计算机数字控制器的离散化设计方法.ppt

计算机数字控制技术,第六讲 计算机数字控制器的离散化设计,主讲： 王 文 2019年5月1日,数字控制系统的脉冲传递函数,6.1,最小拍随动系统,6.2,最小拍随动系统数字控制器设计,6.3,纯滞后控制技术大林算法,6.4,主 要 内 容,数字控制器D(Z)的实现,6.5,6.1 数字控制系统的脉冲传递函数,图6-1是数字控制系统原理图。,在图6-1中，设C(z)为输入信号的Z变换，R(z) 为输出信号的Z变换，D(z)为数字控制器的脉冲传递函数，G(z)为包括零阶保持器在内的广义对象的脉冲传递函数， 为闭环脉冲传递函数，由数字控制器理论可知，系统的闭环脉冲传递函数 应为,(6-1),根据式（6-1），可求出数字控制器的 为 式（6-2）是我们分析和设计数字控制器的基础及基本数学模型。,(6-2),6.2 最小拍随动系统,在自动调节系统中，当偏差存在时，总是希望系统能尽快地消除偏差，使输出跟随输入变化；或者在有限的几个采样周期内即可达到平衡。最小拍实际上是时间最优控制。 因此，最小拍随动系统的设计任务就是设计一个数字调节器，使系统到达稳定时所需要的采样周期最少，而且系统在采样点的输出值能准确地跟踪输入信号。 在数字控制过程中，常把一个采样周期的时间看作一节拍的时间。,6.2.1 最小拍随动系统脉冲传递函数,在图6-1中，最小拍随动系统的闭环误差脉冲传递函数为 即 ，则式（6-2）又可表示为,(6-3),(6-4),式（6-4）表明，一旦控制对象被确定，包括零阶保持器在内的广义对象的脉冲传递函数 是不可变的 但是，误差脉冲传递函数 是因不同典型的输入信号而变化的，这样当系统的 ， ， 确定后，便可根据式（6-4）求出最小拍随动系统的数字控制的脉冲传递函数 ，继而可设计出相应的数字控制器。,6.2.2最小拍随动系统数字控制器分析,在自动控制系统中，典型的输入信号有： 单位阶跃输入 单位速度输入 单位加速度输入 所以，典型输入的Z变换具有 的形式。式（6-5）中的m为正整数，即m1，2，3,(6-5),显然，随动系统的调节时间，就是系统的误差达到恒定值或趋于零的时间，根据Z变换定义，知 由式（6-6）便可求出 ， ， ， ， 各值。 最小拍系统在典型信号作用下，当 ， 为恒定值或 等于零时，N必定是可能小的正整数，这样，由式（6-3）及式（6-5）得,(6-6),(6-7),要满足最小拍的要求，式（6-7）中必须尽可能为有限项，故应合理地选择 ， 可按式（6-8）进行选择， 当选择Mm，且F（z）=1时，不仅可使数字控制器结构简单，阶数降低；而且可使 的项数最少，调节时间最短。上述三种典型输入时，闭环误差脉冲传递函数分别选择为 单位阶跃输入时，选择 单位速度输入时，选择 单位加速度输入时，选择,(6-8),(6-9),(6-10),(6-11),根据上述分析，可得不同输入时的误差序列如下： 1) 单位阶跃输入时 由Z变换定义可得误差序列为 误差及输出序列如图6-2所示。 由图6-2知：单位阶跃输入时，最小拍随动系统的调节时间为 ， 是系统采样周期。,(6-12),(6-13),误差及输出序列如图6-3所示，由图6-3知，单位速度输入时，最小拍随动系统的调节时间为 。,图6-2单位阶跃输入时误差 及输出序列图,图6-3单位速度输入时误差 及输出序列图,(6-14),(6-15),2) 单位速度输入时,误差序列,3) 单位加速度输入时 及误差序列为,(6-16),(6-17),图 6-4 单位加速度时误差及输出序列,误差及输出序列如图6-4所示。由图6-4知，单位加速度输入时，最小拍随动系统的调节时间为 。 综上所述，对于不同典型输入，合理地选择误差脉冲传递函数 ，才能获得较佳的最小拍响应。