函数极限的计算方法研究.doc

北方民族大学学士学位论文 论文题目:函数极限的计算方法研究院(部)名 称: 信 息 与 计 算 科 学 学 生 姓 名: 袁 雪 华 专 业:数学与应用数学 学 号:20093212指导教师姓名: 万 仁 霞 论文提交时间: 2012年05月01日 论文答辩时间: 学位授予时间: 北方民族大学教务处制 函数极限的计算方法研究 摘 要 函数极限的计算方法是近代微积分学的基础知识，是学好高等数学的入门课题。本文主要探讨了一元函数的极限的基本性质、以及在此基础上完成的函数极限的利用夹逼性，等价代换和已知极限求极限等方法。进行函数极限的计算方法有很多种，例如利用洛比达法则求函数极限，泰勒展开求函数极限，利用函数连续性求极限以及利用积分中值定理求极限等都是常用且简洁的方法。每种方法都有其使用的条件以及其优缺点，对于具体问题应该做到具体分析，进而选择最简单最有效的方法进行求解。关键字：函数极限， 等价代换， 积分中值定理，Taylor公式 Abstract Calculation Method of function limit is the foundation of modern calculus knowledge, is getting started to learn Higher Mathematics subject. This article mainly discusses the basic nature of the limit of a function, as well as done on the basis of this function to limit the use of clamping force and equivalent substitution and known methods such as extreme limit.There are many kinds of methods of calculation of the limit of function, such as the limit of function using Los law of Breda, a Taylor expansion function limit, use the continuity of function limit and limit the use of integral mean value theorem are common and simple way.Each method has its conditions of use, as well as its advantages and disadvantages, for specific issues should be specific points.key word:The limit function, Equivalent substitution, Integral mean value theorem , Taylor formula 目 录第一章 引 言1第二章 函数极限22.1基本概念22.1.1 函数极限的定义22.1.2 函数极限的几何意义22.2. 函数极限的分类32.2.1 单侧极限32.2.2 函数在无穷远处的极限32.3函数极限存在的准则42.3.1归结原则42.3.2柯西准则52.4函数极限的性质52.4.1极限的唯一性52.4.2局部保序性62.4.3夹逼性72.4.4函数极限的四则运算82.5本章小结8第三章 利用等价代换和初等变形求极限93.1.等价代换93.2利用初等变形求函数极限113.3本章小结11第四章 利用已知极限求函数极限124.1两个著名极限124.2利用已知极限求极限推广134.3本章小结14第五章 几种特殊求极限的方法155.1 LHospital法则155.2用Taylor公式求极限165.2.1 Taylor公式165.2.2用Taylor公式求极限175.3 利用积分定义求极限185.4利用连续性求函数极限195.5利用积分中值定理求极限205.6本章小结21结 束 语22致 谢23参考文献24附录一 英文原文25第一章 引 言极限的概念是数学中最重要、最基本的概念之一，它是研究分析方法的重要理论基础，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。掌握好求极限的方法对学好数学史十分重要的。极限的概念在高等数学中主要地位并以各种形式出现而贯穿全部内容，掌握好极限的求解方法是学好数学分析和微分学的关键一环。函数极限的求解方法是高等数学的最基本的也是最重要的计算内容。函数极限的运算题目类型多，而且技巧性强，灵活多变，被称为高等数学学习的第一个难关。早在我国古代刘徽的九章算术中提到的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，则无所失矣”就涉及了极限的思想；18世纪，罗贝斯、达朗贝尔和罗伊里埃等人先后明确的表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限做出了定义。在有了极限的定义之后，为了判断具体的某一函数是否有极限存在，人们不断的对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨研究。到了现代，在一代代数学家的不断努力下给了极限的专业定义，进而有了很多求极限的方法。求极限的方法有很多，其中利用夹迫定理求函数极限、利用等价无穷小量代换、利用已知函数极限求极限、利用变量代换求极限、利用定积分定义求极限、利用泰勒公式求极限、利用洛比达法则求极限等一些常用求极限的方法。