DVD在线租赁问题1(吴军、刘亚、叶庆).doc

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2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 武汉科技大学中南分校 参赛队员 (打印并签名) ：1. 吴 军 2. 刘 亚 3. 叶 庆 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：DVD在线租赁问题摘 要DVD在线租赁问题,要考虑到要最大程度的满足客户订单要求,使客户满意度最大,同时要考虑使商家购买DVD的量最少,是一类优化问题。随着网络的发展与壮大，电子商务越来越被客户所青睐，但在实际商务往来中，存在着一些复杂的问题，需要找到一种最优化的解决方案，来使客户达到最大的满意度，使商家达到最大的收益额。对于问题一，对于不同租赁周期内的模型建立不同，实际经营中，订单的下达时间是随机的，对于问题一，根据DVD在一个月的流通量来计算每种DVD的购买量，建立数学模型。其中希望看到该DVD的会员中至少50%内能够看到该DVD的情况下，每种DVD的购买量为：DVD1,6250张；DVD2,3125张；DVD3，1563张；DVD4，782张；DVD5，313张。在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD的情况下，每种DVD的购买量为：DVD1，4233张； DVD2，2117张； DVD3张，1059张；DVD4，530张； DVD5，212张。对于问题二，可以看成是“分配问题”，DVD数量一定，根据满意度来分配DVD，建立具有0-1整型规划的模型，用Lingo求解最大满意度以及对应的最优解。最后求得的最大满意度Z=2474.6，前30名获得DVD的情况，见表3。对于问题三，在给定订单、不限制存量的条件下，建立同时使客户满意度达到最大、商家DVD购买量最少的模型，采用线性加权求和法将多目标规划转变为单目标规划求解，用Lingo求解出dvd最少购买量以及如何分配得到最大满意度的最优解，解得最少购买量为5612张，分配情况见表4。对于问题四，我们从实际出发，在现实生活中，发现会员对每种DVD的满意程度并不是一成不变的，DVD还应该存在破坏度等因素，考虑到各种因素来建立模型，使模型变得更完善些。关键词：在线租赁 最大满意度 租赁周期 0-1规划 分配问题 一、 问题重述1.1问题背景随着互联网的普及，越来越多的人习惯于，网上购物，网上学习，在线看影片。音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。1.2问题描述考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：（1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？（2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在 线订单,如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？并具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。（3）假设DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD 的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？（4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。二、 问题分析2.1问题（1）的分析 根据抽样调查的1000个会员对5种DVD 的偏爱结果，问题（1）类似于“货物存储问题”，基本思路是跟踪DVD在一个月（三个月）内的流动情况，目标是计算出DVD的流转次数，然后再结合满意度要求得出所需准备的DVD数量。 2.2问题（2）的分析 问题（2）类似于“分配问题”或“指派问题”，我们可以对偏爱度进行适当的处理以满足我们的要求。0-1规划是处理该问题的最佳方法，因此如何使用这一方法将是研究问题二的关键。但是根据表2中给出的偏爱值，值越小偏爱度越大，而这一题是要求怎样分配DVD才能使满意度达到最大，这就要求对偏爱值进行一些处理，我们可以认为偏爱值为1时，满意度为10，偏爱值为10时，满意度为1，这样可以构建一个一次函数。2.3问题（3）的分析 问题（3）看似是问题（1）与问题（2）的结合（存贮+分配），但实际要复杂得多。他综合考虑一个月内DVD的购买、分配方案，是一个多目标线性规划。从经济效益看，在保证95%以上会员一个月内看到想看的DVD的情况下，希望购买尽量少的DVD，从社会效应看，则要尽可能多地考虑让总的满意度最大。 这时，可以将多目标变为单目标规划，以求得一个经济与社会效益的综合最优。由于问题三牵涉到两次分配，而对会员满意率的理解又有多种解释，因此目标及约束函数会和问题一、问题二有很大差别。而问题三的模型又可从当前满意度最大和一段时间内满意度最大两个角度来考虑。三、 模型假设1对1000名会员的调查足以反映10万名会员对于各种DVD的需求及喜好。2. 对1000名会员的调查是随机的。3每个会员每次能且仅能借3张DVD。4. 会员本次提交后没得到该DVD，