选定 后，根据广义对象 的特性，按式（6-4）可求得最小拍数字控制器 。三种典型输入最小拍系统的调节时间分别为T，2T和3T。 表61（教材P251）三种典型输入的最小拍系统,6.3.1最小拍随动系统数字控制器设计,设计最小拍随动系统数字控制器的方法步骤如下： （1）根据被控对象的数学模型求出广义对象的脉冲传递函 数 。 （2）根据输入信号类型，查表6-1确定误差脉冲传递函数 。 （3）将 、 代入式（6-4），进行Z变换运算，即可求出数字控制器的脉冲传递函数 。 （4）根据结果，利用6.2.2节知识分析结其控制结果，求出输出序列及画出其响应曲线等。,例1:已知被控对象的传递函数为 设采样周期为 试设计单位阶跃输入的最小拍数字控制器 。 解：当用零阶保持器沟通数字控制器与被控对象间联系时，该系统的广义对象的脉冲传递函数 为,计算结果 中含有 因子，并有单位圆外的零点z-1.4815，因此，闭环脉冲传递函数 中应包含有 项及 的因子。当把 的单位圆外零点及 因子作为被控制对象的零点和因子，同时考虑到误差脉冲传递函数应选为 以及 、 应该是同阶次的多项式后，应有 上述方程中a、b为待定系数，且有 比较等式两边后，有 求解后，得待定系数a、b为,a0.403 b0.597,将待定系数代入方程组后，得 将所得结果代入式后，求得最小拍随动数字控制器得脉冲传递函数为 单位阶跃输入时，其输出响应为 单位阶跃输入时，其输出响应为,系统输出相应如下图所示，因为闭环脉冲传递函数中含有单位圆外零点，故其调节时间延长得到两拍。,图6-5 随动系统输出相应曲线,例2：如图6-6所示，已知被控对象传递函数为 设采样周期为 ，试设计一在单位速度输入时的数字控制器 。 解：当用零阶保持器沟通数字控制器与被控对象间联系时，该系统的广义对象的脉冲传递函数 为,系统输入为 ，查表6-1知误差脉冲传递函数选定为 于是将 、 代入式（6-4），可求得数字控制器的脉冲传递函数为,从表6-1知，单位速度输入时系统的闭环脉冲传递函数为 这样，可得系统输出序列的Z变换为 上式中各项系数就是 在各个采样时刻的输出数值，即 系统输出相应曲线如图6-7所示。,图6-7 单位速度输入时最小拍随动系统 输出相应曲线,6.3.2 最小拍无波纹数字控制器的设计,设计要求： 系统在典型信号的作用下，经过尽可能少的节拍（一般为1-3个采样周期）后，系统应达到稳定状态，且采样点之间没有波纹。 对于二拍系统有 按最小拍无波纹设计，当KN时， 应保持恒定值或为零。因此，在上式 中， 若选定 是 的有限多项式，在确定输入的作用下，经过有限节拍， 能达到某恒定值或为零，并能保证系统输出响应没有波纹。,实质上，为了使 是有限拍，应使 是 的有限多项式，便有如下的关系： 在上式中， 分别是 的极点和零点。 从该式可看出： 的极点 不会影响 成为 的有限多项式，而 的零点 却有可能使 成为 的无限多项式。 因此，最小拍无波纹系统的设计，要求 的零点包含 的全部零点，这就是最小拍无波纹设计与最小拍有波纹设计唯一的不同之处。如前述曾指出过，在最小拍有波纹设计中，只要求 的零点包含 在单位圆上 和在单位圆外的零点。 例64例65,6.3.2 最小拍无波纹数字控制器的设计,6.4 纯滞后控制技术大林算法,在工业过程控制中经常涉及到纯滞后调节系统的设计，它们共同的特点是滞后的时间较长，在设计这些系统时，往往允许系统存在适当的超调量，而尽可能地缩短调节时间。实践表明，用一般的随动系统的设计方法或PID控制算法，去处理这类系统的过程控制时，其效果均难满足系统的要求。 