函数极限的计算方法有很多，在求极限的过程中，必然以相关概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。28第二章 函数极限 本章讲述具有连续变量函的数极限的概念，函数极限的分类以及函数极限的性质，而且函数极限是学习高等数学中基础知识。从几何形象上粗略的说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连续不间断的曲线，并且函数极限是在数列极限的基础上讨论得来的，把“接近”、“无限”等语言精确化而引出了函数极限的定义。为函数极限的计算方法的研究打下基础。2.1基本概念 函数极限的定义的引入是函数极限的计算的根本，为我们更加深刻的理解和求解函数极限做了很好的铺垫。2.1.1 函数极限的定义定义2.1：设函数在点的某个去心邻域中有定义，即，使 如果存在实数，对于任意给定的，可以找到，使得当时，成立 ， 则称是函数在点的极限，记为 或 如果不存在具有上述性质的实数，则称函数在点的极限不存在。上述函数极限的定义可以用数学语言表述为： 2.1.2 函数极限的几何意义函数在点处极限存在的几何意义，如图所表示，对于给定的，作平行轴的两条直线,时，函数的曲线总是在这两条平行线之间。2.2. 函数极限的分类有了函数极限的定义，为了研究自变量在左侧（或右侧）无限接近与时函数的变化规律，我们引进了函数左右极限的定义。2.2.1 单侧极限定义2.2：如果函数在点左侧（右侧）附近（可能不包含点）有定义，为确定的常数，若对于使 那么就称为在点的左（右）极限，可表示为或者（或者），函数在点处的左（右）极限也可记为()。函数的左右极限统称为函数的单侧极限。 左右极限常常用在求分段函数的在分段点处的极限，并且，左右极限还可以用来求含有绝对值形式的函数极限问题。 性质 设函数在点的去心邻域有定义，函数极限存在的充分必要条件是左右极限存在且相等即同时成立。2.2.2 函数在无穷远处的极限如果函数在趋向于无穷远处有定义时，为了研究函数在或或时的趋势，那么有了以下定义：定义2.3：设函数在上有定义，为某一常数，如果时，成立,那么称函数在处的极限是，记为或者，也可以记作同理可有函数在或者时极限的定义。2.3函数极限存在的准则 2.3.1归结原则定义2.4：设在内有定义，存在的充分必要条件是：对且以为极限的数列，极限都存在且相等。也可以简单的叙述为：，则有证明：必要性 设,于是，使得当时，有另，设数列包含于并且成立，则对上述的，时，有，因此有成立，即证充分性 对，有，于是可用反证法推导出，事实上，若当时不以为极限，于是（任意小），总，尽管，但是有。依次取，于是存在相应的点使得 ，而 显然数列包含于但是当趋向于时，不趋向于，这与假设相矛盾，因此必有 例2.1：证明极限不存在证明：假设于是，显然有： 则有 于是由归结原则结论即得证。例2.2：求极限 解：由题意可令 那么就有 则由归结原则可得；2.3.2柯西准则若函数在的内有定义，那么存在的充分必要条件是：对任意的，总是，对均有 2.4函数极限的性质函数极限的许多性质及其证明方法都与数列极限有类似之处，但也有不同之处。2.4.1极限的唯一性定理：设与都是函数在点的极限，则。证明：根据函数极限的定义，可得：对任意 存在，对任意; 存在，对任意。取，当时， 由于可以任意接近于，可知。2.4.2局部保序性定理：若,且,则存在，当时成立， 证明：取。因为， 存在对任意， 所以 ； 又因为，存在，对任意； 所以 取，当，成立 推论1:如果,并且存在，当时，有成立，则 证明：运用反证法证明，如果，则由局部保序性定理可知， 当 时， 取，则当时，既有，又有， 从而产生矛盾，定理即得证。推论2 （局部有界性）如果，则存在，使得在中有界。证明：取常数与，满足,令为两个常数函数， 由局部保序性定理可知，当时，有成立， 定理即得证。顺便指出，如果在点有定义，则可以取，则当时，有成立。2.4.3夹逼性定理：若，使得当时成立，并且，那么有证明：对任意，因为有，存在，对任意 , 因而 ; 因为，存在，对于任意, 所以 取对于任意： 即有。当极限不容易直接求得时，可以考虑将所求极限的变量进行适当的放大或者缩小，使放大或缩小所得到的新的变量容易求其极限，并且二者的极限值相同，即原极限存在，且等于这个公共值。例2.3：求极限 解：由于， 因而当时，有 又 同理， 则由夹迫性可知2.4.4函数极限的四则运算定理：设，则有（为常数）例2.4：求极限 解： 总结：函数极限的运算也符合四则运算的规律，对于一些和差极限的求解问题可 以四则运算的方法来解决。2.5本章小结 本章通过介绍函数极限的基本定义、性质、函数极限的分类以及函数极限存在的判定 ，对我们更好更直观的理解函数奠定了基础。第三章 利用等价代换和初等变形求极限 本章主要介绍了有关等价无穷量的知识，通过等价函数的定义，利用等价无穷小量替换函数极限里的因子，更便捷、更简单的的求函数极限，起到化繁为简的作用。从而也推广和丰富了函数极限的计算方法。3.1.等价代换主要利用在求乘除式函数极限里，其因子可以用等价因子代替，以保证极限值不变。无穷小量与无穷大量无穷小量若果函数的极限等于零，那么就称这个函数是无穷小量。有限个（相同类型的）无穷小量之和任然是无穷小量。无穷小量与有界量的乘积任然是无穷小量。如果存在极限，那么如果存在，那么就称为比高阶（或等价，同阶，低阶）无穷小。无穷大量所有以为极限的函数都成为无穷大量。如果，即是的无穷小量，那么就是的无穷大量（在内都不为），反之亦然。