，并且n1，n2与二面角DCB1B相等或互补，所以二面角DCB1B的余弦值为|cosn1，n2|.2解如图，在平面SCD中，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.则有D(0,0,0)，S(0，1，)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(1,2,0)(1)设平面SAB的法向量为n(x，y，z)，(1,2,0)，(2，1，)，n0，n0，取y，得n(2，5)又(0,3，)，设SC与平面SAB所成角为，则sin |cos，n|，故SC与平面SAB所成角的正弦值为.(2)设平面SAD的法向量为m(a，b，c)，(2,0,0)，(0，1，)，则有即取b，得m(0，1)cosn，m，故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是.3(1)证明取AB的中点O，连结OD，OB1.因为B1BB1A，所以OB1AB.又ABB1D，OB1B1DB1，OB1平面B1OD，B1D平面B1OD，所以AB平面B1OD，因为OD平面B1OD，所以ABOD.由已知条件知，BCBB1，又ODBC，所以ODBB1.因为ABBB1B，AB平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，所以OD平面ABB1A1.因为OD平面ABC，所以平面ABB1A1平面ABC.(2)解由(1)知OB，OD，OB1两两垂直，所以以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，连结B1C.由题设知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)，(0,1，)，(1,0，)，(1,0，)，(1,2，)，设(01)，由(1，2，(1)，设平面BB1D的法向量为m(x1，y1，z1)，则得令z11，则x1y1，所以平面BB1D的法向量为m(，1)设平面B1DE的法向量为n(x2，y2，z2)，则得令z21，则x2，y2，所以平面B1DE的一个法向量n(，1)设二面角EB1DB的大小为，则cos ，解得.所以在线段CC1上存在点E，使得二面角EB1DB的余弦值为，此时(负值舍去)4(1)证明在直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，AD平面ADE，所以ABAD.又ADAF，ABAFA，AB平面ABFE，AF平面ABFE，所以AD平面ABFE.因为AD平面PAD，所以平面PAD平面ABFE.(2)解由(1)知AD平面ABFE，以A为原点，AB，AE，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，h,1)，其中h为点P到平面ABCD的距离(2,2,0)，(2,0,2)，(1，h,1)设平面AFC的一个法向量为m(x1，y1，z1)