针对这类系统，1968年IBM公司大林（Dahlin）提出了一种设想：其设计目标就是设计一个数字控制器，使整个闭环系统的传递函数 相当于一个带有纯滞后的一阶惯性环节。即 式（6-20）中， 为对象时间常数； 为对象的纯延时时间，N为方便起见设为正整数，即延时时间 为采样周期T的整数倍。 考虑被控对象与零阶保持器相串联后， 相对应的闭环脉冲传递函数为,(6-20),（621） 将式（6-21）代入式（6-2）后，得 (6-22) 式（6-22）就是大林算法得基本形式，D（z）就是要设计的数字控制器。 纯滞后惯性系统，因允许它存在适当的超调量，当系统参数设置不合适或不匹配时，可能使数字控制器的输出接近1/2采样频率的、大幅度上下摆动的序列，这种现象称为振铃现象。几种典型振铃输出序列如图6-14所示（教材P261）。,6.4.1 一阶惯性环节的大林算法基本形式,当被控对象为纯滞后一阶惯性环节时，即 其脉冲传递函数为,(6-27),(6-28),将式（6-28）代入式（6-22）后，可得含纯滞后的一阶惯性环节的大林算法的基本算式为 式中： 式（6-29）就是被控对象为一阶惯性环节的大林算法 基本形式。 例66（教材P263）,(6-29),T采样周期,被控对象时间常数,闭环系统时间常数,6.4.2 二阶惯性环节的大林算法基本形式,当被控对象为纯滞后二阶惯性环节时，即 其脉冲传递函数为,(6-30),式（6-31）中， 将式（6-31）代入式（6-22）后，可得含纯滞后的一阶惯性环节的大林算法的基本算式为 式（6-33）中： 式（6-33）就是被控对象为二阶惯性环节的大林算法 基本形式。,(6-32),(6-33),T采样周期；,被控对象时间常数；,闭环系统时间常数,6.5 数字控制器D(Z)的实现,数字控制器 的设计方法很多，前几节仅论述了其中一小部分。但是，在完成了 的设计后，更重要的任务是采用什么途径，在控制系统上去实现 的算法。 有两种实现数字控制器 的算法，一种是采用硬件模拟电路去实现，另一种是采用计算机软件去实现。然而，从 算式的复杂性和控制系统的灵活性出发，采用计算机软件的方法去实现更适宜。 本节将从 算式的三种主要表示形式出发，简述它们的设计方法,6.5.1直接程序设计法,数字控制器 通常可表示为 式（6-34）中，mn， 和 分别为数字控制器 的输入序列和输出序列的Z变换。 由式（6-34）可求得 将式（6-35）进行Z反变换，写成差分方程的形式,(6-34),(6-35),(6-36),这样，式（6-36）为我们直接用计算机软件编制程序，去实现 算法的表达式，因此，称这种实现 算法为直接程序设计算法。按式（8-36）和编制计算机程序，便可求出 值。 根据式（6-35）可直接画出实现 原理框图如图6-15所示。,6.5.2串行程序设计法,若数字控制器的脉冲传递函数的零点和极点均为已知，即 可写成 形式时，根据迭代原理，若令,(6-37),(6-38),则有 即可以把 看成由 ， ， 等n个子脉冲传递函数 串联组成的，其中 ，如图6-18所示。因此称这种分析方法为串行程序设计法，因它是以迭代原理为基础的，固又称为迭代程序设计法。 为了求出 的 ，可分别先求出 的各个脉冲传递函数 的 ，最后求出 。 以求 的 为例，对 表示式分子、分母各乘以 ，得 将式（6-40）两边交叉相乘，得,(6-39),(6-40),再进行逆Z变换，得 整理后得 的差分方程 为 同理，可求出 的n个迭代表示式或 的差分方程组为 这样，按式（6-42）和编制计算机程序，便可求出值 。,(6-41),(6-42),6.5.3 并行程序设计法,若数字控制器的脉冲传递函数 可写成部分分式形式，即 同样，把式（6-43）中右边各部分分式看是 的子脉冲传递函数 ， ， 时，则有 显然，式（6-44