当时，一些常用的等价无穷小 例3.1：求极限 解：由自然对数可令 两边取自然对数得： 因为由等价无穷小量有，则有， 由洛比达法则得： 由 再由洛比达法则得： 所以注:等价代换来源于分数的约分，只适用于乘除式里的因子进行代换，在分子分母多项式里的单项不可以用等价代换，否则会招致错误。例如，由泰勒公式可知，则上式可以化为，如果将等价代换为，那么原式可以化为，可见这是原则性的错误。适用条件 针对的主要是形式的函数极限，自变量在同一变化过程中且都为无穷小量，同时又， 在自变量的同一变化过程中，式中的乘、除因子的无穷小量可以用其等价无穷小量代换 对于极限式中的无穷小量对自变量在同一变化过程中，如果成立并且，那么在求函数极限式中可用替换3.2利用初等变形求函数极限该方法主要采用初等数学里的方法将已知函数变形，然后求出函数极限的方法。例3.2：求极限其中 解： 利用三角函数的性质可知， 等式右边乘以 可得， 经逐步化简可得： 3.3本章小结 对于函数极限里等价代换和初等函数变形的应用，关键是注意其适用的条件更要重视，这样才不会走入误区，正确解决这类问题，真正做到便捷正确解决问题。第四章 利用已知极限求函数极限 两个著名极限在求函数极限中是最基本最重要的工具之一，起着最重要的基础的作用，也是微商运算的基础。通过对两个重要极限的简单介绍以及其变形形式的阐述，通过举例说明其在求函数极限过程中的重要运用。4.1两个著名极限 例4.1：求极限 解：由题意可得， 由 所以例4.2:求极限 解：化为极限的形式， 而且 因为 那么就有4.2利用已知极限求极限推广以为基础进行变形如果函数，并且同时存在极限，那么就成立证明：对函数变形则有 即有 = 由函数的四则运算法则有，原式= 即得证。如果函数的极限存在且等于当时，即，同时函数的极限为当时，即，同时满足那么成立证明：极限可以变形为 根据上式可得 即得证。例4.3：已知且有满足，求极限解：因为时， 因为由等价代换有， 则上式 由可得 即得结果4.3本章小结本章介绍了的两个重要极限以及其变形形式在求解函数极限中的重要应用，使得一些复杂函数极限的求的更快捷正确。是函数极限计算得一种重要方法。第五章 几种特殊求极限的方法 极限的求解不仅仅局限于利用其定义及其性质等方面，本章会介绍总结几种特殊常用的方法，使函数极限的求解方法不那么单一和具有局限性。5.1 LHospital法则若自变量趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足和的极限都是0或都是无穷大；和都可导，且存在（或）则一定存在极限，且等于，即证明：我们不妨先证当时，即，其中， 而且满足的情况。 补充定义，那么当时，使用柯西中值定理 当时，则 即 故有 定理得证。同理可证其他情况。注：定理称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“0,0”型或“，”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。例5.1：求极限 例5.2：求极限解：由题意可知，利用洛比达法则得 再次利用洛比达法则，得： 原式总结：一些特定类型的函数求极限（型，型）可以利用洛比达法则求解，关键是判断函数的类型。5.2用Taylor公式求极限5.2.1 Taylor公式定义：对于一般函数，如果它在点存在知道阶导数，由这些导数构造出一个次多项式，就称为函数在点处的泰勒多项式，多项式的各项系数称为泰勒系数。定理：如果函数在存在直到阶导数，那么就有即证明：根据的定义，再利用次洛比达法则，得： 利用极限和无穷小量的关系得: 移项就得证定理结果。5.2.2用Taylor公式求极限利用泰勒公式求函数极限是一个十分有效的方法。例5.3：求极限 解：根据题意得由泰勒展式可得： 则 总结：此方法总要考察我们对泰勒公式的熟悉程度，因此用此方法解决函数极限问题要求我们十分熟悉泰勒展式的结构以及用途。5.3 利用积分定义求极限定义：若函数在闭区间有定义，把区间任意分割成个小区间，其分点为，小区间长度为其中用，在每个小区间任意取一点，作和式为，如果存在,那么就称函数在区间上式可积得，极限值就称为其定积分，可以表示为：，即，其中分别称为定积分的上限，下限，称为积分区间，函数称为被积函数。例5.4：求极限 解：根据题意可将原式化为： 原式 设在区间上有定义，由定积分定义，选为左端点， 则有 那么： 原式 5.4利用连续性求函数极限定义：如果函数在点处连续，当且仅当函数满足 i）函数在点附近有定义，特别是在点处有定义； ii）极限存在； iii）成立用语言可表述为：如果对，使得当时，成立，就称函数在点处连续。例5.5：求极限 解： 由三角函数的性质有， 利用分子有理化有： 由初等函数在有定义处皆是连续的， 原极限5.5利用积分中值定理求极限积分第一中值定理如果函数在闭区间上连续，那么至少存在一点 成立 证明： 函数在闭区间上连续， 一定存在为函数的最大值与最小值 即 由积分不等式的性质可得： 变形可得： 因为连续函数的介值性可得，至少存在一点使 成立，定理即得证。推广的积分第一中值定理如果函数在区间上都是可积，并且函数在区间上不变号，那么存在（分别是在区间上的下确界和上确界），使得 特别地当时，上式则变成： 且称 为在区间上的平均值若（1）、（2）式中的在区间上为连续函数，那么一定存在，使那么（1）、（2）即可表示为例5.6：求极限 解： 由积分中值定理可以得： 例5.7 求极限 总结：运用该方法求解函数极限问题主要要求我们不仅要熟悉函数积分中值定理，更要深入理解其方法。5.6本章小结 求函数极限的方法有很多种，本章主要介绍了几种最常用、最重要且最实用的几种方法进行了简单的介绍和举例说明。每种方法都有其适用的范围，也有其自己的优缺点，在实际运用中应该具体问题具体分析，选择最好最简洁的方法进行解题。结 束 语本文主要在考虑函数极限存在的前提下撰写的。在完成的过程中搜集资料，查阅文献，整理文献，并且将所学理论知识进行综合整理合并，简单总结了求函数极限的若干方法。在研究过程中，我发现，函数极限的计算方法并不是一成不变的，适用于每道题目的计算方法也不是唯一的，在一个函数极限存在的前提下，总会有一个甚至几个求解的方法与之对应。本文重点在于总结一元函数极限计算方法，通过对函数极限解法的研究能更好的了解函数的性质乃至于用途。函数极限不仅仅是数学分析中的重中之重，更是近代微积分学的基础知识，所以理解和熟练掌握函数极限的计算方法对于对高等数学的学习是十分重要的。以上只是列举了常用的一些求函数极限的计算方法，但是其计算方法并不仅仅只限于以上几种，或许还有未知的更好更便捷的求解方法等着我们去发掘开发。致 谢 岁月匆匆，也许时光的流去是客观的，然而流去的快慢却是一种主观的感受。论文的工作即将结束了，我才后知后觉的发现，原来大学生活的四年已经从我的指尖滑过，而面临分却是告别。一念至此，竟有些恍惚，所谓白驹过隙、百代过客云云，想来便是这般惆怅了。在论文的完成期间我遇到了一些问题，经过大量的查阅文献和老师与同学的热心帮助下，幸不辱使命在规定时间内完成了任务。回首过往，看看过去的四年，同学，朋友，理想，现实这些时时在我们的生命中不断更新变换，但是久久出现在脑海中的是珍惜，感恩。珍惜现在这份纯洁的友谊，珍惜现在的亲人般的同学；感恩曾经帮助过我们的熟悉人，陌生人，老师，同学 我在这里最要感谢我的学位论文指导老师万仁霞老师，感谢他给我这个机会，感谢他无私的关心和帮助，我在这里说声：万老师，谢谢！我还要感谢信息与计算科学学院的老师们，是您们赋予我最有意义的收获；是您们带领我走进知识殿堂，使我不但丰富了知识；而且教会我做人做事的道理，您们给我一个全新的角度，用自己的眼睛去发现生活，欣赏生活，感悟生活。感谢所有关心、鼓励、支持我的家人、亲戚和朋友。谢谢，谢谢您们! 参考文献1 邓东皋、尹小玲,数学分析简明教程M，高等教育出版社，2006年2东北师范大学数学系编，数学分析上册M，高等教育出版社，20063 裴礼文,数学分析中的典型问题与方法M，高等教育出版社，2011年4谢惠民，数学分析习题课讲义M，高等教育出版社，2004年5洪毅，数学分析 上册M，华南理工大学出版社，2003年6朱永强，高等数学中函数极限计算方法J7周应，数学分析习题及解答M，武汉大学出版社，2001年8徐利治，数学分析的方法及立体选将M，高等教育出版社，1985年9刘玉莲，数学分析讲义M，高等教育出版社，2003年10张锐，函数极限求解方法归纳J,考试周刊2011年第5期11吴良森，数学分析习题精解M，科学出版社，2002年12牛艳秋，王千，等价无穷小代换在求函数极限教学中的应用J， 高等函授学报（自然科学版）2012年01期13浙江大学数学系，数学分析M，浙江大学出版社1978年14胡适耕，张显文,数学分析原理与方法M，科学出版社，2008年15罗伟，探讨求函数极限的三种方法J,16樊雪双，严峰军，利用极限等价函数替换求函数极限J，陕西西安思源学院附录一 英文原文课文9-B Terminology and notation When we work with a differential equation such as (9.1),it is customary to writein place of andin place of,the higher derivatives being denoted by ,etc. Of course,other letters such as ,etc.are also used instead of.By the order of an equation is mean the order of the highest derivatives which appears.For example ,(9.1)is first-order equation which may be written as.The Differential Equation is one of second order. In this chapter we shall begin our study with firs-order equations which can be solved forand written as follows:(9.2) .Where the expressionon the right has various special forms. A defferentiable function will be called a solution of (9.2) on an interval if the function and and its derivative satisfy the relation.For everyin.The simplest case occurs whenis independent of .In this case,(9.2)becomes (9.3) . Say, where is assumed to be a liven function defined on some interval .To solved the differential equation (9.3) means to find a primitive of.The Second fundamental theorem of calculus tells us how to do it when is continuous on an open interval .We simply integrate and add any constant.Thus, every solution of (9.3) is included in the formula (9.4),whereis any constant (usually called an arbitrary constant of integration). The differential equation (9.3) has infinitely many solutions, one for each value of . If it is not possible to evaluate the integral in (9.4) in terms of familiar function, such as polynomials,rational functions,trigonometric and inverse Trigonometricfunctions,logarithms, and exponentials,still we consider the differential equation as having been solved if the solution can be expressed in terms of integrals of known functions. In actual practice, there are various methods for obtaining approximate evaluations of integrals which lead to useful information about the solution. Automatic high-speed computing machines are often designed with this kind of problem in mind. Example, Linear motion determined form the velocity. Suppose a particle moves along a straight line in such a way that its velocity at time is .Determine its position at time . Solution.if denotes the position at time measured from some staring point ,then the derivation represents the velocity at time . We are given that .Integrating,we find that . This is all we can deduce about from a knowledge of the velocity alone;some other piece of information is needed to fix the position function .We can determine if we know the value of at some particular instant. For example,if ,then and the position function is .But if ,then and then the position function is . In some respects the example just solved is typical of what happens in general.Some-where in the process of solving a first-order differential equation,an integration is required to remove the derivative and in this step an arbitrary constant appears. The way in which the arbitrary constant enters into the solution will depend on the nature of the given differential equation. It may appear as an additive constant as in Equation(9.4), but it is more likely to appear in some other way.For example,when we solve the equation in Section 9.3,we shall find that every solution has the form . In many problem it is necessary to select from the collection of all solutions one having a prescribed value at some point.The prescribed value is cal